壓軸小題03 奇思妙解函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題（解析版）

壓軸小題03奇思妙解函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題壓軸壓軸秘籍八大常用函數(shù)的求導(dǎo)公式（為常數(shù)）；例：，，，，，，，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算和的導(dǎo)數(shù)：差的導(dǎo)數(shù)：積的導(dǎo)數(shù)：（前導(dǎo)后不導(dǎo)前不導(dǎo)后導(dǎo)）商的導(dǎo)數(shù)：，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式函數(shù)中，設(shè)（內(nèi)函數(shù)），則（外函數(shù)）導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某點(diǎn)處切線的斜率直線的點(diǎn)斜式方程直線的點(diǎn)斜式方程：已知直線過(guò)點(diǎn)，斜率為，則直線的點(diǎn)斜式方程為：用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù).判別是極大（?。┲档姆椒ó?dāng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)時(shí)，（1）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極大值；（2）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極小值.能成立（有解）問(wèn)題常見類型假設(shè)為自變量，其范圍設(shè)為，為函數(shù)；為參數(shù)，為其表達(dá)式，（1）若的值域?yàn)棰?，則只需要，則只需要②，則只需要，則只需要（2）若的值域?yàn)棰?，則只需要（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比），則只需要②，則只需要（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比），則只需要能成立（有解）問(wèn)題的解決策略=1\*GB3①構(gòu)造函數(shù)，分類討論；②部分分離，化為切線；③完全分離，函數(shù)最值；=4\*GB3④換元分離，簡(jiǎn)化運(yùn)算；在求解過(guò)程中，力求“腦中有‘形’，心中有‘?dāng)?shù)’”.依托端點(diǎn)效應(yīng)，縮小范圍，借助數(shù)形結(jié)合，尋找臨界.一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解問(wèn)題設(shè)計(jì)獨(dú)特，試題形式多樣、變化眾多，涉及到函數(shù)、不等式、方程、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等知識(shí)，滲透著函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、換元等思想方法，有一定的綜合性，屬于能力題，在提升學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性等數(shù)學(xué)素養(yǎng)起到了積極的作用，成為高考的一個(gè)熱點(diǎn)．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)的方法(1)通過(guò)最值(極值)判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過(guò)極值的正負(fù)，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢(shì)，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)或者通過(guò)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍.(2)數(shù)形結(jié)合法求解零點(diǎn)對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問(wèn)題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫出草圖數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍.(3)構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點(diǎn)①根據(jù)條件構(gòu)造某個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求解.②解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．利用曲線的切線進(jìn)行放縮證明不等式設(shè)上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則過(guò)該點(diǎn)的切線方程為，即，由此可得與有關(guān)的不等式：，其中，，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立．特別地，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有．設(shè)上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則過(guò)該點(diǎn)的切線方程為，即，由此可得與有關(guān)的不等式：，其中，，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立．特別地，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有．利用切線進(jìn)行放縮，能實(shí)現(xiàn)以直代曲，化超越函數(shù)為一次函數(shù)．利用曲線的相切曲線進(jìn)行放縮證明不等式由圖可得；由圖可得；由圖可得，（），（）；由圖可得，（），（）．綜合上述兩種生成，我們可得到下列與、有關(guān)的常用不等式：與有關(guān)的常用不等式：（1）（）；（2）（）．與有關(guān)的常用不等式：（1）（）；（2）（）；（3）（），（）；（4）（），（）．用取代的位置，相應(yīng)的可得到與有關(guān)的常用不等式．壓軸訓(xùn)練壓軸訓(xùn)練一、單選題1．（2023春·江蘇·高三江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式對(duì)任意的恒成立，則整數(shù)的最大值為（

）A． B．0 C．1 D．3【答案】B【分析】參變分離將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值可得.【詳解】因?yàn)閷?duì)于任意恒成立，等價(jià)于對(duì)于任意恒成立，令，，則，令，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以在有且僅有一個(gè)根，滿足，即，當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞減，時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，由對(duì)勾函數(shù)可知，即，因?yàn)?，即，，，所以，?dāng)時(shí)，不等式為，因?yàn)?，不合題意；所以整數(shù)的最大值為0.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒（能）成立問(wèn)題的解法：若在區(qū)間上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.2．（2023秋·江蘇鹽城·高三鹽城市伍佑中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)，分析單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為恒成立，即，再求解的最小值即可.【詳解】已知，由知.故排除BD.由得，，構(gòu)造函數(shù)，是上的增函數(shù)，則由得，即，令，，由得，當(dāng)，則單調(diào)遞減，當(dāng)，則單調(diào)遞增，，則，又，則.故選：C.3．（2023秋·江蘇蘇州·高三蘇州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式對(duì)于任意恒成立，則整數(shù)k的最大值為（

