湖南省株洲市炎陵縣2023-2024學年高一上學期1月期末數(shù)學試題（含答案解析）

炎陵縣2023年下期高一數(shù)學期末檢測試題（考試范圍：必修一）時量：120分鐘分值：150分第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，答案要填涂在答題卷上）1.已知全集集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)并集和補集的定義即可求得.【詳解】由題知,又，則.故選：B.2.命題“”的否定為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接由命題的否定的定義即可得解.【詳解】命題“”的否定為.故選：B.3.若銳角α，β滿足cosα＝，cos(α＋β)＝，則sinβ的值是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先由cosα＝，cos(α＋β)＝，求出sinα＝，sin(α＋β)＝，而sinβ＝sin[(α＋β)－α]，然后利用兩角差的正弦公式展開，代值求解即可【詳解】解：∵cosα＝，cos(α＋β)＝，α，β∈，∴0<α＋β<，∴sinα＝，sin(α＋β)＝.∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝.故選：C4.已知，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為，所以.當且僅當，即時等號成立.所以的最小值為.故選：D5.函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)有意義可得到一元一次不等式組，解之即得.【詳解】要使函數(shù)有意義，須使解得：,即函數(shù)的定義域為.故選:D.6.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】要說明“”不是“”的充分條件，只需舉反例即可；要得到“”是“”的必要條件，則必須推理.【詳解】若取，顯然滿足，但,即“”不是“”的充分條件；若，因函數(shù)的定義域為,則必有成立,即“”是“”的必要條件.故“”是“”的必要不充分條件.故選：B.7..已知函數(shù)的零點分別為，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】將函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為兩個圖象的交點的橫坐標，結(jié)合函數(shù)的圖象，即可求解.【詳解】因為函數(shù)的零點分別為，可轉(zhuǎn)化為與三個函數(shù)的交點的橫坐標為，在同一坐標系下，畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象可得：.故選：B.8.折扇是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，如圖1，其平面圖如圖2的扇形，其中，，則扇面（曲邊四邊形）的面積是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由扇形面積公式計算（大扇形面積減去小扇形面積）．【詳解】由已知，，扇面面積故選：B．二、多項選題：（滿分20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.）9.設(shè)函數(shù)，若，則的取值可能是（）A.0 B.3 C. D.2【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義分類討論求值即可.【詳解】若，則解得，滿足題意；若，則解得，滿足題意；故選:AB.10.下列等式正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用二倍角公式和兩角和差公式求解即可.【詳解】，A正確；，B錯誤；，C正確；，D正確；故選：ACD11.下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B.C D.【答案】BC【解析】【分析】A選項，當時，，進而得到函數(shù)單調(diào)性，A錯誤；BD選項，求出，進而得到函數(shù)的單調(diào)性，利用求出最小正周期；C選項，根據(jù)的周期和單調(diào)性得到C正確.【詳解】A選項，當時，，由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，不合要求，A錯誤；B選項，當時，，由于在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，又，故以為最小正周期，B正確；C選項，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確；D選項，當時，，由于在上不單調(diào)，故在上不單調(diào)，D錯誤.故選：BC12.下列說法正確的是（）A.若則B.函數(shù)是奇函數(shù)C.函數(shù)是R上的增函數(shù)D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象.【答案】BD【解析】【分析】由化簡可判斷A；由奇偶函數(shù)的定義可判斷B；判斷的單調(diào)性可判斷C；由三角函數(shù)的平移變換可判斷D.【詳解】對于A，因為，所以，，故A錯誤；對于B，設(shè)的定義域為，解得：，關(guān)于原點對稱，，，所以，所以為奇函數(shù)，故B正確；對于C，函數(shù)是R上的減函數(shù)，故C錯誤；對于D，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)，故D正確.故選：BD.第Ⅱ卷（非選擇題部分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．15題第一空2分，第二空3分.把答案填在答題卡中相應的橫線上）13.已知為銳角，且，則的值為__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導公式求解.【詳解】因為為銳角，且，所以，所以，故答案為:.14.