四川2023年大專生專升本數(shù)學(xué)考試及答案 (二)

普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

（滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）

一、選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分）

1.已知集合/={-1，°，1},N={x|x=a?6,4,65瓦明，則集合M與集合N的關(guān)系是

（）.

A.M=NB.MsNC.M呈ND.MAN-0

x

（2e~',x<2,必出、L

〃x）=:財(cái)（/⑵）的值為

2.設(shè)[bg3（xT），%之2.（）.

A.0B.1C.2D.3

3,已知命題使sm、=；命題都有，+》+1〉0.給出下列結(jié)論：①

命題“PM”是真命題②命題“P5”是假命題③命題'"PF"是真命題；

④命題是假命題,其中正確的是（）

A.②④B.②③C.③④D.①②③

71371

——a—

4.已知。2,%），sina=5,則tan（4）等于（）.

]_,

A.7B.7C.-7D.-7

]_

5.下面是一個(gè)算法的程序框圖，當(dāng)輸入的工值為3時(shí)，輸出j的結(jié)果恰好是

則？處的關(guān)系式是（）.

A.夕=/B.夕=3一'C.歹=3'D.歹=/

6.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，

并且總是保持APLBD1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）

A.線段BIC

B.線段BC1

C.BB1中點(diǎn)與CC1中點(diǎn)連成的線段

D.BC中點(diǎn)與B1C1中點(diǎn)連成的線段

7.若函數(shù)〃、）=/+*2+云-7在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a,b一定滿足的條件是

（）

A.a2-3b<0B.a2-3b>0C.a2-3b=0￡）.a2-3b<1

8.已知函數(shù)圖象,與C：y（x+a+D=ax+a2+1關(guān)于直線y=x對(duì)稱，且圖象U關(guān)于點(diǎn)⑵

-3）對(duì)稱，則a的值為（）

A.3B.-2C.2D.-3

9.在數(shù)列4｝中必=1，%=%2T則此數(shù)列的前4項(xiàng)之和為（）

A.0B.1C.2D.-2

10.兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是（）

_L_L1_1

A.6B.4C.3D.2

11.《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并稱為中

國(guó)古典小說(shuō)四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100

學(xué)生，其中閱讀過(guò)《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的

學(xué)生共有80位，閱讀過(guò)《西游記》且閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱

讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為（）

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

12.函數(shù)/。）=25加一而2》在［0,2五］的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3c.4D.5

二、填空題（共4小題，每小題5分；共計(jì)20分）

1、已知集合'=件＜》＜4},B=3a-l）（x-3）＜0},則4n8=.（用區(qū)間表示）

2、已知集合P={x|Y-2x23},。=32＜》＜4},則尸口。=.（用區(qū)間表示）

tana__2

tan（a+火］sinjza+P］

3.已知I,則I4J的值是.

4.設(shè)〃x），g（x）是定義在R上的兩個(gè)周期函數(shù)，/（X）的周期為4,g（x）的周期為2,且/（X）

A:（x+2）,0＜x＜1

________g（x）=」］＜Y＜2

是奇函數(shù).當(dāng)xe（°，2］時(shí)，/（X）=J1-（xT）2,I25＜、一，其中k＞0.若在區(qū)間（0,

9］上，關(guān)于X的方程/（＞）=8（刈有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是.

三、大題：（滿分70分）

.’4

,“asin4=一

1、在AABC中，已知°=4,C=5,人為鈍角，且5,求a.

2、判斷函數(shù)/（》）=-2》+3在（-00,+00）上是減函數(shù).

3.在四棱錐P-ABCD中，AD〃BC,平面PAC_L平面ABCD,AB=AD=DC=1,

NABC=NDCB=60°,E是PC上一點(diǎn).

（I）證明：平面EAB_L平面PAC；

（II）若aPAC是正三角形，且E是PC中點(diǎn)，求三棱錐A-EBC的體積.

4.一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與一定范圍內(nèi)的溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的6

組觀測(cè)數(shù)據(jù)如表：

￡(y.-y)2=3930￡(y,-y,)2=236.64

1,線性回歸模型的殘差平方和￡111,e8.0605^3167,

其中xi,yi分別為觀測(cè)數(shù)據(jù)中的溫度和產(chǎn)卵數(shù)，i=l,2,3,4,5,6.

(I)若用線性回歸模型，求y關(guān)于x的回歸方程尸bx+a(精確到0.1)；

(II)若用非線性回歸模型求得y關(guān)于x的回歸方程為尸0.06e0.2303x,且相關(guān)指數(shù)

R2=0.9522.

(i)試與(I)中的回歸模型相比，用R2說(shuō)明哪種模型的擬合效果更好.