）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】C【分析】參變分離將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值可得.【詳解】對(duì)于任意恒成立等價(jià)于對(duì)于任意恒成立令，則令，則所以在上單調(diào)遞增，又所以在有且僅有一個(gè)根，滿足，即當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞減，時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞增，所以由對(duì)勾函數(shù)可知，即因?yàn)?，即，，所?故選：C4．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，對(duì)于，恒成立，則的最小值為（

）A． B．－1 C． D．－2【答案】C【分析】等價(jià)于對(duì)于，恒成立，設(shè)，求出函數(shù)最大值，得到，設(shè)，求出函數(shù)的最小值即得解.【詳解】因?yàn)閷?duì)于，恒成立，所以對(duì)于，恒成立，設(shè)，所以.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)沒(méi)有最大值，所以這種情況不滿足已知；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以.所以.所以.設(shè)，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以.所以的最小值為.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式的恒成立問(wèn)題的求解，常用的方法有：（1）分離參數(shù)求最值；（2）直接法；（3）端點(diǎn)優(yōu)先法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.5．（2023·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)切點(diǎn)，設(shè)滿足條件的k所有可能取值中最大的兩個(gè)值分別為和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)結(jié)論恒成立可只考慮的情況，假設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，則只需考慮，，其中的情況，可將表示為；構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，從而對(duì)進(jìn)行放縮即可求得所求范圍.【詳解】對(duì)于任意，，，的范圍恒定，只需考慮的情況，設(shè)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，，，設(shè)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，，，，，，只需考慮，，其中的情況，則，，其中，；又，，，；令，則，在上單調(diào)遞增，又，，又，，；令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞減，，，；綜上所述：.故選：C.6．（2023春·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）對(duì)于兩個(gè)函數(shù)與，若這兩個(gè)函數(shù)值相等時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量分別為，則的最小值為（

