數(shù)字電路與邏輯設(shè)計第02章：邏輯函數(shù)的表達式

內(nèi)容回顧

三種基本邏輯及幾種復(fù)合邏輯運算

邏輯函數(shù)在邏輯代數(shù)中的表示方法

邏輯代數(shù)的常用公式

邏輯代數(shù)的三個基本規(guī)則

邏輯函數(shù)的表達式本次課內(nèi)容

邏輯函數(shù)的公式化簡法

卡諾圖的相關(guān)概念2.5邏輯函數(shù)的表達式一、常見表達式F=AB+AC

=AB+AC=AB·AC

=(A+B)·(A+C)與或式

與非—與非式與或非式=AB+AC=(A+B)·(A+C)或與式=(A+B)·(A+C)=A+B+A+C或非—或非式與或非式=AB+AC2.5.2邏輯函數(shù)的標準表達式（標準形式）

邏輯函數(shù)的一般形式具有多樣性，而其標準形式具有惟一性,和真值表有嚴格的對應(yīng)關(guān)系。

邏輯函數(shù)的標準形式有兩種：

1）最小項表達式

2）最大項表達式以最小項表達式為主學(xué)習(xí)和使用。1.最小項、最小項表達式(1)最小項的概念及其表示

最小項是一個乘積項，在該乘積項中邏輯函數(shù)的所有變量都要以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，且只能出現(xiàn)一次。一般n個變量的最小項應(yīng)有2n個。

、

、A(B+C)等則不是最小項。例如：A、B、C三個邏輯變量的最小項有（23＝）8個，即、、、、、、、i的取值：把原變量取“1”，反變量取“0”表示后組成的二進制數(shù)的十進制值。最小項的表示：通常用mi表示最小項，m

表示最小項,下標i為最小項的編號。

A、B、C三個邏輯變量的最小項分別為：

、、、、、、、例：已知四變量函數(shù)F(A,B,C,D)，則BACD就

是一個最小項，其最小項編號為多少？解：把最小項中的變量從左到右按A,B,C,D的順

序排列，得ABCD，從而得(0111)2，即(7)10。所以，此最小項的編號為7，通常寫成m7。

最小項表達式（標準與或式）例：

在“與或”式中的每個乘積項都是最小項。最小項的性質(zhì)：1）對于任意一個最小項，只有一組變量取值使得

它的值為1；2）全體最小項之和為1。3）任意兩個最小項的乘積恒等于0。4）任一最小項與另一最小項非之積恒等于該最小項。1）對于任意一個最小項，只有一組變量取值使得它的值為1；0001000000000101000000010001000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001三個變量的所有最小項的真值表

2）全體最小項之和為1。0001000000000101000000010001000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001三個變量的所有最小項的真值表

即：3）任意兩個最小項的乘積恒等于0。0001000000000101000000010001000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001三個變量的所有最小項的真值表

即：4）任一最小項與另一最小項非之積恒等于該最小項。證明：若自變量的取值組合使mi=1(有且只有一組)，則：若自變量的取值組合使mi=0(其余2n

-1組)，則：所以，等式成立。

幾個關(guān)系式：只要求掌握第（2）條和第（5）條。例1：若則

解：解：例2：若則

5.由一般表達式寫出最小項表達式的方法：與或式A+A=1最小項表達式例1解：F(A,B,C)=AB(C+C)=ABC+ABC6.由真值表寫出最小項表達式的方法

最小項表達式是真值表中所有使函數(shù)值為1的取值組合所對應(yīng)的各最小項之和。ABF001010101110解：最小項表達式為：

=m0+m2F(A,B)=AB+AB表2.5.2例2.5.3試將表2.5.2真值表所表示的邏輯函數(shù)用最小項表達式表示。ABEFC補充：寫出如圖所示開關(guān)電路中F和A、B、C間的邏

輯關(guān)系的真值表和最小項表達式。2.6邏輯函數(shù)的化簡

一、化簡的意義和最簡的標準：

1.化簡的意義（目的）：節(jié)省元器件；提高工作可靠性2.化簡的目標：最簡與或式或者最簡或與式

3.最簡的標準：(1)項數(shù)最少(2)每項中的變量數(shù)最少

(3)要求工作速度較高時，應(yīng)在考慮級數(shù)最少的

前提下按前兩個標準化簡。

二、公式法1.與或式的化簡2.或與式的化簡(1)相鄰項合并法利用合并相鄰項公式:

AB+AB=A例2：F=A(BC+BC)+A(BC+BC)