(ii)用擬合效果好的模型預(yù)測(cè)溫度為35°C時(shí)該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)(結(jié)果取整數(shù)).

附：一組數(shù)據(jù)(xl,yl),(x2,y2),???,(xn,yn),其回歸直線尸bx+a的斜率

n__n-

-￡(xi-x)(y--y)￡仇-%)

1-..........

n_---------------------------------n_

V(x.-x)2*_*_￡(y.-y)

和截距的最小二乘估計(jì)為1=11,3=y-bK；相關(guān)指數(shù)R2=i=l

5.已知函數(shù)/(x)=sinX-ln(l+x),f\x)為/(x)的導(dǎo)數(shù).

(-1二)

證明：(1)/'(X)在區(qū)間’2存在唯一極大值點(diǎn)；

(2)〃x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

B------------

6.為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)

物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠，

隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試

驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為

治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白

鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得T分；若施以乙藥的白鼠治愈

且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得T分；若都治愈或都未治愈則兩種藥

均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和B,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，2("°，1，“、8)表示“甲藥的累計(jì)得分為

，時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則?。=°,P8=L

P：=aPi+bpj+CPM(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-l),b=P(X=O),c=P(X=1).假設(shè)a=0.5,

夕=0.8.

⑴證明：｛九一P，｝(i=°1，2,…，7)為等比數(shù)列；

(ii)求%并根據(jù)Pa的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

參考答案:

一、選擇題：

1-5題答案:CCBAC

6-10題答案:AACAD

11-12題答案:CB

二、填空題：

1、(2,3)；

2、［3,4)；

V2

3.而

」有

三、大題：

cosA-—A/I—sin-A——-,-

1、【解】A為鈍角，cos/<0,5,由余弦定理a-="+c-2bccos/,

可得a=病.

2、解*/(x)=-2x+3,xe(-oo,+co)

x

任且可、ze(-oo,+oo),有9-x,>0/(xj-/(x2)—(-2x1+3)—(-2x2+3)=2(x2-x,)>0

/(占)>/區(qū)),即在區(qū)間(-co,+co)內(nèi)f(x)是減函數(shù)

3.在四棱錐P-ABCD中，AD〃BC,平面PAC_L平面ABCD,AB=AD=DC=1,

NABC=NDCB=60°,E是PC上一點(diǎn).

(I)證明：平面EABJ_平面PAC；

(II)若APAC是正三角形，且E是PC中點(diǎn)，求三棱錐A-EBC的體積.

【解答】證明：（I）依題意得四邊形ABCD是底角為60°的等腰梯形，…（1分）

AZBAD=ZADC=120°（2分）

VAD=DC,，NDAC=NDCA=30°.…（3分）

.?.NBAC=NBAD-NDAC=120°-30°=90°,即ABJ_AC.…（4分）

?.?平面PACJ_平面ABCD,平面PACA平面ABCD=AC,

.,.AB_L平面PAC,…（5分）

又平面ABU平面EAB,

，平面EABJ_平面PAC.…（6分）

解：（II）解法一：由（I）及已知得，在RtaABC中，ZABC=6O0,AB=1,

.,.AC-ABtan60°=M,BC=2AB=2,且ABJ_平面PAC,…（7分）

；.AB是三棱錐B-EAC的高，正APAC的邊長(zhǎng)為會(huì)…（8分）

是PC的中點(diǎn)，.,.SaEAC=i'SZ\PAC亭C"Psin60°得義（《，＞＜孚二...（10

分）

.??三棱錐A-EBC的體積為VA-EBC/回李國(guó)^物界萼xi岑…（］2分）

（II）解法二：過(guò)P作POJ_AC于點(diǎn)O,

\?平面PAC_L平面ABCD,平面PACG平面ABCD=AC,

；.POJ_平面ABC,

過(guò)E作EFJ_AC于點(diǎn)F,同理得EFJ_平面ABC,

，EF是三棱錐E-ABC的高，且PO〃EF,…（7分）

又E是PC中點(diǎn)，...EF是△POC的中位線，故即至「°

由（I）及已知得，在RtaABC中，ZABC=60°,AB=1,

，BC=2AB=2,AC=AB-tan60°=V3,即正APAC的邊長(zhǎng)為遙，???（8分）

3__3

.,.PO=T,故EF=M…（9分）

在RtZiABC中，...a。分）

...三棱錐A-EBC的體積為立謝飛-甌孝21函也＜＞＜亨x!■乎...（12分）

4.一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與一定范圍內(nèi)的溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的6

組觀測(cè)數(shù)據(jù)如表:

溫度x/°C212324272932

產(chǎn)卵數(shù)y/y61120275777

_16一]66-6_2

曰Xi=26yj=33￡(xj-x)(y--y)=557￡(x「x)=84

661

經(jīng)計(jì)算得：x=i,i=i,1=1，i=l，

6_6

￡(y-y)2=3930￡(y--y.)2=236.64

匕1,線性回歸模型的殘差平方和匕11,e8.0605^3167,

其中xi,yi分別為觀測(cè)數(shù)據(jù)中的溫度和產(chǎn)卵數(shù)，i=l,2,3,4,5,6.

