中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)（精講精練）復(fù)習(xí)專題09 二次函數(shù)（教師版）

第第頁(yè)專題09二次函數(shù)考點(diǎn)1：二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)1．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在該二次函數(shù)的圖象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，則（）A．y1＝﹣y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．y1、y2的大小無(wú)法確定【分析】首先分析出a，b，x1的取值范圍，然后用含有代數(shù)式表示y1，y2，再作差法比較y1，y2的大小．【解析】∵a﹣b2＞0，b2≥0，∴a＞0．又∵ab＜0，∴b＜0，∵x1＜x2，x1+x2＝0，∴x2＝﹣x1，x1＜0．∵點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在該二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象上，∴y1=ax∴y1﹣y2＝2bx1＞0．∴y1＞y2．故選：B．2．二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A．B．C． D．【答案】A【分析】先分析二次函數(shù)的圖像的開(kāi)口方向即對(duì)稱軸位置，而一次函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)，即可得出正確選項(xiàng)．【詳解】二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，一次函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)，所以一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為，只有A選項(xiàng)符合題意．故選A．3．如圖是拋物線的部分圖象，圖象過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，有下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③y的最大值為3；④方程有實(shí)數(shù)根．其中正確的為_(kāi)_______（將所有正確結(jié)論的序號(hào)都填入）．【答案】②④【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵拋物線的開(kāi)口向下，與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸，∴a＜0，c＞0，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，∴﹣=1，即b=﹣2a＞0∴abc＜0，故①錯(cuò)誤；∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），∴根據(jù)對(duì)稱性，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，故②正確；根據(jù)圖象，y是有最大值，但不一定是3，故③錯(cuò)誤；由得，根據(jù)圖象，拋物線與直線y=﹣1有交點(diǎn)，∴有實(shí)數(shù)根，故④正確，綜上，正確的為②④，故答案為：②④．4．在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0在拋物線SKIPIF1<0上．（1）若SKIPIF1<0，求該拋物線的對(duì)稱軸；（2）已知點(diǎn)SKIPIF1<0在該拋物線上．若SKIPIF1<0，比較SKIPIF1<0的大小，并說(shuō)明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由題意易得點(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0，然后代入拋物線解析式進(jìn)行求解，最后根據(jù)對(duì)稱軸公式進(jìn)行求解即可；（2）由題意可分當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)和當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分類求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，則有點(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0，代入二次函數(shù)SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴拋物線解析式為SKIPIF1<0，∴拋物線的對(duì)稱軸為SKIPIF1<0；（2）由題意得：拋物線SKIPIF1<0始終過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0可得：①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由拋物線SKIPIF1<0始終過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0可得此時(shí)的拋物線開(kāi)口向下，即SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0矛盾；②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，∵拋物線SKIPIF1<0始終過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0，∴此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸的范圍為SKIPIF1<0，∵點(diǎn)SKIPIF1<0在該拋物線上，∴它們離拋物線對(duì)稱軸的距離的范圍分別為SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，開(kāi)口向上，∴由拋物線的性質(zhì)可知離對(duì)稱軸越近越小，∴SKIPIF1<0．考點(diǎn)2：二次函數(shù)的平移5．已知拋物線SKIPIF1<0的對(duì)稱軸在SKIPIF1<0軸右側(cè)，現(xiàn)將該拋物線先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線正好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則SKIPIF1<0的值是（）A．SKIPIF1<0或2 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進(jìn)行解答即可．【詳解】解：函數(shù)SKIPIF1<0向右平移3個(gè)單位，得：SKIPIF1<0；再向上平移1個(gè)單位，得：SKIPIF1<0+1，∵得到的拋物線正好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)∴SKIPIF1<0+1即SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0∵拋物線SKIPIF1<0的對(duì)稱軸在SKIPIF1<0軸右側(cè)∴SKIPIF1<0＞0∴SKIPIF1<0＜0∴SKIPIF1<0故選：B．