名師指導(dǎo)高數(shù)“抱佛腳”：熟記基本公式

2009年名師指導(dǎo)高數(shù)“抱佛腳”：熟記基本公式專轉(zhuǎn)本《高等數(shù)學(xué)》考試的命題特點主持人：張老師講授統(tǒng)考11年，多次應(yīng)電視臺之邀講授成考課程，并多年參與編寫和修訂工作，積累了不少經(jīng)驗，下面請老師談?wù)剬＾D(zhuǎn)本《高等數(shù)學(xué)》的命題特點。老師：無論《高等數(shù)學(xué)（一）》還是《高等數(shù)學(xué)（二）》，主要以考察《高等數(shù)學(xué)》的基本知識、基本方法、以及基本技能為主。試題所涉及的毫無爭議的就是《高等數(shù)學(xué)》中最基本、最主要、也是最突出的知識點，是學(xué)完《高等數(shù)學(xué)》必須掌握的容易掌握的知識點。老師：總的來講試題考察全面，質(zhì)量分布比較合理，無論是《高等數(shù)學(xué)（一）》，還是《高等數(shù)學(xué)（二）》，主要貫穿著極限、導(dǎo)數(shù)、積分這樣一條主線。而且在考察基本概念基礎(chǔ)上，以考察基本計算能力為主，大多數(shù)考題都是常規(guī)型的計算題，另外在命題的時候，增強對試題的針對性，起點放得比較低，考生容易上手做，減少解題的中間環(huán)節(jié)或者是解題步驟，并且《高等數(shù)學(xué)（一）》和《高等數(shù)學(xué)（二）》從去年的命題大約有20%到30%的題目，都是一步出結(jié)果。老師：另外還有一個特點，在綜合應(yīng)用題你要強調(diào)幾何應(yīng)用。比如說無論是《高等數(shù)學(xué)（一）》或者《高等數(shù)學(xué)（二）》，考題中都涉及到定積分的應(yīng)用，求平面圖形的面積，或者求平面圖形圍繞坐標軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積。老師：總的來講，命題要遵循著教育部所頒布招生的《高等數(shù)學(xué)（一）》和《高等數(shù)學(xué)（二）》的考試大綱來進行命題?？荚嚧缶V是命題的惟一依據(jù)，所以也是指導(dǎo)考生考前復(fù)習的依據(jù)。另外從考試答卷中所反映出的問題是部分考生對于基本概念，基本理論缺乏必要的深度地理解，特別是解應(yīng)用題能力不強。還有一點，從閱卷情況看，有的考生復(fù)習欠全面，解題寫法不規(guī)范，導(dǎo)致考試中失分，這種情況?！陡邤?shù)》一、二的考試重點及歷年易考點主持人：下面請老師介紹一下《高等數(shù)學(xué)》一、二的重點，及歷年易考的考點？老師：《高等數(shù)學(xué)（一）》，主要是工學(xué)、理學(xué)這類考生，他主要是以《高等數(shù)學(xué)》為重點，一共是這樣七章，第一章是起點和連續(xù)，考試中約占13%的比例，第二章微分學(xué)約占25%各，第四章，空間學(xué)幾何，第五章微積分學(xué)，這個部分占20%的比例，空間幾何不是一個獨立的部分。第六章約占7%的比例，第八章常規(guī)方程約占10%的比例。老師：貫穿著微分學(xué)和積分學(xué)的主線，考試重點就是微分學(xué)、積分學(xué)，《高等數(shù)學(xué)（二）》是積分學(xué)管理類的必考科目?！陡叩葦?shù)學(xué)（二）》可以說兩個部分，第一大部分《高等數(shù)學(xué)》約占92%，其中極限和連續(xù)，約占15%，微分學(xué)約70%，第四章多元函數(shù)微分學(xué)約占15%。從《高等數(shù)學(xué)（二）》來講，還是以《高等數(shù)學(xué)》部分為主，占92%，是一大部分?！陡叩葦?shù)學(xué)》部分貫穿一條主線就是極限、導(dǎo)數(shù)、積分。