）A．-1 B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則，構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性求出最小值即可.【詳解】設(shè)，則，，由，得，則，，設(shè)函數(shù)，，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞增，故，即的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)，則，，求得是解決本題得關(guān)鍵.7．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為和的定義域均為為偶函數(shù)，也為偶函數(shù)，則下列不等式一定成立的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)，由的奇偶性可得，即，在其等號(hào)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，變形可得的解析式，由此可得的解析式，據(jù)此分析選項(xiàng)是否正確，綜合可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，由于為偶函數(shù)，則，即，等號(hào)兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得：，即，又由為偶函數(shù)，變形可得，故為常數(shù)），由此分析選項(xiàng)：對(duì)于A，由于不確定，不一定成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，有，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，則有，故在R上恒成立，又由，為R上的增函數(shù)，則有，C正確；對(duì)于D，為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，不能保證成立，D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】不等式證明問(wèn)題是近年高考命題的熱點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等主要方法有兩個(gè)，一是比較簡(jiǎn)單的不等式證明，不等式兩邊作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值即可；二是較為綜合的不等式證明，要觀察不等式特點(diǎn)，結(jié)合已解答的問(wèn)題把要證的不等式變形，并運(yùn)用已證結(jié)論先行放縮，然后再化簡(jiǎn)或者進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)證明.8．（2022秋·江蘇徐州·高三期末）設(shè)，若函數(shù)有且只有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)與，先利用導(dǎo)數(shù)研究得的性質(zhì)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)研究得的性質(zhì)，從而作出的圖像，由此得到，分類討論與時(shí)的零點(diǎn)情況，據(jù)此得解.【詳解】令，則，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，又因?yàn)閷?duì)于任意，在總存在，使得，在上由于的增長(zhǎng)速率比的增長(zhǎng)速率要快得多，所以總存在，使得，所以在與上都趨于無(wú)窮大；令，則開口向下，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故，.因?yàn)楹瘮?shù)有且只有三個(gè)零點(diǎn)，而已經(jīng)有唯一零點(diǎn)，所以必須有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，則，即在處取不到零點(diǎn)，故至多只有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，，則，所以在處取得零點(diǎn)，結(jié)合圖像又知與必有兩個(gè)交點(diǎn)，故在與必有兩個(gè)零點(diǎn)，所以有且只有三個(gè)零點(diǎn)，滿足題意；綜上：，即.故選：C.9．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知偶函數(shù)滿足且，當(dāng)時(shí),，關(guān)于的不等式在上有且只有200個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷f（x）在（0，8）上的單調(diào)性，根據(jù)對(duì)稱性得出不等式在一個(gè)周期（0，8）內(nèi)有4個(gè)整數(shù)解，再根據(jù)對(duì)稱性得出不等式在（0，4）上有2個(gè)整數(shù)解，從而得出a的范圍．【詳解】當(dāng)0＜x≤4時(shí)，f′（x）=，令f′（x）=0得x=，∴f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，4）上單調(diào)遞減，∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（x+4）=f（4﹣x）=f（x﹣4），∴f（x）的周期為8，∵f（x）是偶函數(shù)，且不等式f2（x）+af（x）＞0在[﹣200，200]上有且只有200個(gè)整數(shù)解，∴不等式在（0，200）內(nèi)有100個(gè)整數(shù)解，∵f（x）在（0，200）內(nèi)有25個(gè)周期，∴f（x）在一個(gè)周期（0，8）內(nèi)有4個(gè)整數(shù)解，（1）若a＞0，由f2（x）+af（x）＞0，可得f（x）＞0或f（x）＜﹣a，顯然f（x）＞0在一個(gè)周期（0，8）內(nèi)有7個(gè)整數(shù)解，不符合題意；（2）若a＜0，由f2（x）+af（x）＞0，可得f（x）＜0或f（x）＞﹣a，顯然f（x）＜0在區(qū)間（0，8）上無(wú)解，∴f（x）＞﹣a在（0，8）上有4個(gè)整數(shù)解，∵f（x）在（0，8）上關(guān)于直線x=4對(duì)稱，∴f（x）在（0，4）上有2個(gè)整數(shù)解，∵f（1）=ln2，f（2）==ln2，f（3）=，∴f（x）＞﹣a在（0，4）上的整數(shù)解為x=1，x=2．∴≤﹣a＜ln2，解得﹣ln2＜a≤﹣．故答案為：D【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，考查函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.（2）解答本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一是分析出函數(shù)f(x)的周期性和對(duì)稱性，f（x）在一個(gè)周期（0，8）內(nèi)有4個(gè)整數(shù)解.其二是對(duì)a分類討論，得到a的取值范圍.10．（2023秋·江蘇泰州·高三泰州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn).其中，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】令，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，畫出圖象，從而考慮有兩個(gè)不同的根，從而可得或，結(jié)合圖象可得，，，結(jié)合韋達(dá)定理即可得到所求值．【詳解】解：令，則，故當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，可得處取得最小值，，，畫出的圖象，由可化為，故結(jié)合題意可知，有兩個(gè)不同的根，故，故或，不妨設(shè)方程的兩個(gè)根分別為，，①若，，與相矛盾，故不成立；②若，則方程的兩個(gè)根，一正一負(fù)；不妨設(shè)，結(jié)合的性質(zhì)可得，，，，故又，，．故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論思想的應(yīng)用，屬于難題．11．（2023·江蘇常州·校考一模）已知實(shí)數(shù)，，滿足，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知條件可得，，由求出，所求式子可以用表示，由可以求出得范圍，再利用導(dǎo)數(shù)求關(guān)于的函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性可求最值.【詳解】由，可得，，由可得所以，由可得即，解得，所以，令，，由可得，由可得或，，，，，所以的最小值為，即的最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是將所求的式子用變量表示，利用不等式求出得范圍，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求最值.12．（2023春·江蘇南京·高三南京市寧海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若正實(shí)數(shù)a，b滿足，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及得到或，分別討論兩種情況下四個(gè)選項(xiàng)是否正確，A選項(xiàng)可以用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，B選項(xiàng)可以用作差法，C選項(xiàng)用作差法及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解，D選項(xiàng)，需要構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，為單調(diào)遞增函數(shù)，故，由于，故，或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；，故；，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，故；，；故ABC均錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，兩邊取自然對(duì)數(shù)，，因?yàn)椴还?，還是，均有，所以，故只需證即可，設(shè)（且），則，令（且），則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在且上恒成立，故（且）單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，結(jié)論得證，D正確故選：D13．（2023秋·江蘇泰州·高三泰州中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若關(guān)于的方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，且，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，則有，令函數(shù)，畫出其圖象，結(jié)合圖象可得關(guān)于的方程一定有兩個(gè)實(shí)根，且，，即可求解．【詳解】解：由關(guān)于的方程，令，則有，令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其圖象如下：要使關(guān)于的方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，，，且，結(jié)合圖象可得關(guān)于的方程一定有兩個(gè)實(shí)根，，且，，由韋達(dá)定理知，，，，又，可得，故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是通過(guò)換元，將較復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再利用導(dǎo)數(shù)工具說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性.14．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)任意，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合函數(shù)的奇偶性可將不等式轉(zhuǎn)換成不等式在上的恒成立問(wèn)題，由此即可進(jìn)一步求解.【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，對(duì)函數(shù)繼續(xù)求導(dǎo)得，由基本不等式得，所以在上單調(diào)遞增，又注意到，所以、隨的變化情況如下表：由上表可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)是偶函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知，成立當(dāng)且僅當(dāng)，而成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以原問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了對(duì)任意，不等式組恒成立，將不等式組變形為，所以對(duì)任意，只需，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，綜上所述：滿足題意的實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性將原問(wèn)題轉(zhuǎn)換為對(duì)任意，不等式組恒成立，從而根據(jù)恒成立問(wèn)題的求解方法即可順利求解.15．（2023·江蘇常州·校考一模）在信息時(shí)代，信號(hào)處理是非常關(guān)鍵的技術(shù)，而信號(hào)處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù).函數(shù)的圖象可以近似的模擬某種信號(hào)的波形，則下列判斷中不正確的是（

