2022-2023學(xué)年浙江省杭州市仁和高中高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年浙江省杭州市仁和高中高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)是直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題成立的是（）A．若l⊥α，α⊥β，則l⊥β B．若l⊥α，α∥β，則l⊥βC．若l∥α，α⊥β，則l∥β D．若l∥α，α∥β，則l∥β參考答案：B【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】A．利用線面垂直和面面垂直的性質(zhì)判斷．B．利用線面垂直和面面平行的性質(zhì)去判斷．C．利用線面平行和面面垂直的性質(zhì)去判斷．D．利用線面平行和面面平行的性質(zhì)去判斷．【解答】解：A．若l⊥α，α⊥β，則l∥β或l?β，所以A錯誤．B．若l⊥α，α∥β，則必有l(wèi)⊥β，所以B正確．C．若l∥α，α⊥β，則l與β的位置關(guān)系不確定，所以C不正確．D．若l∥α，α∥β，則l∥β或l?β，所以D不正確．故選B．【點評】本題考查了空間點線面之間的位置關(guān)系的判斷，要求熟練掌握點線面之間平行和垂直的性質(zhì)和判定定理．2.已知圓的方程，過作直線與圓交于點，且關(guān)于直線對稱，則直線的斜率等于（

）A．

B.

C.

D.參考答案：B略3.在R上定義運算?：x?y=x（1﹣y），若存在x1，x2（x1≠x2）使得1?（2k﹣3﹣kx）=1+成立，則實數(shù)k的取值范圍為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】函數(shù)與方程的綜合運用．【分析】根據(jù)運算?：x?y=x（1﹣y），把存在x1，x2（x1≠x2）使得1﹣2k+3+kx=1+成立，轉(zhuǎn)化為y=k（x﹣2）+3與y=有兩個不同的交點，即可求得結(jié)果．【解答】解：∵x?y=x（1﹣y），若存在x1，x2（x1≠x2）使得1?（2k﹣3﹣kx）=1+成立，則1﹣2k+3+kx=1+，即存在x1，x2（x1≠x2）使得k（x﹣2）+3=成立∴y=k（x﹣2）+3與y=有兩個不同的交點，y=k（x﹣2）+3與y=相切時，可得k=，過（﹣2，0）時，可得k=∴實數(shù)k的取值范圍為＜k≤．故選B．4.已知直線與拋物線C：相交于A.B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略5.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣的一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還”，其大意為：有一個人走了378里路，第一天健步行走，從第二天其因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達了目的地，問此人第二天走的路程里數(shù)為(

)A.76

B.96

C.146

D.188參考答案：B6.雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與直線x+2y+1=0垂直，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】求出雙曲線的漸近線方程，再由兩直線垂直的條件，可得，b=2a，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，即可得到所求．【解答】解：雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）的漸近線的方程為y=x，由于一條漸近線與直線x+2y+1=0垂直，則有=2，即有b=2a，c==a，則離心率為e==．故選C．【點評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程和離心率的求法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．7.若=1﹣ai，其中a是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，則a=（）A．1 B．2 C．3 D．﹣1參考答案：D【考點】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡等式左邊，然后由復(fù)數(shù)相等的條件得答案．【解答】解：∵==1﹣ai，∴﹣a=1，a=﹣1．故選：D．8.當(dāng)n=1，2，3，4，5，6時，比較2n和n2的大小并猜想（）A．n≥1時，2n＞n2 B．n≥3時，2n＞n2 C．n≥4時，2n＞n2 D．n≥5時，2n＞n2參考答案：D【考點】歸納推理．【分析】此題應(yīng)從特例入手，當(dāng)n=1，2，3，4，5，6，…時探求2n與n2的大小關(guān)系，也可以從y=2x與y=x2的圖象（x＞0）的變化趨勢猜測2n與n2的大小關(guān)系．【解答】解：當(dāng)n=1時，21＞12，即2n＞n2；當(dāng)n=2時，22=22，即2n=n2；當(dāng)n=3時，23＜32，即2n＜n2；當(dāng)n=4時，24=42，即2n=n2；當(dāng)n=5時，25＞52，即2n＞n2；當(dāng)n=6時，26＞62；…猜測當(dāng)n≥5時，2n＞n2；下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明猜測成立，（1）當(dāng)n=5時，由以上可知猜測成立，（2）設(shè)n=k（k≥5）時，命題成立，即2k＞k2，當(dāng)n=k+1時，2k+1=2?2k＞2k2=k2+k2＞k2+（2k+1）=（k+1）2，即n=k+1時，命題成立，由（1）和（2）可得n≥5時，2n與n2的大小關(guān)系為：2n＞n2；故答案為：n=2或4時，2n=n2；n=3時，2n＜n2；n=1及n取大于4的正整數(shù)時，都有2n＞n2．故選D．9.若復(fù)數(shù)則的虛部為（