主持人：今年的專轉(zhuǎn)本《高等數(shù)學(xué)（一）》洛必達法則未定式的向量代數(shù)、可降階的積分方程等不再做要求，《高等數(shù)學(xué)（二）》對洛必達法則求未定式的極限也不做要求，這樣調(diào)整對考生有何影響？

老師：最主要是05年考試大綱的變化，教育部最近頒布了全國各類高等學(xué)校招生復(fù)習考試大綱，這是06年版，也是94年專轉(zhuǎn)本考試以來的第六版，這一版在05年變化的基礎(chǔ)上又做了一個適當?shù)恼{(diào)整。高數(shù)二就是您剛才所說的三點，一個是洛必達法則求未定式極限，三種冪指型未定式極限刪去了，另外刪去了函數(shù)的做圖，還有一點是不定積分刪去了第二換元積分發(fā)，刪去了正割變換?！陡叩葦?shù)學(xué)（一）》變化比較大，《高等數(shù)學(xué)（一）》在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用部分，刪去了羅爾定理存在的必要性，刪去了用洛必達法則求冪指形極限，這是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用部分。還有原來的空間幾何和向量代數(shù)，向量代數(shù)所有知識點及相應(yīng)考核要求，這次考試不做要求。還有在常微分方程中可降階的微分方程這次不做要求。

修訂考綱的依據(jù)充分考慮到考生不同學(xué)習背景的學(xué)習情況，考慮到考生的特點，這種調(diào)整使得考試的重點更加突出，有利于考生搞好考前復(fù)習，有利于考試中考生發(fā)揮自己的水平，取得好的成績。所以這種調(diào)整主要還是從考生的具體特點出發(fā)的，對于考生是有利的。

主持人：《高等數(shù)學(xué)（二）》，新增了在理解函數(shù)掌握求函數(shù)的重點，極值點方法的要求，對考生來說難度加大了嗎？考生應(yīng)注意哪些知識點？

老師：這實際上是考察的要求更加明確具體化，并沒有增加考生的難度，原來我們是會求函數(shù)的極值，函數(shù)的最值，在極值前面增加了重點知識點，考生沒有必要有這個顧慮，一般地說考察重點，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用是一個非常重要的點，一般有四個應(yīng)用必須要注意到。

老師：第一個應(yīng)用就是洛必達法則求未定式極限，我們說洛必達法則求未定式極限是四種類型，零比零型，無窮比無窮型…，考試就是這樣一種。第二應(yīng)用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)的性質(zhì)、曲線形狀，一般講升級凹管線，曲線的凹向區(qū)間、拐點。第三個應(yīng)用是會求函數(shù)必須連上函數(shù)的最大值和最小值，及簡單的實際應(yīng)用題。第四個應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式。這是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用部分，這部分復(fù)習重點非常突出、明確。

《高等數(shù)學(xué)》考試重點及試卷形式

主持人：請問老師重點考察的知識點有那些、《高等數(shù)學(xué)》的試卷的形式是什么？

老師：專轉(zhuǎn)本考試，無論是《高等數(shù)學(xué)（一）》或者是《高等數(shù)學(xué)（二）》，它的試卷結(jié)構(gòu)就是三種題型，第一個是選擇題、一共是10個小題，每題4分，總分40分，占27%的比例，第二個是填空題一共10個小題，每題4分，共計40分，占27%的比例，第三個是解答題，其中前五題是計算題每題8分，后三個題叫綜合運用與證明，一共三個小題，每題10分，所以解答題約占46%，這是《高等數(shù)學(xué)（一）》、《高等數(shù)學(xué)（二）》的試卷結(jié)構(gòu)。

老師：作為考試的重點來講，《高等數(shù)學(xué)》就貫穿一條主線，極限、大數(shù)、微分、積分這樣一條主線，這就是考試的重點。老師：極限部分每年四個題左右，導(dǎo)數(shù)和微分部分，導(dǎo)數(shù)的計算，同學(xué)們應(yīng)該熟練掌握、找出公式。還要注意一下導(dǎo)數(shù)的運算法則，特別要注意成積和商，每年都是考試重點，比如說成積的考試運算法則。商導(dǎo)數(shù)是個公式，考試在復(fù)習的時候一點要作為重點，熟練把握。