）A．函數(shù)為周期函數(shù)，且為其一個(gè)周期B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的最大值為4.【答案】A【分析】結(jié)合函數(shù)的周期性、對(duì)稱性、導(dǎo)數(shù)與最值、誘導(dǎo)公式等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，A選項(xiàng)，，所以不是的周期，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，，，所以，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，..所以，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，，由于，所以，且，所以的最大值是，D選項(xiàng)正確.故選：A【點(diǎn)睛】判斷的對(duì)稱中心、對(duì)稱軸，可利用代入驗(yàn)證法，即若要判斷是函數(shù)的對(duì)稱中心，則有；若要判斷直線是函數(shù)的對(duì)稱軸，則有.16．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）下列不等式正確的是（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性即可求解.【詳解】對(duì)于A，由，考慮函數(shù)，，因?yàn)?，所以在上為增函?shù)，所以，，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，考慮函數(shù)，，因?yàn)?，所以在上為增函?shù)，所以，所以在上恒成立，因?yàn)椋?，即成立，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，考慮函數(shù)，，因?yàn)?，所以在上為減函數(shù)，因?yàn)椋?，，所以，故C正確；對(duì)于D，顯然，所以，故D錯(cuò)誤．故選：C17．（2023·江蘇南京·南京市第五高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知是函數(shù)的零點(diǎn)，是函數(shù)的零點(diǎn)，且滿足，則實(shí)數(shù)的最小值是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，求出其零點(diǎn)的值，根據(jù)求出的范圍.令g(x)=0，參變分離，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有解問(wèn)題即可求解．【詳解】，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，為方程的根，即﹒故，即為，解得﹒是函數(shù)的零點(diǎn)，方程在上有解﹒即在上有解﹒，在上有解﹒令，則，設(shè)，則，易知h(t)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減﹒又，﹒﹒故實(shí)數(shù)a的最小值是﹒故選：A﹒18．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）兩條曲線與存在兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題可得有兩個(gè)不等正根，令，即有兩個(gè)不等正根，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】由題可知有兩個(gè)不等正根，即有兩個(gè)不等正根，令，則，又，在上單調(diào)遞增，所以有兩個(gè)不等正根，設(shè)，則，由可得單調(diào)遞增，由可得單調(diào)遞減，且，作出函數(shù)和的大致圖象，由圖象可知當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)正根，即時(shí)，兩條曲線與存在兩個(gè)公共點(diǎn).故選：C.【點(diǎn)睛】利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法（1）利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解；（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的問(wèn)題.19．（2023秋·江蘇南京·高三南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校校聯(lián)考期末）若存在實(shí)數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)都滿足：恒成立，則稱直線為和的一條“劃分直線”．列命題正確的是（

）A．函數(shù)和之間沒(méi)有“劃分直線”B．是函和之間存在的唯一的一條“劃分直線”C．是函數(shù)和之間的一條“劃分直線”D．函數(shù)和之間存在“劃分直線”，且的取值范圍為【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)和有公共點(diǎn)得滿足題意得“劃分直線”必過(guò)點(diǎn)，進(jìn)而設(shè)其方程為，再結(jié)合，恒成立得，再證明即可判斷AB；根據(jù)當(dāng)時(shí)不滿足判斷C；根據(jù)判斷D.【詳解】解：因?yàn)椋?，函?shù)和有公共點(diǎn)，所以，當(dāng)和之間存在“劃分直線”，則該直線必過(guò)點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，即，因?yàn)閷?duì)于，恒成立，即，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，即，

