等差數(shù)列的概念 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

4.2.1等差數(shù)列的概念北京天壇圜丘壇的地面石板數(shù)：9，18，27，36，45，54，63，72，81．①(2)S，M，L，XL，XXL，XXXL型號(hào)的服裝上衣對(duì)應(yīng)的尺碼分別是：38，40，42，44，46，48．②(3)測(cè)量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大氣溫度，得到從距離地面20m起每升高100m處的大氣溫度（單位：℃）依次為：25，24，23，22，21．③問(wèn)題1：請(qǐng)看下面幾個(gè)問(wèn)題中的數(shù)列，你能發(fā)現(xiàn)他們的規(guī)律嗎？如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差同一個(gè)常數(shù)追問(wèn)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條件？由等差數(shù)列的定義，有：A－a＝b－A，所以2A＝a＋b，即此時(shí)，我們把A叫做a和b的等差中項(xiàng).問(wèn)題2：你能根據(jù)定義，寫(xiě)出等差數(shù)列的遞推公式嗎？

設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則由定義可得：an＋1－an＝d.通項(xiàng)公式為：an＝a1＋(n－1)d.(n∈N*

)若等差數(shù)列{an}的第m項(xiàng)為am,則其第n項(xiàng)an可以表示為an=am+(n-m)d.探究點(diǎn)一

用定義判斷等差數(shù)列例1

判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列.（1）在數(shù)列{an}中,an=3n+2;（2）在數(shù)列{bn}中,bn=n2+n;

判斷一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列的方法:（1）定義法:an+1-an=d(常數(shù))(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列.（2）中項(xiàng)公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列.（3）通項(xiàng)公式法:an為n的一次函數(shù)?{an}為等差數(shù)列.探究點(diǎn)二

等差中項(xiàng)及其應(yīng)用例2（1）已知m和2n的等差中項(xiàng)是4,2m和n的等差中項(xiàng)是5,則m和n的等差中項(xiàng)是 (

)A.8 B.6C.4.5 D.3D（2）在-1與7之間依次插入三個(gè)數(shù)a,b,c,使這5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,則a,b,c分別為

.1,3,5例3已知等差數(shù)列{an}的公差為d.（1）若a1=2,d=3,求a10;29.（2）若a1=12,a6=27,求d;d=3.

探究點(diǎn)三

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用變式求下列等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.（1）已知a1=3,a7=15.

（2）已知a2=8,且a3+a5=4a2.

問(wèn)題3

觀察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，它與哪一類(lèi)函數(shù)有關(guān)？

an＝a1＋(n－1)d.(n∈N*

)追問(wèn)：可以從函數(shù)的角度，研究等差數(shù)列的單調(diào)性嗎？一次函數(shù)12a1xf(x)O3456a1－da2a3a4a5a6f(x)＝dx＋(a1－d)12a6xf(x)O3456a1－da5a4a3a2a1f(x)＝dx＋(a1－d)d＞0時(shí)，數(shù)列{an}單調(diào)遞增