6．拋物線的函數(shù)表達(dá)式為SKIPIF1<0，若將SKIPIF1<0軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，將SKIPIF1<0軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，則該拋物線在新的平面直角坐標(biāo)系中的函數(shù)表達(dá)式為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】將題意中的平移方式轉(zhuǎn)換成函數(shù)圖像的平移，再求解析式即可．【詳解】解：若將SKIPIF1<0軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，相當(dāng)于將函數(shù)圖像向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，將SKIPIF1<0軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，相當(dāng)于將函數(shù)圖像向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移以后的函數(shù)解析式為：化簡(jiǎn)得：，故選：C．考點(diǎn)3：二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系7．已知拋物線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是常數(shù)，SKIPIF1<0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值SKIPIF1<0．有下列結(jié)論：①SKIPIF1<0；②關(guān)于x的方程SKIPIF1<0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；③SKIPIF1<0．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)與點(diǎn)的關(guān)系,一元二次方程根的判別式,不等式的性質(zhì)，逐一計(jì)算判斷即可【詳解】∵拋物線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是常數(shù)，SKIPIF1<0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值SKIPIF1<0．∴c=1＞0，a-b+c=-1,4a-2b+c＞1，∴a-b=-2,2a-b＞0，∴2a-a-2＞0，∴a＞2＞0，∴b=a+2＞0，∴abc＞0，∵SKIPIF1<0,∴△=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0＞0,∴SKIPIF1<0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；∵b=a+2，a＞2，c=1，∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，∵a＞2，∴2a＞4，∴2a+3＞4+3＞7，故選D．8．已知二次函數(shù)SKIPIF1<0的圖像如圖所示，有下列結(jié)論：①；②＞0；③；④不等式＜0的解集為1≤＜3，正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的開(kāi)口方向、于x軸的交點(diǎn)情況、對(duì)稱軸的知識(shí)可判①②③的正誤，再根據(jù)函數(shù)圖象的特征確定出函數(shù)的解析式，進(jìn)而確定不等式，最后求解不等式即可判定④．【詳解】解：∵拋物線的開(kāi)口向上，∴a＞0，故①正確；∵拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)∴＜0，故②錯(cuò)誤∵由拋物線可知圖象過(guò)（1,1），且過(guò)點(diǎn)（3,3）∴8a+2b=2∴4a+b=1，故③錯(cuò)誤；由拋物線可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1），且過(guò)點(diǎn)（3,3）則拋物線與直線y=x交于這兩點(diǎn)∴＜0可化為，根據(jù)圖象，解得：1＜x＜3故④錯(cuò)誤．故選A．考點(diǎn)4：求二次函數(shù)的解析式9．如圖，二次函數(shù)SKIPIF1<0（a為常數(shù)）的圖象的對(duì)稱軸為直線．（1）求a的值．（2）向下平移該二次函數(shù)的圖象，使其經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式．【答案】（1）；（2）【分析】（1）把二次函數(shù)化為一般式，再利用對(duì)稱軸：，列方程解方程即可得到答案；（2）由（1）得：二次函數(shù)的解析式為：，再結(jié)合平移后拋物線過(guò)原點(diǎn)，則從而可得平移方式及平移后的解析式．【詳解】解：（1）．∵圖象的對(duì)稱軸為直線，∴，∴．（2）∵，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為，∴拋物線向下平移3個(gè)單位后經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式為．考點(diǎn)5：二次函數(shù)的最值10．定義：為二次函數(shù)（）的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為的二次函數(shù)的一些結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是軸；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值；④如果，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】①②③．【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)特征數(shù)，以及的取值，逐一代入函數(shù)關(guān)系式，然判斷后即可確定正確的答案．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，把代入，可得特征數(shù)為∴，，，∴函數(shù)解析式為，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是軸，故①正確；當(dāng)時(shí)，把代入，可得特征數(shù)為∴，，，∴函數(shù)解析式為，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)，故②正確；函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像開(kāi)口向上，有最小值，故③正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為：∴時(shí)，可能在函數(shù)對(duì)稱軸的左側(cè)，也可能在對(duì)稱軸的右側(cè)，故不能判斷其增減性，故④錯(cuò)誤；綜上所述，正確的是①②③，故答案是：①②③．11．