當(dāng)時(shí)，恒成立，即，所以，對(duì)于，恒成立，則，所以，過(guò)點(diǎn)，且滿足的直線方程有且只有，下證，令，，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，，即，故，所以，函數(shù)和之間存在的唯一的一條“劃分直線”，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，；，顯然不滿足恒成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，顯然滿足，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于AB選項(xiàng)的判斷關(guān)鍵在于結(jié)合“劃分直線”的定義，利用“劃分直線”過(guò)和有公共點(diǎn)討論求解；CD選項(xiàng)的判斷通過(guò)特殊值判斷.20．（2023春·江蘇南京·高三南京師大附中校考開學(xué)考試）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用多次求導(dǎo)的方法，列不等式來(lái)求得的取值范圍.【詳解】的定義域是，，令，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.要使有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，此時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，所以在上遞增，所以，所以，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍.故選：D【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，當(dāng)一次求導(dǎo)無(wú)法求得函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，可利用二次求導(dǎo)的方法來(lái)進(jìn)行求解.在求解的過(guò)程中，要注意原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.二、多選題21．（2023·江蘇南京·?？家荒＃┒x在上的函數(shù)滿足，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．在處取得極大值，極大值為B．有兩個(gè)零點(diǎn)C．若在上恒成立，則D．【答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的解析式，再逐項(xiàng)分析即可判斷作答.【詳解】，由得：，即，令，而，則，即有，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是得在處取得極大值，A正確；顯然，即函數(shù)在上有1個(gè)零點(diǎn)，而時(shí)，恒成立，即函數(shù)在無(wú)零點(diǎn)，因此，函數(shù)在定義域上只有1個(gè)零點(diǎn)，B不正確；，，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此，當(dāng)時(shí)，，所以，C正確；因函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則，又，則，即，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問(wèn)題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.22．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高三揚(yáng)州中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若與圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為，且這些公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，，…，，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BCD【分析】對(duì)于A，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，兩函數(shù)作差構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可得答案；對(duì)于B，由題意，作圖，可得函數(shù)在處相切，可得方程，結(jié)合三角恒等式，可得答案；對(duì)于C，由題意，作圖，根據(jù)對(duì)稱性以及公共點(diǎn)所在區(qū)間，可得答案；對(duì)于D，利用三角函數(shù)的值域與周期性，可得答案.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，令，則，即函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)為，同理易知函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)為，即與也恰有一個(gè)公共點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，如下圖：易知在，且，與圖象相切，由當(dāng)時(shí)，，則，，故，從而，所以，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，如下圖：則，，所以，又圖象關(guān)于對(duì)稱，結(jié)合圖象有，即有，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，由，與的圖象在軸右側(cè)的前1012個(gè)周期中，每個(gè)周期均有2個(gè)公共點(diǎn)，共有2024個(gè)公共點(diǎn)，故D正確.故選：BCD.23．（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，則下列判斷正確的是（

）A．在單調(diào)遞增B．在僅有1個(gè)零點(diǎn)C．在有1個(gè)極大值D．當(dāng)時(shí)，【答案】ABC【分析】通過(guò)求導(dǎo)可分析A選項(xiàng),將方程的根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)問(wèn)題,從而可分析B,C選項(xiàng),舉反例可分析D選項(xiàng).【詳解】，,當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)，故在單調(diào)遞增，A選項(xiàng)正確；令，可得，作出函數(shù)和的函數(shù)圖像，如圖所示，由圖可知，函數(shù)和在僅有1個(gè)交點(diǎn)，即在僅有1個(gè)零點(diǎn)，故B正確；由圖可知在內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為且，當(dāng)時(shí)，<,即；當(dāng)時(shí)，>,即；故為極小值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，<,即；故為極大值點(diǎn)，所以在有1個(gè)極大值，C正確；當(dāng)，，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,函數(shù)的零點(diǎn)和方程根的關(guān)系,函數(shù)圖象的應(yīng)用,屬于較難題.24．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)是定義在上不恒為零的可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任意的，均滿足：，，記，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，賦值即可判斷；對(duì)于B選項(xiàng)，可根據(jù)題設(shè)條件，構(gòu)造函數(shù)，求出解析式，即可判斷；對(duì)于C選項(xiàng)，通過(guò)對(duì)求導(dǎo)可得，即可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)，通過(guò)構(gòu)造數(shù)列，結(jié)合裂項(xiàng)相消法以及等比數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】令，得，即，故A正確；因?yàn)?，則，又因?yàn)?，是定義在上不恒為零的可導(dǎo)函數(shù)，所以可設(shè)，因?yàn)?，所以，即，則，所以，則，故B錯(cuò)誤；令，所以，所以，所以，所以，則，所以，，，，累加得：，所以選項(xiàng)C正確；因?yàn)?，所以，，，，累加得：，即，設(shè)，則，所以，即，所以，，，，累加得，所以，即所以，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題屬于綜合題，難度較大，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)和構(gòu)造數(shù)列，需熟悉基本初等函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)以及熟練運(yùn)用數(shù)列求和的方法.25．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】AD【分析】對(duì)于AB選項(xiàng)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，相當(dāng)于函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即函數(shù)圖像與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，由此可判斷AB選項(xiàng)正誤；對(duì)于CD選項(xiàng)，由題有.則.結(jié)合范圍可判斷CD選項(xiàng)正誤.【詳解】函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，相當(dāng)于函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)根，因，則方程有根相當(dāng)于圖像與直線有兩個(gè)交點(diǎn).因，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.結(jié)合時(shí)，，，可做大致圖像如下：則由圖可得，時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，故A正確；又圖可得，，，則B錯(cuò)誤；因，則，又因，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故C錯(cuò)誤；因，則，令，則，因，則在上單調(diào)遞減，則，即，故D正確.故選：AD26．（2023春·江蘇南通·高三校考開學(xué)考試）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A、B，有兩個(gè)極值點(diǎn)，則在上有2個(gè)不同的根，分離參數(shù)畫圖可得a的范圍及、的范圍.對(duì)于選項(xiàng)C，將代入可得關(guān)于的二次函數(shù)，求其范圍即可.對(duì)于選項(xiàng)D，運(yùn)用比值代換法構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)研究其范圍.【詳解】由題意知，在上有2個(gè)不同的根，又∵，∴，即：，∴在上有2個(gè)不同的交點(diǎn)，令，∴，，，∴在上單增，在上單減，又∵，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴的圖象如圖所示，∴當(dāng)時(shí)，與在上有2個(gè)不同的交點(diǎn)，.故選項(xiàng)A項(xiàng)正確，選項(xiàng)B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由題意知，，∴，又∵，∴，令，則，則在上單調(diào)遞增，∴，即：.故選項(xiàng)C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)，∴，解得：∴，∴，，令，則，令，則，，∵，∴∴在上單調(diào)遞增，∴，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴在上單調(diào)遞增，∴∴，即：，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的解法(1)(對(duì)稱化構(gòu)造法)構(gòu)造輔助函數(shù)：對(duì)結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)；對(duì)結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究F(x)的單調(diào)性獲得不等式．(2)(比值代換法)通過(guò)代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過(guò)代換化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明.27．（2023·江蘇南通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切于點(diǎn)，則（