再一個就是副函數(shù)求導(dǎo)，什么叫副函數(shù)，怎么叫做從外到里，這個考生一定要搞清楚，這都是考試重點，這種題目每年都必考無疑，而且不止一個題目了。

老師：還有導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系。無論《高等數(shù)學(xué)（一）》《高等數(shù)學(xué)（二）》都是很重要的?？忌獜?fù)習這部分的時候一定要熟記基本方式，這里重點特別要強調(diào)的第一換元積分法和分母積分法，這每年都是考試重點，毫無疑問的，積分在不定積分的基礎(chǔ)上完成，定積分用牛-萊公式計算定積分就輕而易舉的事情，所以積分學(xué)主要是求不定積分和定積分。

老師：提醒一下各位考生要注意應(yīng)用，一般考試中一定要強調(diào)應(yīng)用，強調(diào)應(yīng)用意識，檢查考試應(yīng)用知識解決問題的能力，這個應(yīng)用部分像我剛才所說的，微分學(xué)部分，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、曲線的形狀，我概括成增極凹拐線?？荚囍羞@是一個重點。還要注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考試中考到的可能性極大。作為積分學(xué)部分要注意定積分的應(yīng)用，定積分的應(yīng)用像我剛才所講的，求平面圖形的面積，求旋轉(zhuǎn)體的體積，這點非常重要。比如05年求旋轉(zhuǎn)體體積，《高等數(shù)學(xué)（一）》《高等數(shù)學(xué)（二）》都是分別一個題10分的。一般考到的可能性極大。

復(fù)習時作題不要以多取勝以歷年試題為依據(jù)

主持人：書后邊有很多的復(fù)習和思考題，這些是不是就是命題的范圍呢？

老師：關(guān)于作題的問題，我可以這樣講，一般地講課的原則強調(diào)大綱，全國高等學(xué)校招生復(fù)習考試大綱，這是指導(dǎo)考前復(fù)習，也指導(dǎo)命題惟一的法律性文件，教材沒有指定，所以現(xiàn)在一般各校老師或者同學(xué)們選用的教材，因為是教育部考試中心主編的教材，用這本教材《高等數(shù)學(xué)（一）》大約有900多個題目，《高等數(shù)學(xué)（二）》大約有700個題目，題目比較多了，當然作為考生來講，精力很有限，做不過來的。我建議你們在復(fù)習的時候，作題不要以多取勝，要求質(zhì)量，做一定題目，要注意作題的時候總結(jié)歸納，這一類題的解題方法、規(guī)律，這就是舉一反三，觸類旁通。在有限的業(yè)余時間學(xué)習是不容易的事情，所以作題的時候還應(yīng)當注意方法，這還是挺重要的。

短時間內(nèi)有效復(fù)習方法：應(yīng)熟記基本公式

主持人：還有一個月就要考試了，現(xiàn)在很多考生關(guān)心在短時間內(nèi)怎么復(fù)習《高等數(shù)學(xué)》最有效？需要注意些什么？

老師：《高等數(shù)學(xué)》課本身是一個結(jié)構(gòu)非常嚴謹、邏輯性比較嚴密的課程。一般學(xué)

>《高等數(shù)學(xué)》一定要踏踏實實做下來，要一步一個腳印地進行復(fù)習，效果是最好的。當然現(xiàn)在離考試還有一個多月了，這種情況下，高等數(shù)學(xué)復(fù)習總比不復(fù)習要好，你多投入精力比少投入精力或者不投入精力那肯定效果要好，而且《高等數(shù)學(xué)》還是見效比較明顯的一門課。我講這個話是有依據(jù)的，

老師：在考試前一個月怎么來個突擊復(fù)習能夠比較見效呢？我認為，一定要在理解基本概念的基礎(chǔ)之上，熟記基本公式。比如說基本出的函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式還有不定積分公式，要熟悉基本公式，盡量在作題的過程中，學(xué)會掌握求導(dǎo)或者計算不定積分、計算定積分，掌握方法。