以初速度v（單位：m/s）從地面豎直向上拋出小球，從拋出到落地的過(guò)程中，小球的高度h（單位：m）與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系式是h＝vt4.9t2，現(xiàn)將某彈性小球從地面豎直向上拋出，初速度為v1，經(jīng)過(guò)時(shí)間t1落回地面，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球的最大高度為h1（如圖1）；小球落地后，豎直向上彈起，初速度為v2，經(jīng)過(guò)時(shí)間t2落回地面，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球的最大高度為h2（如圖2）．若h1＝2h2，則t1：t2＝_____．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)圖像分別求出兩個(gè)函數(shù)解析式，表示出，，，，結(jié)合h1＝2h2，即可求解．【詳解】解：由題意得，圖1中的函數(shù)圖像解析式為：h＝v1t4.9t2，令h=0，或（舍去），，圖2中的函數(shù)解析式為：h＝v2t4.9t2，或（舍去），，∵h(yuǎn)1＝2h2，∴=2，即：=或=-（舍去），∴t1：t2=：=，故答案是：．12．已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)在拋物線上，E是該拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的面積為_(kāi)_________．【答案】4【分析】根據(jù)題意畫出函數(shù)圖像，要使的值最小，需運(yùn)用對(duì)稱相關(guān)知識(shí)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后求的面積即可．【詳解】解：根據(jù)題意可求出，拋物線的對(duì)稱軸為：，根據(jù)函數(shù)對(duì)稱關(guān)系，點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，連接AD與交于點(diǎn)E，此時(shí)的值最小，過(guò)D點(diǎn)作x軸垂線，垂足為F，設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為G，∵，∴，∴，∴，過(guò)點(diǎn)C作的垂線，垂足為H，所以四邊形ACHE的面積等于與梯形ACHG的面積和，即，則S四邊形ACHE-，故答案為：4．13．已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)．（1）求b的值．（2）當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是________．（3）設(shè)是該函數(shù)的圖像與x軸的一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)的圖像，直接寫出a的取值范圍．【答案】（1）；（2）1；（3）或．【分析】（1）將點(diǎn)代入求解即可得；（2）先求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用完全平方公式、不等式的性質(zhì)求解即可得；（3）分和兩種情況，再畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象建立不等式組，解不等式組即可得．【詳解】解：（1）將點(diǎn)代入得：，兩式相減得：，解得；（2）由題意得：，由（1）得：，則此函數(shù)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，將點(diǎn)代入得：，解得，則，下面證明對(duì)于任意的兩個(gè)正數(shù)，都有，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），當(dāng)時(shí)，，則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立），即，故當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是1；（3）由得：，則二次函數(shù)的解析式為，由題意，分以下兩種情況：①如圖，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，解得；②如圖，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，的取值范圍為或．考點(diǎn)6：二次函數(shù)的應(yīng)用14．某快餐店銷售A、B兩種快餐，每份利潤(rùn)分別為12元、8元，每天賣出份數(shù)分別為40份、80份．該店為了增加利潤(rùn)，準(zhǔn)備降低每份A種快餐的利潤(rùn)，同時(shí)提高每份B種快餐的利潤(rùn)．售賣時(shí)發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，每份A種快餐利潤(rùn)每降1元可多賣2份，每份B種快餐利潤(rùn)每提高1元就少賣2份．如果這兩種快餐每天銷售總份數(shù)不變，那么這兩種快餐一天的總利潤(rùn)最多是______元．【答案】1264【分析】根據(jù)題意，總利潤(rùn)=快餐的總利潤(rùn)＋快餐的總利潤(rùn)，而每種快餐的利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×對(duì)應(yīng)總數(shù)量，分別對(duì)兩份快餐前后利潤(rùn)和數(shù)量分析，代入求解即可．【詳解】解：設(shè)種快餐的總利潤(rùn)為，種快餐的總利潤(rùn)為，兩種快餐的總利潤(rùn)為，設(shè)快餐的份數(shù)為份，則B種快餐的份數(shù)為份．據(jù)題意：∴∵∴當(dāng)?shù)臅r(shí)候，W取到最大值1264，故最大利潤(rùn)為1264元故答案為：126415．某游樂(lè)場(chǎng)的圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從A點(diǎn)向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同．如圖，以水平方向?yàn)閤軸，點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在y軸上，x軸上的點(diǎn)C，D為水柱的落水點(diǎn)，水柱所在拋物線第一象限部分的函數(shù)表達(dá)式為．（1）求雕塑高OA．（2）求落水點(diǎn)C，D之間的距離．（3）若需要在OD上的點(diǎn)E處豎立雕塑EF，，．問(wèn)：頂部F是否會(huì)碰到水柱？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．【答案】（1）；（2）22米；（3）不會(huì)【分析】（1）求雕塑高,直接令，代入求解可得；（2）可先求出的距離，再根據(jù)對(duì)稱性求的長(zhǎng)；（3）利用，計(jì)算出的函數(shù)值，再與的長(zhǎng)進(jìn)行比較可得結(jié)論．【詳解】解：（1）由題意得，A點(diǎn)在圖象上．當(dāng)時(shí)，．（2）由題意得，D點(diǎn)在圖象上．令，得．解得：（不合題意，舍去）．（3）當(dāng)時(shí)，，∴不會(huì)碰到水柱．16．紅星公司銷售一種成本為40元/件的產(chǎn)品，若月銷售單價(jià)不高于50元/件．一個(gè)月可售出5萬(wàn)件；月