）A． B．C．的最大值為0 D．當(dāng)時(shí)，【答案】AB【分析】先利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線方程，利用切線斜率和截距相等建立方程，然后利用指對(duì)互化判斷A、B，由數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)，判斷函數(shù)值符號(hào)即可判斷C，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，判斷D【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，切線：，即，因?yàn)?，所以，又，所以，切線：，即，由題意切線重合，所以，所以，即，A正確；當(dāng)時(shí)，兩切線不重合，不合題意，所以，，，所以，，B正確；，當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，，，則，，所以，C錯(cuò)誤；設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，∴，記，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，D錯(cuò)誤.故選：AB【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題需要表示出兩條切線方程，然后比較系數(shù)，再進(jìn)行代換，在代換過(guò)程中要盡量去消去指數(shù)或?qū)?shù)，朝目標(biāo)化簡(jiǎn).28．（2023秋·江蘇南京·高三南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，若有三個(gè)零點(diǎn)，則b的取值范圍為B．若滿足，則C．若過(guò)點(diǎn)可作出曲線的三條切線，則D．若存在極值點(diǎn)，且，其中，則【答案】ACD【分析】對(duì)于A，將代入求導(dǎo)求極值，有三個(gè)零點(diǎn)，則令極大值大于零，極小值小于零即可；對(duì)于B，根據(jù)，推斷函數(shù)的對(duì)稱性，進(jìn)而可以求得的值；對(duì)于C，將代入得到的解析式，根據(jù)過(guò)某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾何意義的求法求解即可；對(duì)于D，利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，先分和討論函數(shù)的單調(diào)性，得到且，此時(shí)可得的表達(dá)式，令，結(jié)合，再化簡(jiǎn)即可得到答案.【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，，，令，解得或，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)取得極大值，當(dāng)時(shí)取得極小值，有三個(gè)零點(diǎn)，，解得，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，滿足，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱可知的對(duì)稱點(diǎn)為，將其代入，得，解得，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率化簡(jiǎn)，得由條件可知該方程有三個(gè)實(shí)根，有三個(gè)實(shí)根，記，令，解得或，當(dāng)時(shí)取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)可作出曲線的三條切線，所以，解得，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，，，當(dāng)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；存在極值點(diǎn)，由得令，，于是，所以，化簡(jiǎn)得：，，，于是，.故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.29．（2023·江蘇·江蘇省邗江中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)是定義域?yàn)榈膯握{(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的，都有，且方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同解，則實(shí)數(shù)的取值可能為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】BC【分析】根據(jù)題意得到存在唯一的正實(shí)數(shù)，滿足且，求得，得到，轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的解，轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的解，設(shè)，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性與極值，畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，即可求解的取值范圍.【詳解】函數(shù)是定義域?yàn)樯系膯握{(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的，都有，所以存在唯一的正實(shí)數(shù)，滿足且，所以，即，即，所以，所以，所以，因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間上有兩個(gè)不同的解，所以方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的解，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又由，畫出和的圖象，如圖所示，又由函數(shù)的圖象相當(dāng)于的圖象向上或向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，要使得在區(qū)間上有兩個(gè)不同的解，即函數(shù)與在區(qū)間上有兩個(gè)不同的解，所以，所以實(shí)數(shù)的取值可能為.故選：BC.【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．30．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，則（