老師：比如說05年《高等數(shù)學(xué)（二）》，第五題是一個sinX求不定積分，其實你要敘述公式的話這四分就得到了。05年《高等數(shù)學(xué)（一）》中的第13題，是3的X方，求Y的導(dǎo)數(shù)，也是屬于一個基本函數(shù)求導(dǎo)數(shù)公式的問題，得分率大約不到0.7%左右，五個同學(xué)中有一個甚至一個半的同學(xué)不會做，那就說這些同學(xué)復(fù)習的時候，基本公式?jīng)]記住，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)或者涉及到換元積分法就無從談起了。

老師：另外還應(yīng)當像強調(diào)應(yīng)用，基本應(yīng)用這些主要的知識點考生必須掌握。

《高等數(shù)學(xué)》一和《高等數(shù)學(xué)》二的主要區(qū)別

主持人：有的考生問《高等數(shù)學(xué)（一）》和《高等數(shù)學(xué)（二）》的主要區(qū)別在哪兒？哪本書更適合學(xué)？我?？剖浅扇说?，沒有老師輔導(dǎo)學(xué)習起來很難，有什么好的方法和建議，我應(yīng)該注意書中的基本內(nèi)容還是應(yīng)該多練習呢？

老師：區(qū)別主要體現(xiàn)在一個方面的共有內(nèi)容中，有的要求質(zhì)量是不太一樣的。要求掌握求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法，再一個會求簡單函數(shù)的N階導(dǎo)數(shù)，《高等數(shù)學(xué)（二）》不是這樣題的。第四點理解羅爾定理，《高等數(shù)學(xué)（二）》不做基本的要求?！陡叩葦?shù)學(xué)（一）》要求掌握三角換元，正旋變換、正切變換和正割變換，《高等數(shù)學(xué)（二）》只要求掌握正旋變換，這是區(qū)別。

《高等數(shù)學(xué)（一）》有二重積分。《高等數(shù)學(xué)（二）》沒有二重積分，再有《高等數(shù)學(xué)（一）》有無窮方程，《高等數(shù)學(xué)（二）》不做要求。從考試情況來講，我們剛才講的《高等數(shù)學(xué)（一）》比《高等數(shù)學(xué)（二）》多出來的這部分知識，在考題中大約能占到30%的比例。大約也就是45分左右，所以有的同學(xué)講：老師我學(xué)的是《高等數(shù)學(xué)（一）》，沒有學(xué)《高等數(shù)學(xué)》，我學(xué)的是《高等數(shù)學(xué)（一）》的課，就是參加《高等數(shù)學(xué)》考試但是跟著《高等數(shù)學(xué)（二）》聽課，行不行？這也未嘗不可，但是必須把《高等數(shù)學(xué)（二）》沒有的知識自己要補上，不然的話，你等于丟了30%。那當對考生來講相當不利。

主持人：有一個網(wǎng)友在問，剛才說的刪去了不定積分中的第二換元積分法，是不是就不考了呢？

老師：不對，是正割變換不做要求，第二換元法中三角換元換的正割變換不做要求。

主持人：網(wǎng)友問，新大綱對洛必達法則未定式極限不做要求，請問張老師如果考試中用洛必達法則更為簡便，是否可以繼續(xù)使用。

老師：你提的不對，不是洛必達法則求極限不做要求，是洛必達法則求冪指形極限不做要求，洛必達法則還是做要求的。作為他這個問題可以這樣講，求極限的時候我們方法不限制，用什么方法都可以，怎么簡單怎么做，作題一般找捷徑，所以洛必達法則能夠求極限最好不過的。還有一個，等價無窮小量相互代換求期限，這都是復(fù)習中考生應(yīng)當注意到的，也就是竅門了。

