北京順義區(qū)南法信中學(xué) 2023-2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

北京順義區(qū)南法信中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)理模擬試卷含

解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.(5分)集合A={x|-2<x<2},B={x|0WxW2},則ACB=()

A.(0,2)B.(0,2]C.[0,2]D.[0,2)

參考答案：

D

考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算.

專題：計(jì)算題.

分析：在數(shù)軸上表示A、B兩集合，再求交集.

解答：利用數(shù)軸，

.*.ACB={x|0Wx<2}

故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查交集及其運(yùn)算.利用數(shù)軸進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)混合運(yùn)算直觀、形象.

2.設(shè)全集U=MUN={1,2,3,4,5},MA={2,4},則

N=()

A{1,2,3}B{1,3,5}C{1,4,5}D{2,3,4}

參考答案：

B

略

3.在等差數(shù)列口*}中,若%+4+%+%+%=450,貝|j%+%等

于

A.45B.75C.180

D.300

參考答案：

C

略

4.以線段AB：x+y—2=0(0WxW2)為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(x+l)2+(y+l)2=2B.(x-l)2+(y-l)2=2

C.(x+l)2+(y+l)2=8D.(x-l)2+(y-l)2=8

參考答案：

B

5.已知集合A={X|X2-2X-3<0},集合B={X|2*I>1},則?屈=()

A.[3,+8)B.(3,+8)c.(-8,-i]u[3,+8)D.(-°°,-1)U(3,

+8)

參考答案：

A

【考點(diǎn)】IF：補(bǔ)集及其運(yùn)算；4B：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；74：一元二次不等式的解

法.

【分析】根據(jù)集合A是二次不等式的解集，集合B是指數(shù)不等式的解集，因此可求出集合

A,B,根據(jù)補(bǔ)集的求法求得CBA.

【解答]解：A={x|x2-2x-3<0}={x|-l<x<3},

B={x12x+1>1}={x|x>-1},

CBA=[3,+8).

故選A.

6.設(shè)函數(shù)f(x)在(-8,+oo)上是減函數(shù)，貝！J()

A.f(a)>f(2a)B.f(a2+l)<f(a)C.f(a2+a)<f(a)D.f(a2)<f(a)

參考答案:

B

【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】配方法，先確定變量的大小關(guān)系，利用函數(shù)的單調(diào)性可得.

112

【解答】解：-a=(a-1)2+1>0,

a2+l>a.

?函數(shù)f(x)是(-8,+OO)上的減函數(shù)，

f(a2+l)<f(a).

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，涉及配方法的應(yīng)用，屬中檔題.

7.函數(shù)f(x)=x2的大致圖象是()

參考答案：

A

【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象；腰函數(shù)圖象及其與指數(shù)的關(guān)系.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】篩選法：利用幕函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的定義域進(jìn)行篩選即可得到答案.

1

【解答】解：因?yàn)?可<0,所以f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，排除選項(xiàng)B、C；

又f(x)的定義域?yàn)?0,+8),

故排除選項(xiàng)D,

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查塞函數(shù)的圖象及性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題，篩選法是解決選擇題的常用技巧，要

掌握.

8.下面程序輸入X=兀時(shí)的運(yùn)算結(jié)果是（）

inputx

ifx<0then

y=-2；

else

ifx=0then

y=0；

else

y=2；

endif

endif

printy

end

A.~2B.0C.nD.2

參考答案:

D

9.在數(shù)列g(shù)j中，07=絹式。為非零常數(shù)），且前“項(xiàng)和為則實(shí)數(shù)￡的值

為（）

2_2

A.3B.3C.-1D.1

參考答案：

C

略

10.在aABC中，A=60°,B=75°,a=10,則c等于（）

IPV6

A.W2B.10V2C.3D,5>/6

參考答案：

C

【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理.

【分析】求出C,利用正弦定理直接求出C即可.

【解答】解：由題意，在aABC中，A=60°,B=75°,a=10,所以0180°-75°-

60°=45°.