）A.－4 B.－4i C.4 D.4i參考答案：C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可先求出，然后再計算，從而可得其虛部.【詳解】因為，所以，，故選C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算及復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.10.當(dāng)x＞0，y＞0，+=1時，x+y的最小值為（）A．10 B．12 C．14 D．16參考答案：D【考點】基本不等式．【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，+=1，∴x+y=（x+y）=10+=16，當(dāng)且僅當(dāng)y=3x=12時取等號．∴x+y的最小值為16．故選：D．【點評】本題考查了“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長為的正三角形．若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為

參考答案：12.學(xué)校為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，開設(shè)了《數(shù)學(xué)史選講》、《對稱與群》、《球面上的幾何》三門選修課程，供高二學(xué)生選修，已知高二年級共有學(xué)生600人，他們每個人都參加且只參加一門課程的選修，為了了解學(xué)生對選修課的學(xué)習(xí)情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取30名學(xué)生進行座談．據(jù)統(tǒng)計，參加《數(shù)學(xué)史選講》、《對稱與群》、《球面上的幾何》的人數(shù)依次組成一個公差為﹣40的等差數(shù)列，則應(yīng)抽取參加《數(shù)學(xué)史選講》的學(xué)生的人數(shù)為

．參考答案：12【考點】分層抽樣方法；等差數(shù)列的通項公式．【分析】由題意，每個個體被抽到的概率是=，抽取30名學(xué)生進行座談，公差為﹣2，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，每個個體被抽到的概率是=，抽取30名學(xué)生進行座談，公差為﹣2，設(shè)應(yīng)抽取參加《數(shù)學(xué)史選講》的學(xué)生的人數(shù)為x，則x+x﹣2+x﹣4=30，∴x=12，故答案為：12．【點評】本題考查分層抽樣，在分層抽樣過程中每個個體被抽到的概率相等，這是解題的依據(jù)，本題是一個基礎(chǔ)題．13.若的三頂點是A(a,a+1),B(a-1,2a),C(1,3)且的內(nèi)部及邊界所有點均在表示的區(qū)域內(nèi)，則a的取值范圍為_______▲_____.參考答案：

14.已知矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E，F(xiàn)分別在線段AD，BC上，且AE=1，BF=3．如圖所示，沿EF將四邊形AEFB翻折成，則在翻折過程中，二面角的正切值的最大值為

▲

．

參考答案：15.直線3x+2y=1上的點P到點A(2，1)，B(1，–2)的距離相等，則點P的坐標(biāo)是

。參考答案：(，–)16.如圖，設(shè)P是60的二面角內(nèi)一點，PA平面，PB平面,A、B為垂足

若PA=4．PB=2，則AB的長為_______．參考答案：17.已知離散型隨機變量的分布列如右表．若，，則

，

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)），以原點O為極點，以x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系取相同的長度單位。曲線C的極坐標(biāo)方程為.（1）求l的普通方程和C的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點M是曲線C上任一點，求點M到直線l距離的最大值.參考答案：（1）；;（2）【分析】（1）消參數(shù)得的普通方程，根據(jù)得的直角坐標(biāo)方程（2）根據(jù)直線與圓位置關(guān)系得最值.【詳解】（1）因為，所以，即（2）因為圓心到直線距離為，所以點到直線距離的最大值為【點睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程、極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程以及直線與圓位置關(guān)系，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.19.在△ABC中，已知A(5,-2)，B(7,3)，且AC邊的中點M在y軸上，BC邊的中點N在x軸上，求：(1)頂點C的坐標(biāo)；(2)直線MN的方程；參考答案：(1)設(shè)C(x0，y0)，則AC中點M，BC中點N，….3分∵M在y軸上，∴=0，x0=-5。……..4分∵N在x軸上，∴=0，y0=-3。.即C(-5,-3)?！?6分(2)∵M，N(1,0)，∴直線MN的方程為=1，即5x-2y-5=0………4分.20.（本小題滿分12分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosC＋c＝b.

(1)求角A的大??；

(2)若a＝1，面積，求的值．參考答案：(1)由acosC＋c＝b得

sinAcosC＋sinC＝sinB………2分又sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC

∴sinC＝cosAsinC，……4分∵sinC≠0，∴cosA＝，又∵0<A<π，∴A＝.…………6分(2)，所以………………8分由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得：b2＋c2＝bc＋1=5，………………10分∴(b＋c)2=b2＋c2+2bc=13

∴b＋c，

………………12分21.（本小題滿分14分）如圖，在正方體中，(1)求異面直線與

所成的角；

(2)求證

參考答案：略22.已知函數(shù)．（I）求函數(shù)的最小正周期和對稱中心坐標(biāo)；（II）討論在區(qū)間上的單調(diào)性．參考答案：（Ⅰ），對稱中心為；（Ⅱ）增區(qū)間；減區(qū)間【分析】（Ⅰ）化簡函數(shù)的解析式，利用三角