主持人：網(wǎng)友問，《高等數(shù)學(xué)(一)》后面的大題中都考哪幾道呢？比如說都涉及到哪一方面的知識點？

老師：《高等數(shù)學(xué)(一)》的大題目——解答題，一般涉及到了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，像我們剛才說的，用函數(shù)的性質(zhì)和曲線形狀，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線方程，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，七分鐘主要是換元積分法，用定積分換元積分法證明，還有定積分的幾何應(yīng)有，求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積。另外還有特別要強調(diào)坐標系向二重積分計算，每年必考，擇分率偏低，還有就是解一階線性微分方程。

主持人：有考生問，復(fù)習《高等數(shù)學(xué)(一)》是否可以用以前的資料？如果不能現(xiàn)在看什么比較好？

老師：這次《高等數(shù)學(xué)(一)》的變化比較大，所以用原來的教材必須知道哪些知識點刪除了，最好用新版的教材，我們說的是對考生負責的一種態(tài)度。原來題目也可以做，不是不可以做，因為我剛才講過，歷年考題就是一個很好的復(fù)習資料，但是題目一定要選擇恰當。也不宜過偏、過難、過繁，因為現(xiàn)在命題不是這樣的特點。

主持人：有考生問，老師《高等數(shù)學(xué)(二)》里邊的概率一般會出什么題型？

老師：一般占8%的比例，但是概率復(fù)習起來還是有難度的，可以說有四大點。第一點，就是隨機現(xiàn)象、隨機事件的有關(guān)觀念。你必須把那些概念搞清楚。第二點就是概率的計算，概率的計算中，主要是掌握古典型定義，在這個基礎(chǔ)上，等可能事件求概率沒問題，這是一個考察的重點，另外還有概率的加法公式，以及條件概率、事件的獨立性、概率的乘法公式。第三點，離散型隨機變量的概率分布。第四點，離散型隨機變量的數(shù)字特征。

從主要內(nèi)容來講這樣四大點，這個部分一般來講只占8%的比例，所以一個大題8分，這個小題4分。我剛才講概率復(fù)習起來還是有難度，考試的題目又相對少一點，這還不能有僥幸心理，盡量地復(fù)習到，當然我們說重點還應(yīng)當放到可能事件求概率，概率的加法公式，事件的獨立性，另外離散型隨機變量概率分布的性質(zhì)一定要搞清楚，在這個基礎(chǔ)上，會求離散型隨機變量的希望比較大。

主持人：今年《高等數(shù)學(xué)(二)》，哪章的考點比較多，大題一般會出現(xiàn)在哪個部分？

老師：這個完全看考綱，一元函數(shù)約占2%比例，微分學(xué)占15%的比例。抓大塊，這兩塊一個30%，一個32%，這就是62%了。

主持人：請問張老師今年的《高等數(shù)學(xué)(二)》會有排列與組合類型的題嗎？

老師：單獨出排列組合這是不可能的事情，因為考綱中沒有排列組合內(nèi)容，但是我們還古典形概率，也就是可能事件求概率一定要用到排列組合的有關(guān)知識，所以排列組合一定要搞清楚，就是排列組合概念，還有排列組合數(shù)，計算公式這都是必要的基礎(chǔ)知定要搞清楚。

主持人：請問老師在今年的考試當中，常微分方程是不是作為重點復(fù)習內(nèi)容？

老師：10%的比例。按照往年慣例，大約是3個題目。

主持人：張老師您好，請問今年的成人高等考試中空間向量的比例是多少？

老師：《高等數(shù)學(xué)(一)》按照新考綱的規(guī)定，把向性代數(shù)全部刪除，所有知識點都不做要求，只突出了空間幾何，但是在空間幾何中我們涉及到了向量的概念，所以還應(yīng)該搞清楚。比如說求平面方程，點劃式平面方程一定要知道平面的法向量，才能求平面的點法式方程，直線方程一定要涉及大直線的方向向量，有了直線的方向向量，點向式直線方程才能寫出，但是單獨考向量這種可能性是不存在的。

主持人：有人問，極限學(xué)不好，怎么能掌握重點？

老師：極限應(yīng)當是《高等數(shù)學(xué)