）A．函數(shù)在上存在唯一極值點(diǎn)B．為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C．若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為D．若，則的最大值為【答案】BCD【分析】對(duì)于A：利用導(dǎo)數(shù)推出在單調(diào)遞增，可得A錯(cuò)誤；對(duì)于B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，得其圖象，根據(jù)函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，可得B正確；對(duì)于C：根據(jù)在單調(diào)遞增，將不等式化為恒成立，右邊構(gòu)造函數(shù)求出最大值，可得C正確；對(duì)于D：根據(jù)以及指對(duì)同構(gòu)得，將化為，再求導(dǎo)可求出最大值，可得D正確.【詳解】對(duì)于A：，令，則，令，解得：，令，解得：，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，故在單調(diào)遞增，函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，即，又時(shí)，，作出函數(shù)的圖象，如圖：

若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，得有兩個(gè)實(shí)根，得函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，，故B正確；對(duì)于C：由B得：在上恒成立，則在單調(diào)遞增，則不等式恒成立，等價(jià)于恒成立，故，設(shè)，則，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故，則實(shí)數(shù)的最小值為，故C正確；對(duì)于D：若，則，即，∵，∴，，，由A知，在上單調(diào)遞增，故，所以，設(shè)，則，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，此時(shí)，故的最大值是，故D正確；故選：BCD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，總有成立，故；（2）若，總有成立，故；（3）若，使得成立，故；（4）若，使得，故.31．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知，，若與圖像的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為，且這些公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BC【分析】對(duì)于A，由題意，作圖，根據(jù)對(duì)稱性以及公共點(diǎn)所在區(qū)間，可得答案；對(duì)于B，由題意，作圖，可得函數(shù)在處相切，可得方程，結(jié)合三角恒等式，可得答案；對(duì)于C，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，兩函數(shù)作差構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可得答案；對(duì)于D，利用三角函數(shù)的值域與周期性，可得答案.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，如下圖，

則，，所以，又圖像關(guān)于對(duì)稱，結(jié)合圖像有，即有，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，如下圖，

易知在，且，與圖像相切，由當(dāng)時(shí)，，則，，故，從而，所以，故B正確；對(duì)于C，令，顯然有，即是方程的一個(gè)根，又易知，是偶函數(shù)且，因?yàn)?，所以時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)，令，則，當(dāng)時(shí)，，又過(guò)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，是在原點(diǎn)的切線，如圖，

所以時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由，與的圖像在軸右側(cè)的前個(gè)周期中，每個(gè)周期均有個(gè)公共點(diǎn)，共有個(gè)公共點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)晴：對(duì)于選項(xiàng)A和D，處理的關(guān)鍵在于，借助函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像的對(duì)稱性和周期性解決問(wèn)題；對(duì)于選項(xiàng)B和D，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決問(wèn)題.32．（2023秋·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增B．若的圖象在處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)C．當(dāng)時(shí)，不存在極值D．當(dāng)時(shí)，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且【答案】ABD【分析】對(duì)于A，利用導(dǎo)數(shù)即可判斷；對(duì)于B，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷；對(duì)于C，取，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷此時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，說(shuō)明極值情況，即可判斷；對(duì)于D，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理說(shuō)明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，繼而由可推出，即可證明結(jié)論，即可判斷.【詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)榍?，所以，?duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)橹本€的斜率為，又因?yàn)榈膱D象在處的切線與直線垂直，故令，解得，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，不妨取，則，令，則有，解得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上分別單調(diào)遞減；所以此時(shí)函數(shù)有極值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由A可知，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，分別位于和內(nèi)；設(shè)，令，則有，則，所以的兩根互為倒數(shù)，所以，故D正確．故選：ABD【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，綜合性較，解答的難點(diǎn)在于選項(xiàng)D的判斷，要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，難就難在計(jì)算量較大并且計(jì)算復(fù)雜，證明時(shí)，要注意推出，進(jìn)而證明結(jié)論33．（2023秋·江蘇無(wú)錫·高三?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】令，得到，推得為偶函數(shù)，得到的圖象關(guān)于對(duì)稱，再利用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，把不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由函數(shù)，令，則，可得，可得，所以為偶函數(shù)，即函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，又由，令，可得，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，即時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，即時(shí)，單調(diào)遞減，由不等式，可得，即所以不等式恒成立，即恒成立，所以的解集為，所以且，解得，結(jié)合選項(xiàng)，可得BC適合.故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用換元法設(shè)，從而得到，證明其為偶函數(shù)，則得到的圖象關(guān)于對(duì)稱，再結(jié)合其單調(diào)性即可得到不等式組，解出即可.34．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）函數(shù)，關(guān)于x的方程，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．函數(shù)的值域?yàn)锽．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為C．當(dāng)時(shí)，則方程有6個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D．若方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是【答案】ACD【分析】先根據(jù)分式函數(shù)和導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)判斷函數(shù)單調(diào)性與漸近線，從而畫出函數(shù)圖象，進(jìn)而直接判斷A和B；通過(guò)方程的根與圖象的公共點(diǎn)之間的聯(lián)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并結(jié)合圖象即可判斷C和D.【詳解】①當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，且漸近線為軸和，恒有.②當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)在單調(diào)遞增，當(dāng)在單調(diào)遞減，故，且恒有.綜上①②可知，，作出函數(shù)大致圖象，如下圖.