10X當(dāng)

c_a10注

根據(jù)正弦定理得：sinC-sinA,即c=~=3

故選C.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

y=10g)a

11.若函數(shù)I5為減函數(shù)，則4的取值范圍是—

參考答案：

12.某學(xué)校有教師300人，其中高級(jí)教師90人，中級(jí)教師150人，初級(jí)教師60人，為了

了解教師健康狀況，從中抽取40人進(jìn)行體檢.用分層抽樣方法抽取高級(jí)、中級(jí)、初級(jí)教

師人數(shù)分別為、、；

參考答案：

12.40.8

402222

—=—9Ox—=12.150x—=40.60x—=8

試題分析：抽取比例為30015,所以151515

考點(diǎn)：分層抽樣

13.已知直線3x+4y—3=0與6x+my+1=0互相平行，則它們之間的距離

是______________

參考答案：

14.已知集合”=他13},N={x|x=3a,afeA/；則

.

參考答案：

(0,1,3,9)

15.函數(shù),=、碼G的定義域?yàn)?，值域?yàn)?

參考答案：

[汨如+同

(i€Z)

[0,1]

由題意，可知smx之0,根據(jù)正弦函數(shù)圖象，得2丘三x=(2k+imkGZ),即函數(shù)丫的定義域?yàn)?/p>

|2kx(2k-Dz|(keZ),此時(shí)0三sinx三1,則函數(shù)y的值域?yàn)閒0.I],從而問題可得解.

16.在aABC中，已知a=7,b=8,c=13,則角C的大小為.

參考答案：

2冗

~3~

【考點(diǎn)】余弦定理.

【分析】由題意和余弦定理可得cocC,由三角形內(nèi)角的范圍可得.

【解答】解：?.?在△ABC中a=7,b=8,c=13,

2,,2_2

a+b-c

.,.由余弦定理可得cosC=2ab

72+82-132工

=2X7X8=-l,

2-

VCG(0,n),.\C=3

2-

故答案為：丁

0,訪有理教

17.狄利克雷是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，函數(shù)D(x)=1%*為無(wú)理數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，下

面給出關(guān)于狄利克雷函數(shù)D(x)的五個(gè)結(jié)論：

①若x是無(wú)理數(shù)，則D(D(x))=0；

②函數(shù)D(x)的值域是[0,1]；

③函數(shù)D(x)偶函數(shù)；

④若T#)且T為有理數(shù)，則D(x+T)=D(x)對(duì)任意的xdR恒成立；

⑤存在不同的三個(gè)點(diǎn)A(x,,D(xi)),B(X2，D(x2)),C(x3,D(x3)),使得

△ABC為等邊角形.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

參考答案：

②③④

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】①，根據(jù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，可得不管X是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)，均有f(f(x))

=1,從而可判斷①；

②，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可得f(X)是偶函數(shù)，可判斷②；

③，根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的性質(zhì)，得f(x+T)=f(x),可判斷③；

返返返返

④，取X1=-3,X2=O,x3=3,可得A(3,0),B(0,1),C(-3,0),恰

好AABC為等邊三角形恰好構(gòu)成等邊三角形，可判斷④.

【解答】解：①???當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，D(x)=1；當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，D(x)=0,

...當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，D(D(x))=D(1)=1；當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，D(D(x))=D(0)

=L

即不管X是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)，均有D(D(x))=1,故①不正確；

②???有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無(wú)理數(shù)的相反數(shù)還是無(wú)理數(shù)，

對(duì)任意xCR,都有D(-x)=D(x),故②正確；

③若x是有理數(shù)，則x+T也是有理數(shù)；若x是無(wú)理數(shù)，則x+T也是無(wú)理數(shù)，

???根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T,D(x+T)=D(x)對(duì)x￡R恒成立，故

③正確；

返返

④取xi二-3,X2=0,X3=3,可得D(xi)=0,D(X2)=1,D(X3)=0,

返返

.?.A(~,0),B(0,1),C(-3,0),恰好AABC為等邊三角形，故④正確.

即真命題是②③④，

故答案為：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟

18.(本小題滿分11分)如圖：PA_L平面ABCD,ABCD是矩形，PA=AB=1,PD與平面ABCD

所成角是30°,點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng).

