第19講 函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值【秋季講義】（人教A版2019選擇性必修第二冊(cè)）（原卷版）

第19講函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值【人教A版2019】·模塊一函數(shù)的單調(diào)性·模塊二函數(shù)的極值與最值·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一函數(shù)的單調(diào)性1．函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(1)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f'(x)的正負(fù)之間的關(guān)系

①單調(diào)遞增：在某個(gè)區(qū)間(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增；

②單調(diào)遞減：在某個(gè)區(qū)間(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減.

③如果在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)恒有f'(x)=0，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上是一個(gè)常數(shù)函數(shù).

(2)函數(shù)值變化快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

一般地，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，那么在這個(gè)范圍內(nèi)函數(shù)值變化得快，這時(shí)，函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較小，那么在這個(gè)范圍內(nèi)函數(shù)值變化得慢，函數(shù)的圖象就“平緩”一些.

常見(jiàn)的對(duì)應(yīng)情況如下表所示.圖象f'(x)變化規(guī)律f'(x)>0

且越來(lái)越大f'(x)>0

且越來(lái)越小f'(x)<0

且越來(lái)越小f'(x)<0

且越來(lái)越大函數(shù)值變化規(guī)律函數(shù)值增加

得越來(lái)越快函數(shù)值增加

得越來(lái)越慢函數(shù)值減小

得越來(lái)越快函數(shù)值減小

得越來(lái)越慢【考點(diǎn)1利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性、求單調(diào)區(qū)間】【例1.1】（2023上·北京通州·高三統(tǒng)考期中）下列函數(shù)中，在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞減的是（

A．fx=x-1C．fx=-log【例1.2】（2023上·甘肅·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)f(x)=x-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是（A．(-∞,1) B．(0,1) C．(1,+∞【變式1.1】（2023下·河北滄州·高二?？茧A段練習(xí)）函數(shù)fx=2x-5lnA．0,3 B．3,+∞ C．-∞,【變式1.2】（2023·遼寧鞍山·鞍山一中?？级＃┫铝泻瘮?shù)中，既是偶函數(shù)又在0,+∞上單調(diào)遞增的函數(shù)是（

A．fx=xlnC．fx=e【考點(diǎn)2由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】【例2.1】（2023下·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=2-xex-ax在A．-∞,2e B．e,+∞ C【例2.2】（2023下·四川成都·高二校聯(lián)考期中）若函數(shù)f(x)=x3-3kx+1的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1)，則實(shí)數(shù)kA．1 B．-1 C．3 D．-3【變式2.1】（2023上·廣東汕頭·高三統(tǒng)考期中）設(shè)a∈0,1，若函數(shù)fx=ax+(1+a)A．5-12,5+12 B．5【變式2.2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)fx=ax3-3A．3,+∞ B．-∞,3 C．-模塊二模塊二函數(shù)的極值與最值1．函數(shù)的極值極值的相關(guān)概念

(1)極小值點(diǎn)與極小值：

如圖，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f'(a)=0，而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)f'(x)<0，右側(cè)f'(x)>0，則把點(diǎn)a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.(2)極大值點(diǎn)與極大值：

如圖，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f'(b)=0，而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)f'(x)>0，右側(cè)f'(x)<0，則把點(diǎn)b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.

(3)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.2．函數(shù)的最值(1)一般地，如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值，并且函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.當(dāng)f(x)的圖象連續(xù)不斷且在[a,b]上單調(diào)時(shí)，其最大值和最小值分別在兩個(gè)端點(diǎn)處取得.

(2)函數(shù)的極值與最值的區(qū)別

①極值是對(duì)某一點(diǎn)附近(即局部)而言的，最值是對(duì)函數(shù)的整個(gè)定義區(qū)間而言的.

②在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大(小)值可能有多個(gè)(或者沒(méi)有)，但最大(小)值最多有一個(gè).