（I）若用線性回歸模型，求y關(guān)于x的回歸方程尸bx+a（精確到0.1）；

（II）若用非線性回歸模型求得y關(guān)于x的回歸方程為k0.06e0.2303x,且相關(guān)指數(shù)

R2=0.9522.

（i）試與（I）中的回歸模型相比，用R2說(shuō)明哪種模型的擬合效果更好.

（ii）用擬合效果好的模型預(yù)測(cè)溫度為35°C時(shí)該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.

附：一組數(shù)據(jù)（xl,yl）,（x2,y2）,…，（xn,yn）,其回歸直線尸bx+a的斜率

n__n

-￡（xi-x）（y--y）￡仇-%）

1-.........

n_---------------------------------------------------------------n_

Y（x-x）2*-*_￡（y.-y）2

和截距的最小二乘估計(jì)為1,*v-后；相關(guān)指數(shù)R2=i=i1

￡（X--X）

【解答】解：（I）依題意，n=6,i=i1,….…（2分）

^33-6.6X26=-138.6,…（3分）

.*.y關(guān)于x的線性回歸方程為y=6.6x-138.6---（4分）

66_

￡（y-y；）2=236.64￡（y--y）2=3930

（II）（i）利用所給數(shù)據(jù)，i=l11,i=l1得,

線性回歸方程y=6.6x-138.6

6*

￡仇』）

i=l

1_=12&4-1-0.0602=0.939E

6_239

￡（vj-y）

的相關(guān)指數(shù)R2=i=l.…（6分）

；0.9398V0.9522,…（7分）

因此，回歸方程尸0.06e0.2303x比線性回歸方程尸6.6x-138.6擬合效果更好…..…（8

分）

（ii）由（i）得溫度x=35°C時(shí),y=0.06e0.2303X35=0.06Xe8.0605-..-..-（9

分）

XVe8.0605^3167,…（10分）

"=0.06X3167590（個(gè)）…（11分）

5.所以當(dāng)溫度x=35°C時(shí)，該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)估計(jì)為190個(gè)…5.解：（1）設(shè)

1”、1

g（x）=/'（x）,貝產(chǎn)）=5-吠g（x）…nx+而彳

當(dāng)"4一1'5〕時(shí)，g'（x）單調(diào)遞減，而g'（°）＞°，g'（5）＜°,可得g?）在卜1%）有唯一零點(diǎn)，

設(shè)為則當(dāng)xw（-l,a）時(shí)，g，（x）〉0；當(dāng)I2）時(shí)，g，（x）＜0.

mf-i

所以g（x）在（-1"）單調(diào)遞增，在I'2）單調(diào)遞減，故g（x）在I'2）存在唯一極大值點(diǎn)，

即/'（X）在卜'3存在唯一極大值點(diǎn).

（2）/（X）的定義域?yàn)椋═+8）.

（i）當(dāng)xe（-L0]時(shí)，由（1）知，尸⑴在（T，。）單調(diào)遞增,而/（°）=°,所以當(dāng)xe（TO）

時(shí)，/（x）＜°,故/（X）在（T，°）單調(diào)遞減，又〃0）=°,從而％=0是“X）在（TO1的唯一零

點(diǎn).

xefo,-l

（ii）當(dāng)I2」時(shí)，由（1）知，/'（x）在（0,。）單調(diào)遞增，在I2）單調(diào)遞減，而尸（0）=0,

⑶,所以存在I2人使得尸（0=0,且當(dāng)x€（01）時(shí),fXx）＞0.當(dāng)r2）

時(shí)，/a）＜°.故〃%）在（°，夕）單調(diào)遞增,在I2）單調(diào)遞減.

/任）=1—山（1+0＞0xefo,-fo,-

又/（0尸0,.⑶I2）,所以當(dāng)I2」時(shí)，/（幻＞0.從而，/⑴在I2」沒

有零點(diǎn).

（iii）當(dāng)12」時(shí),/（x）＜0,所以/（x）在12J單調(diào)遞減而⑶,/（兀）＜0,所

%]

以/3）在12」有唯一零點(diǎn).

(iv)當(dāng)、€(兀,+8)時(shí)，ln(x+l)〉l,所以/(x)<