(1)求三棱錐E-PAD的體積；

(2)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(3)證明：無(wú)論點(diǎn)E在邊BC的何處，都有PELAF

(4)當(dāng)BE等于何值時(shí)，二面角P-DE-A的大小為45°.

參考答案:

/=2尸4s3=1尸4(J愈43)=g

(1)三棱錐E-上4。的體積3326.--3分

(2)當(dāng)點(diǎn)E為3c的中點(diǎn)時(shí)，EF與平面FXC平行.

?.?在AF8C中，E、9分別為3C、尸8的中點(diǎn)，.?.￡9〃尸C又助＜Z平面

PAC,而尸Cu平面尸2c〃平面

PAC.......5分

(3)證明：:P4_L平面BEu平面4BCZ),

EBJ.P4.又EBLAB.ABC\AP=A,AB.為尸u平面尸43,._L平面哂

又,4Fu平面以5,

又尸/=/S=l,點(diǎn)尸是尸8的中點(diǎn)，AFLPB,

B

又PBc\BE=B,PB,BEu平面PBEAFI平面PBE

vPEu平?P63AFIPE......8分

(III)過(guò)工作4G_LD用于G,連尸G,又；DELP月,

則。EJ?平面24G,

則NFG4是二面角F-ZJE-4的平面角，

.?.NFGM=4夕，：尸。與平面/8CD所成角是3CT,.?.NF￡M=30*,

:.AD=超,PA=AB=\.

.\AG=l,DG=^2,設(shè)BE=x,則GE=x,CE=J-x,

在RMDCE中,(點(diǎn)+x)、(癢x)'+l\得BE=x=6->li.......11分

19.(12分)某學(xué)校900名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，抽

取其中50個(gè)樣本，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組［13,14L第二組［14,

15),--第五組［17,18］,如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.

(1)若成績(jī)小于14秒認(rèn)為優(yōu)秀，求該樣本在這次百米測(cè)試中成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)；

(2)請(qǐng)估計(jì)學(xué)校900名學(xué)生中，成績(jī)屬于第四組的人數(shù)；

(3)請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù).

參考答案：

（I）樣本在這次百米測(cè)試中成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)=1xO-06x50=3（人）

----（4分）

（II）學(xué)校900名學(xué)生中，成績(jī)屬于第四組的人數(shù)=1x0.32x900=288（人）

--------------（8分）

0=155

（III）由圖可知眾數(shù)落在第三組［15.16）,是2

因?yàn)閿?shù)據(jù)落在第一、二組的頻率=lxO,06+lx0.16=0.22<0.5

數(shù)據(jù)落在第一、二、三組的頻率=1x096+1x0.16+1x0.38=0.6>0.5

所以中位數(shù)一定落在第三組05,16）中.

假設(shè)中位數(shù)是x,^^1X006+1X0.16+（X-15）X0.38=0.5

299

x=—?157368^1574

解得中位數(shù)19----------------------（12分）

rrr"C\I，1=---

20.已知a,6是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，其中a=（L2）,2且a+%與

垂直，⑴求&名；（2）求|a-b|,

參考答案:

解：(i)v(o+2b)±(2a-b)A(a+2b)?(2a-K)=0即:

_一.2

2a+3a*b-2b=0

又

:第=5.『同=；；g=?2

2

(2)解法

8e[0,用：.3=八

la-bl=(a-i)=a-2a*b+b=5+5+—=—

解法二：III，44

略

21.已知A={x|%2—QX+〃2-]9=0},B={xlx2—5X+6=0},C={x|x2+2x—8=0},且

0M(AC18),anc=0,求a的值.

參考答案：

?.?8={x|f-5x+6=0}={2,3},

。={獷+2無(wú)-8=0}={—4,2},

.?.由Anc=0知，-41A,2lA；

由0室(AAB)知，3eA.

*,-32—3a+〃2—19—0,解得〃=5或〃=—2.

當(dāng)〃=5時(shí)，A={X|%2—5X+6=0}=B,與AAC=0矛盾