③函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)不能是區(qū)間的端點(diǎn)，而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn).【考點(diǎn)3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值】【例3.1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)f(x)=2x-tanx-π在區(qū)間-A．π2+1，-π2+1C．3π2-1，-π2【例3.2】（2023上·山西臨汾·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=x2-ax-lnx+2a∈R在區(qū)間A．2 B．1 C．0 D．-1【變式3.1】（2023·河南洛陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx及其導(dǎo)函數(shù)f'x的定義域均為R，且f'xA．有一個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn) B．有兩個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn)C．最多有一個(gè)極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn) D．最多有一個(gè)極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)【變式3.2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx=exsinx-cosA．eπ1-e1010π1-eπ B【考點(diǎn)4根據(jù)極值（點(diǎn)）求參數(shù)】【例4.1】（2023上·四川遂寧·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=xx-m2在x=1處有極大值，則A．1 B．2 C．3 D．1或3【例4.2】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）函數(shù)fx=ax+lnxb+1在x=1處取得極值A(chǔ)．0 B．12 C．1 D．【變式4.1】（2023下·山東煙臺(tái)·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+cex(a≠0)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為-12和2A．-2 B．0 C．2 D．4【變式4.2】（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)fx=ax3+2x2+ax+1在-1,+∞上存在極大值fA．0,233 B．23,2【考點(diǎn)5利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值】【例5.1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=x2sinA．π24，-2π B．π24，-π24 C．【例5.2】（2023上·江蘇無(wú)錫·高三統(tǒng)考期中）當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)fx=x3+bx2A．8 B．12 C．16 D．32【變式5.1】（2023下·遼寧沈陽(yáng)·高二校考階段練習(xí)）函數(shù)fx=2sinA．奇函數(shù)，且最大值為2 B．偶函數(shù)，且最大值為2C．奇函數(shù)；且最大值為332 D【變式5.2】（2023·廣西南寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在A．1 B．-4 C．-3 D．5【考點(diǎn)6已知函數(shù)最值求參數(shù)】【例6.1】（2023上·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=13x3+12A．-2,12 BC．-74,【例6.2】（2023下·重慶江北·高二?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)fx=e2xx在區(qū)間14,aA．14<a≤1C．12≤a≤1 D【變式6.1】（2023上·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=ax-a+3x3在區(qū)間-1,1上的最小值為-3A．-92,+∞ B．-∞,9【變式6.2】（2023·甘肅金昌·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=x3-ax2+3x在R上單調(diào)遞增，且A．3,4 B．2,3 C．3,4 D．2,3模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2022下·湖北·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)fx=1A．-1,1 B．0,1 C．1,+∞ D．2．（2022上·陜西安康·高二?？计谀┖瘮?shù)f(x)在R的導(dǎo)數(shù)為f'(x)，且f'(x)<f(x),A．ef1>C．e2f13．（2023上·上海松江·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)y=fx的圖象如圖所示，y=f'x為函數(shù)y=fxA．(-3,-1) B．(0,1)C．(-3,-1)∪(0,1) D．(-4．（2023上·四川雅安·高三校聯(lián)考期中）已知f'x是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)y=ef

A．a(chǎn) B．b C．c D．d5．（2023下·廣西南寧·高二賓陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)fx=aex-lnxA．2e-2 B．e C．e-16．（2023上·北京海淀·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)fx=32xA．0 B．12 C．1 D．7．（2023上·寧夏石嘴山·高三平羅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知x=a是函數(shù)f(x)=12x2-(a+1)x+aA．(-∞,1) B．(1,+∞)8．（2023上·寧夏固原·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=eA．函數(shù)fx極小值為B．函數(shù)fx在-1,+C．當(dāng)x∈-2,2時(shí)，函數(shù)fxD．當(dāng)k<3e時(shí)，方程fx9．（2023上·青海西寧·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知直線y=ax+a與曲線y=lnx+b相切，則5a-b的最小值為（A．2ln2 B．2ln2-1 C．10．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=ex-mx2有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（0<x1<xA．0<M<1e BC．M>e2+111．（2023上·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)若對(duì)于任意的x1,x2∈0,1，且12．（2023上·遼寧朝陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)若a=0，求函數(shù)