若函數(shù)且在上的最小值與最大值的和為3，則函數(shù)在上的最大值是__________.【答案】【解析】【分析】對指數(shù)函數(shù)的底數(shù)進行分情況討論求出值，代入所求函數(shù)，判斷單調(diào)性即得其最大值.【詳解】當時，在上為增函數(shù)，則，解得；當時，在上為減函數(shù)，則，解得（舍去）；于是函數(shù)，顯然在上為增函數(shù)，故當時，.故答案為：.15.已知函數(shù),①當時，在上的最小值為__________；②若有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是__________.【答案】①.；②.或．【解析】【分析】①根據(jù)函數(shù)式分段確定函數(shù)的單調(diào)性后可得最小值；②結(jié)合函數(shù)和的圖象，根據(jù)分段函數(shù)的定義可得參數(shù)范圍．【詳解】①，時，是增函數(shù)，，時，是增函數(shù)，因此，所以時，的最小值是；②作出函數(shù)和的圖象，它們與軸共有三個交點，，，由圖象知有2個零點，則或．故答案為：；或．16.科學家通過生物標本中某種放射性元素的存量來估算該生物的年代，已知某放射性元素的半衰期約為1620年（即：每經(jīng)過1620年，該元素的存量為原來的一半），某生物標本中該元素的初始存量為，經(jīng)檢測生物中該元素現(xiàn)在的存量為，（參考數(shù)據(jù)：）請推算該生物距今大約___________年．【答案】3780【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)模型求解．【詳解】設(shè)放射性元素的存量模型為，由已知，所以，，，設(shè)題中所求時間為，則，，，，∴，．故答案為：3780.四、解答題（本大題共6小題，共70分.）解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.求下列各式的值：（1）（2）【答案】（1）6（2）【解析】【分析】（1）用分數(shù)指數(shù)冪和對數(shù)的運算性質(zhì)解決問題即可；（2）由誘導公式把式子轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值解決問題即可.【小問1詳解】.【小問2詳解】.18.已知與3是函數(shù)的兩個零點（1）求的解析式；（2）若求的取值范圍；（3）若，求函數(shù)的值域.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)零點定義將其轉(zhuǎn)化成方程組，解之即得；（2）由（1）的結(jié)論解不等式即得；（3）將二次函數(shù)配方得到對稱軸，結(jié)合圖象單調(diào)性計算即得函數(shù)的值域.【小問1詳解】由題知函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點，則解得,所以解析式為；【小問2詳解】由解得，所以的取值范圍為；【小問3詳解】因為，函數(shù)圖象的對稱軸為直線，因，則函數(shù)在時為減函數(shù)，在為增函數(shù)，于是時，又，故得函數(shù)的值域為.19.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由齊次的弦求出正切值，代入兩角和的正切公式計算即得；（2）利用二倍角公式和誘導公式化簡,構(gòu)造分母1使分子分母齊次，再化弦為切計算即得.【小問1詳解】由可知，則，故，即的值為.【小問2詳解】.即的值為.20.已知是定義在上的偶函數(shù)，且時，.（1）求函數(shù)在上的解析式，并判斷其單調(diào)性（無需證明）；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)在上解析式為，函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）【解析】【分析】(1)設(shè)，則，根據(jù)題意得出，然后利用函數(shù)為偶函數(shù)即可求解；(2)結(jié)合（1）的結(jié)論，求出，將不等式等價轉(zhuǎn)化為，解之即可求解.【小問1詳解】設(shè)，則，所以，又因為是定義在上的偶函數(shù)，所以，則函數(shù)在上的解析式為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問2詳解】由（1）可知：，所以不等式可化為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知：，解得：，所以實數(shù)的取值范圍為.21.2022年我市某新能源汽車生產(chǎn)企業(yè)計劃引進一批新能源汽車設(shè)備，經(jīng)過前期的市場調(diào)研，生產(chǎn)新能源汽車制造設(shè)備，預計全年需投入固定成本500萬元，每生產(chǎn)百臺設(shè)備，需另投入成本萬元，且根據(jù)市場行情，每百臺設(shè)備售價為700萬元，且當年內(nèi)生產(chǎn)的設(shè)備當年能全部銷售完．（1）求2022年該企業(yè)年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百臺）的函數(shù)關(guān)系式；（2）2022年產(chǎn)量為多少百臺時，企業(yè)所獲年利潤最大？最大年利潤是多少萬元？（注：利潤=銷售額－成本）【答案】（1）（2）2022年產(chǎn)量為100百臺時，企業(yè)所獲年利潤最大，最大年利潤是8900萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)利潤=（銷售額－投入成本－固定成本）求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）分別求兩段函數(shù)的最大值，再取它們中較大者為最大年利潤.【小問1詳解】由題知當時，當時，所以【小問2詳解】若，，所以當時，若，，，當且僅當即時，．因為,所以2022年產(chǎn)量為100百臺時，企業(yè)所獲年利潤最大，最大年利潤是8900萬元.22.已知是函數(shù)的一個零點.（1）求實數(shù)的值；（2）求單調(diào)