對(duì)于A，函數(shù)的值域?yàn)?，故A正確；對(duì)于B，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，則方程可化為即或，由，得或，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；由圖象可知，由，有不相等的實(shí)數(shù)根，且均不為，也不為，

所以當(dāng)時(shí)，則方程有6個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故C正確；對(duì)于D，若關(guān)于x的方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即方程與方程共有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.又因?yàn)橐延袃蓚€(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則方程有且僅有1個(gè)根，且不為.所以與有且僅有1個(gè)公共點(diǎn)，由圖象可知，滿足題意，即m的取值范圍是，故D正確.故選：ACD.

【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)函數(shù)解析式或方程變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.35．（2023秋·江蘇常州·高三常州高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)，其中，則（

）A．不等式對(duì)恒成立B．若關(guān)于的方程有且只有兩個(gè)實(shí)根，則的取值范圍為C．方程共有4個(gè)實(shí)根D．若關(guān)于的不等式恰有1個(gè)正整數(shù)解，則的取值范圍為【答案】ACD【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，求出其最小值，可判斷A選項(xiàng)；作出曲線與直線圖像，根據(jù)圖像可判斷B選項(xiàng)；令，且，有兩解分別為:，，或，數(shù)形結(jié)合可判斷C選項(xiàng)；由直線過(guò)原點(diǎn)，再結(jié)合圖像分析即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在出取得極小值，，在處取得極大值，，而時(shí)，恒有成立，的最小值是，即，對(duì)恒成立，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根，即曲線與直線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，由A選項(xiàng)分析，曲線與直線圖像如下，

由圖知，當(dāng)或時(shí)，曲線與直線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由得：，解得，令，且，由圖像知，有兩解分別為:，，所以或，而，則有兩解，，也有兩解，綜上，方程共有4個(gè)根，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，直線過(guò)原點(diǎn)，且，，，記，，，易判斷，，不等式恰有1個(gè)正整數(shù)解，即曲線在上對(duì)應(yīng)的值恰有1個(gè)正整數(shù)，由圖像可得，，即，故D正確.故選：ACD.36．（2023秋·江蘇徐州·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．在上有極小值 B．的最小值為C．在上單調(diào)遞增 D．的最小值為【答案】ACD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則結(jié)合求得函數(shù)的表達(dá)式，同時(shí)求得，然后利用導(dǎo)數(shù)確定，的單調(diào)性和最值．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，則，即，令（為常數(shù)），所以，，因?yàn)?，可得，所以，，，，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，對(duì)于A選項(xiàng)，易得時(shí)達(dá)到極小值；A對(duì)對(duì)于B選項(xiàng)，，B錯(cuò)；，對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，令，可得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以，，D對(duì).故選：ACD．【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于已知等式中含有，的式子，難點(diǎn)在于構(gòu)造新函數(shù)，已知條件轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，從而得出新函數(shù)的性質(zhì)．常見的新函數(shù)有，，，，，．37．（2023秋·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則以下判斷正確的是（

）A．函數(shù)的零點(diǎn)是B．不等式的解集是．C．設(shè)，則在上不是單調(diào)函數(shù)D．對(duì)任意的，都有．【答案】BD【分析】利用零點(diǎn)的定義可直接判定A，直接解不等式可判定B，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可判定C，構(gòu)造差函數(shù)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可判定D.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，零點(diǎn)是數(shù)不是點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，令，而恒成立，原不等式等價(jià)于，解之得，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，，所以，設(shè)，則，設(shè)即定義域上單調(diào)遞增，，即存在使得，即存在使得，所以時(shí)有，則，在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)，由C項(xiàng)結(jié)論可知在上單調(diào)遞增，所以有，又，即成立，故D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在選項(xiàng)D，結(jié)合對(duì)函數(shù)的單調(diào)性的研究，構(gòu)造差函數(shù)利用單調(diào)性比較大小來(lái)判定比較難想到.38．（2023秋·江蘇常州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，則（

）A．不等式對(duì)恒成立B．若關(guān)于x的方程有且只有兩個(gè)實(shí)根，則k的取值范圍C．方程恰有3個(gè)實(shí)根D．若關(guān)于x的不等式恰有1個(gè)正整數(shù)解，則a的取值范圍為【答案】AD【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，求出其最小值，可判斷