福建專版2024春七年級數(shù)學(xué)下冊第四章三角形素養(yǎng)集訓(xùn)4構(gòu)造全等三角形的常用方法作業(yè)課件新版北師大版

第四章三角形素養(yǎng)集訓(xùn)4.構(gòu)造全等三角形的常用方法方法1連接法1.如圖，已知：AB＝AC，BD＝CD，∠A＝60°，∠BDC＝140°，求∠B的度數(shù).12345678910解：如圖，連接AD，在△ABD與△ACD中，

所以△ABD≌△ACD（SSS），

因?yàn)椤螧DC＝140°，

因?yàn)椤螧AD＋∠ADB＋∠B＝180°，所以∠B＝40°.12345678910方法2翻折法2.如圖，在△ABC中，BE是角平分線，AD⊥BE，垂足為點(diǎn)D.試說明：∠2＝∠1＋∠C.12345678910解：如圖，延長AD交BC于點(diǎn)F.因?yàn)锳D⊥BE，所以∠ADB＝∠FDB＝90°.因?yàn)锽E是角平分線，所以∠ABD＝∠FBD.

所以△ABD≌△FBD（ASA）.所以∠2＝∠DFB.因?yàn)椤螪FB＝180°－∠AFC＝180°－（180°－∠1－∠C）＝∠1＋∠C，所以∠2＝∠1＋∠C.1234567891012345678910點(diǎn)撥：本題實(shí)際上用到了翻折法，相當(dāng)于把△ABD沿BE翻折到△FBD.方法3補(bǔ)形法3.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，CE⊥AD于點(diǎn)E，其延長線交AB于點(diǎn)F，連接DF.試說明：∠ADC＝∠BDF.12345678910解：如圖，過點(diǎn)B作BG⊥BC，交CF的延長線于點(diǎn)G.則∠CBG＝90°.因?yàn)椤螦CB＝90°，所以∠2＋∠ACF＝90°.因?yàn)镃E⊥AD，所以∠AEC＝90°.所以∠1＋∠ACF＝90°.所以∠1＝∠2.

所以△ACD≌△CBG（ASA）.所以∠ADC＝∠G，CD＝BG.12345678910因?yàn)辄c(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，所以CD＝BD.所以BD＝BG.因?yàn)椤螪BG＝90°，∠DBF＝45°，所以∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.所以∠DBF＝∠GBF.

所以△BDF≌△BGF（SAS）.所以∠BDF＝∠G.所以∠ADC＝∠BDF.12345678910方法4延長法4.如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點(diǎn)E.試說明：BD＝2CE.12345678910解：如圖，延長BA，CE交于點(diǎn)F，因?yàn)锽D平分∠ABC，所以∠1＝∠2.因?yàn)镃E垂直于BE，12345678910所以∠BEF＝∠BEC＝90°.在△BEF和△BEC中，

所以△BEF≌△BEC（ASA），所以EF＝EC，所以CF＝2CE.12345678910因?yàn)椤螧AC＝90°，所以∠CAF＝90°＝∠BEF，所以∠1＋∠F＝∠3＋∠F＝90°，所以∠1＝∠3.由題意得，AB＝AC.

所以△ABD≌△ACF（ASA），所以BD＝CF，所以BD＝2CE.12345678910方法5倍長中線法5.如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，且∠EAF＝∠EFA.試說明：AC＝BF.12345678910解：如圖，延長AD至點(diǎn)M，使DM＝AD，連接BM.因?yàn)锳D是△ABC的中線，所以BD＝CD.12345678910在△MDB和△ADC中，

所以△MDB≌△ADC（SAS）.所以∠M＝∠EAF，BM＝AC.又因?yàn)椤螮AF＝∠EFA，∠EFA＝∠BFM，所以∠M＝∠BFM.所以BM＝BF.所以AC＝BF.123456789106.如圖，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC.AD⊥AC，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，試說明：DE＝2AM.12345678910解：如圖，延長AM至點(diǎn)N，使MN＝AM，連接BN，則AN＝2AM.因?yàn)辄c(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，所以CM＝BM.在△AMC和△NMB中，

所以△AMC≌△NMB（SAS），所以AC＝BN，∠C＝∠NBM.因?yàn)锳D＝AC，所以AD＝BN.因?yàn)锳B⊥AE，AD⊥AC，所以∠EAB＝∠DAC＝90°，所以∠EAD＋∠BAC＝180°，所以∠ABN＝∠ABC＋∠NBM＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD.

所以△EAD≌△ABN（SAS），所以DE＝AN＝2AM.12345678910方法6截長補(bǔ)短法7.【一題多解】如圖，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合）.試說明：AB－AC＞PB－PC.12345678910解法一（截長法）：如圖，在AB上截取AN＝AC，連接PN.12345678910

所以△APN≌△APC（SAS）.所以PN＝PC.在△BPN中，PB－PN＜BN，所以PB－PC＜AB－AN.所以AB－AC＞PB－PC.12345678910解法二（補(bǔ)短法）：如圖②，延長AC至點(diǎn)M，使AM＝AB，連接PM.12345678910

所以△ABP≌△AMP（SAS）.所以PB＝PM.在△PCM中，CM＞PM－PC，所以AM－AC＞PB－PC.所以AB－AC＞PB－PC.點(diǎn)技巧：本題運(yùn)用了截長法或補(bǔ)短法，AB比AC長，在AB上截取AN＝AC，構(gòu)造△APN，通過全等說明；或者延長AC補(bǔ)成AM＝AB，構(gòu)造△AMP，同樣通過全等說明.123456789108.如圖所示，BD，CE分別為∠ABC，∠ACB的平分線，兩線交于點(diǎn)O.∠A＝60°，BE，CD，BC三條線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，并說明理由.12345678910解：BC＝BE＋CD.理由如下：如圖，在邊BC上截取BF＝BE，連接OF.12345678910

12345678910所以∠EOB＝∠DOC＝180°－∠BOC＝60°，

所以△BEO≌△BFO（SAS），所以∠EOB＝∠FOB＝60°.因?yàn)椤螧OC＝120°，所以∠FOC＝60°，12345678910所以∠DOC＝∠FOC＝60°.

所以△DOC≌△FOC（ASA），所以DC＝FC，所以BC＝BF＋FC＝BE＋CD.12345678910方法7作垂線法9.如圖，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，直角三角尺的頂點(diǎn)P在射線OM上移動，兩直角邊分別與OA，OB相交于點(diǎn)C，D，問PC與PD相等嗎？試說明理由.12345678910解：PC＝PD.理由如下：如圖，過點(diǎn)P分別作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，則∠PEO＝∠PFO＝∠PFD＝90°.12345678910因?yàn)镺M平分∠AOB，所以∠EOP＝∠FOP.

所以△EOP≌△FOP（AAS）.所以PE＝PF.因?yàn)椤螦OB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，12345678910所以∠EPF＝90°，即∠EPC＋∠CPF＝90°.因?yàn)椤螩PD＝90°，所以∠CPF＋∠FPD＝90°.所以∠EPC＝∠FPD.

所以△PCE≌△PDF（ASA）.所以PC＝PD.12345678910方法8作平行線法10.如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，BQ平分∠ABC交AC于點(diǎn)Q.試說明：AB＋BP＝BQ＋AQ.12345678910

所以BQ＋AQ＝CQ＋AQ＝AC.①12345678910如圖，過點(diǎn)P作PD∥BQ交CQ于點(diǎn)D，則∠CPD＝∠CBQ＝40°.所以∠CPD＝∠C＝40°.12345678910所以PD＝CD，∠ADP＝180°－∠CDP＝∠CPD＋∠C＝40