壓軸大題14 披荊斬棘搞定導(dǎo)數(shù)綜合問題（原卷版）

壓軸大題14披荊斬棘搞定導(dǎo)數(shù)綜合問題壓軸壓軸秘籍導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系單調(diào)遞增，單調(diào)遞減極值極值的定義在處先↗后↘，在處取得極大值在處先↘后↗，在處取得極小值兩招破解不等式的恒成立問題(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.(1)分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．(2)函數(shù)思想法第一步將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．常用函數(shù)不等式：①，其加強(qiáng)不等式；②，其加強(qiáng)不等式.③，，放縮，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）轉(zhuǎn)化為證不等式（或），進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明（），因此只需在所給區(qū)間內(nèi)判斷的符號，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，并求出函數(shù)的最小值即可.證明極值點(diǎn)偏移的相關(guān)問題，一般有以下幾種方法：（1）證明（或）：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個零點(diǎn)，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問題；（2）證明（或）（、都為正數(shù)）：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個零點(diǎn)，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問題；（3）應(yīng)用對數(shù)平均不等式證明極值點(diǎn)偏移：①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；②將所得含對數(shù)的等式進(jìn)行變形得到；③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.壓軸訓(xùn)練壓軸訓(xùn)練一、解答題1．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時，證明：在上恒成立；(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).2．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)的零點(diǎn)分別為，且，證明：．3．（2023·江蘇常州·?？家荒＃┮阎瘮?shù).(1)若，求的值；(2)證明：當(dāng)時，成立.4．（2023秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.5．（2023秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)．(1)若直線與曲線相切，求的值；(2)若對任意，求的取值范圍．6．（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，，且在上的極大值為1．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若，，，求的值．7．（2023秋·江蘇蘇州·高三常熟中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，其中e是自然常數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，對恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．8．（2023秋·江蘇連云港·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求在處的切線方程；(2)當(dāng)時，恒成立，求整數(shù)a的最大值．9．（2023·江蘇·金陵中學(xué)校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，.(1)若與的圖象恰好相切，求實(shí)數(shù)a的值；(2)設(shè)函數(shù)的兩個不同極值點(diǎn)分別為，（）.（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ii）若不等式恒成立，求正數(shù)的取值范圍（為自然對數(shù)的底數(shù)）10．（2023秋·江蘇淮安·高三江蘇省清浦中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在點(diǎn)處的切線與函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)和函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.11．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若，，求的對稱中心；(2)已知，函數(shù)圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，是的一個零點(diǎn)，若函數(shù)在（且）上恰好有10個零點(diǎn)，求的最小值；(3)已知函數(shù)，在第（2）問條件下，若對任意，存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．12．（2023·江蘇南京·南京市第五高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，是否存在實(shí)數(shù)m使得恒成立，若存在，求實(shí)數(shù)m的取值集合，若不存在，說明理由（附：，）．13．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚(yáng)中市第二高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的最值；(2)若，函數(shù)在上是增函數(shù)，求a的最大整數(shù)值．14．（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．15．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)，，．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)時，．16．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若恒成立，求的取值范圍.17．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）設(shè)函數(shù).(1)從下面兩個條件中選擇一個，求實(shí)數(shù)的取值范圍；①當(dāng)時，；②在上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)時，證明：函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，且隨著的增大而增大.18．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，為自然對數(shù)底數(shù)，.(1)已知函數(shù)，，求實(shí)數(shù)取值的集合；(2)已知函數(shù)有兩個不同極值點(diǎn)、，證明19．（2023春·江蘇徐州·高三徐州高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性．(2)證明：．20．（2023春·江蘇南京·高三江蘇省江浦高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)，，且，(1)求的取值范圍；(2)證明：21．（2023春·江蘇南京·高三南京市第二十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).（為實(shí)數(shù)）(1)當(dāng)時，若正實(shí)數(shù)滿足，證明：.(2)當(dāng)時，設(shè)，若恒成立，求的取值范圍.22．（2023春·江蘇·高三江蘇省前黃高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)（）.(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，若時，恒成立，求的取值范圍.23．（2023秋·江蘇南通·高三海安高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)為定義域上單調(diào)函數(shù)，且存在區(qū)間（其中），使得當(dāng)時，的取值范圍恰為，則稱函數(shù)是D上的正函數(shù)，區(qū)間叫做等域區(qū)間.(1)是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)是上的正函數(shù)？若存在，請求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由.(2)若，且不等式的解集恰為，求函數(shù)的解析式.并判斷是否為函數(shù)的等域區(qū)間.24．（2023秋·江蘇鹽城·高三鹽城市伍佑中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時，（i）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（ii）求的單調(diào)區(qū)間及在區(qū)間上的最值；(2)若對，恒成立，求a的取值范圍.25．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)的最小值；(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)存在極大值，且極大值小于0，求實(shí)數(shù)的取值范圍.26．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)存在兩個極值點(diǎn)，且.(1)求的取值范圍；(2)若，求的最小值.27．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？家荒＃┮阎瘮?shù)，其中．（1）設(shè)函數(shù)，證明：①有且僅有一個極小值點(diǎn)；②記是的唯一極小值點(diǎn)，則；（2）若，直線與曲線相切，且有無窮多個切點(diǎn)，求所有符合上述條件的直線的方程．28．（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)若，證明：；(2)若函數(shù)最大值為，求實(shí)數(shù)a的值.29．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若，求證：；(2)當(dāng)時，對任意，都有，求整數(shù)的最大值．30．（2023·江蘇南京·南京市第九中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求f（x）的最大值；(2)設(shè)實(shí)數(shù)m，n滿足－1≤m＜0＜n≤1，且，求證：．31．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，若，求證：；(3)求證：對于任意都有．32．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已知函數(shù).(1)求的極值；(2)求證：.33．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時，求證：在上有唯一零點(diǎn).34．（2023·江蘇南京·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)和函數(shù)有相同的最大值.(1)求的值；(2)設(shè)集合，(b為常數(shù)).①證明：存在實(shí)數(shù)b，使得集合中有且僅有3個元素；②設(shè)，，求證：.35．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；(2)當(dāng)時，求證有兩個零點(diǎn)，，并且．36．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，，求證：有且僅有一個零點(diǎn)；(2)若對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．37．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)當(dāng)時，試判斷在上極值點(diǎn)的個數(shù)；(2)當(dāng)時，求證：對任意，．38．（2023秋·江蘇徐州·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，．(