=A例1：F=AB+CD+AB+CD=A+D

=(AB+AB)+(CD+CD)1.與或式的化簡(2)消項法=AB利用消項公式A+AB=A

或多余項公式AB+AC+BC=AB+AC例1：F=AB+ABC+ABD=AB+AB(C+D)例2：F=AC+CD+ADE+ADG

=AC+CD(3)消去互補因子法利用消去互補因子公式A+AB=A+B例1：F=AB+AC+BC

=AB+C

=AB+ABC例2：F=AB+AB+ABCD+ABCD=AB+AB+CD(AB+AB)=AB+AB+CD結(jié)論：先找公共因子，再找互補因子。

合并相鄰項公式

AB+AB=A

消項公式

A+AB=A

消去互補因子公式

A+AB=A+B

多余項（生成項）公式AB+AC+BC=AB+AC(4)綜合法習(xí)題2.5用公式證明下列等式：(1)

A

C+

A

B+BC+

A

C

D=

A+BC(2)AB+

AC+(

B+

C)D=AB+

AC+D2.或與式的化簡：方法：二次對偶法F或與式（未化簡）與或式（進行化簡）或與式（已化簡）F′F解：F′=ABC+ABC例：把F(A,B,C)=(A+B+C)(A+B+C)化為最簡或與式。=ABF=(F′)′=A+B公式法化簡在使用中遇到的困難：1.邏輯代數(shù)與普通代數(shù)的公式易混淆，化簡過程要求對所有公式熟練掌握；2.公式法化簡無一套完善的方法可循，它依賴于人的經(jīng)驗和靈活性；3.用這種化簡方法技巧強，較難掌握。特別是對化簡后得到的邏輯表達式是否是最簡式判斷有一定困難。卡諾圖法可以比較簡便地得到最簡的邏輯表達式。2.6.3卡諾圖化簡法由英國工程師Karnaugh首先提出，也稱卡諾圖為K圖。利用卡諾圖可以方便地對邏輯函數(shù)進行化簡。通常稱為圖解法或卡諾圖化簡法。1.邏輯函數(shù)的卡諾圖表示卡諾圖的結(jié)構(gòu)特點

一張?zhí)厥饨Y(jié)構(gòu)的格圖形式的真值表。ABF00001110011100010111AB注意：變量對應(yīng)的取值按循環(huán)碼的變化規(guī)律

寫在格圖的左側(cè)和上方。三變量、四變量的卡諾圖變量取值見板書。（2）卡諾圖和邏輯函數(shù)最小項的關(guān)系卡諾圖中的每個小格可代表一個最小項。m6m7m5m41m2m3m1m0010110100ABC注意：Ⅰ

最小項的序號為該小格對應(yīng)的取值組合組成

的二進制數(shù)的十進制值Ⅱ

圖上幾何相鄰和對稱相鄰的小方格所代表的最小項邏輯相鄰。③卡諾圖和函數(shù)最小項表達式的關(guān)系“1格”代表的最小項進入函數(shù)的最小項表達式；“0格”代表的最小項不進入函數(shù)最小項表達式。例2.6.11將圖2.6.4所示卡諾圖用最小項表達式表示。解：100110010010110100ABC

=ABC+ABC+ABC

邏輯函數(shù)的幾種移植方法：①按真值表直接填。②先把一般表達式轉(zhuǎn)換為標準表達式，然后再填。③觀察法。例2.6.12試將F(A,B,C,D)=ABCD+ABD+AC用卡諾圖表示。解：11101111111010010110100ABCD圖2.6.5一般與或式的觀察法：在包含乘積項中全部變量的小格中填1。原變量對應(yīng)“1”，反變量對應(yīng)“0”。本次課內(nèi)容小結(jié)

了解由一般表達式寫出最小項表達式的方法；

掌握由真值表寫出最小項表達式的方法；

掌握簡單的公式化簡法；

掌握由一般表達式或真值表填寫卡諾圖的方法。課后作業(yè)2.12.8(1)2.10(1)2.11(1)(2)

ABF

ABF1AF

ABF

ABF

ABF

CD=1ABF=ABFF=ABF=A+BF=AF=ABF=A+BF=AB+CDF=A

BF=A⊙

B邏輯運算的國標圖形符號：

邏輯函數(shù)在邏輯代數(shù)中的表示方法：

1）真值表2）邏輯表達式

試寫出以下函數(shù)的真值表：F=(A+B)(A+C)

課后習(xí)題2.2(1)ABC0001100100

010000110010000101001100011111AB+BC+ACABC+ABC邏輯代數(shù)的基本公式：

1.自等律A+0=AA·1=A2.吸收律A+1=1A·0=03.重疊律

A+A=AA·A=A4.互補律5.還原律A=AA+A=1A·A=06.交換律A+B=B+AA·B=B·A7.結(jié)合律A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)A·B·C=(A·B)·C=A·(