上海市東華大學(xué)附屬奉賢致遠中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)

東華致遠2023學(xué)年第一學(xué)期期中教學(xué)評估高三數(shù)學(xué)試卷考試時間：120分鐘試卷滿分：150分注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一．填空題（共54分，16題4分，712題5分）1.已知集合，，則______.2.若，則__________．3.已知平面向量，的夾角為，若，則的值為____________.4.若第三象限角，且，則等于_____.5已知向量，且，則__________.6.在一條直行道路上的十字路口，每次亮綠燈的時長一般為，那么，每次綠燈亮?xí)r，請問:會有_________，________等因素會影響在該段時間內(nèi)，車輛通過的數(shù)量.7.若直線與曲線相切，則的值為___________.8.已知等比數(shù)列的前項和為，若，則__________.9.設(shè)圓的圓心為C，直線l過，且與圓C交于A，B兩點，若，則直線l的方程為___________.10.已知直三棱柱的6個頂點都在球的表面上，若，則球的體積為__________.11.已知曲線C：，直線l：x=6.若對于點A（m，0）,存在C上的點P和l上的點Q使得，則m的取值范圍為.12.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程，有且僅有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是______．二．選擇題（共18分，13.14每題4分，15.16題每題5分）13.已知，則（）A. B. C. D.14.某紀念章從某年某月某日起開始上市，通過市場調(diào)查，得到該紀念章每1枚的市場價（單位：元）與上市時間（單位：天）的數(shù)據(jù)如下：上市時間天41036市場價元905190根據(jù)上表數(shù)計，從下列函數(shù)中選取一個恰當?shù)暮瘮?shù)描述該紀念章的市場價與上市時間的變化關(guān)系（）A. B.C. D.；15.已知定義在R上奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是減函數(shù)，令，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.16.如圖，己知四棱錐的底面是直角梯形，，，，平面，，下列說法正確的是（）A.與所成的角是B.平面與平面所成的銳二面角余弦值是C.與平面所成的角的正弦值是D.線段上動點，為中點，則點到平面距離最大值為三．簡答題（共78分，14+14+14+18+18）17.在數(shù)列中，，，其中為給定的正整數(shù)，的前項和為.（1）若等比數(shù)列，，求；（2）若為等差數(shù)列，是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.18.如圖，三棱錐P﹣ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，PA＝PB＝PC，且M，N分別為線段AB，PC的中點．（1）若點K是線段PM的中點，求證：直線平面ABC；（2）求證：平面PCM⊥平面ABC．19.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）求的大??；（2）若平分交于且，求面積的最小值.20.在平面直角坐標系Oxy中，動圓P與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動圓P的圓心的軌跡為E．（1）求軌跡E的方程；（2）不過圓心且與x軸垂直的直線交軌跡E于A，M兩個不同的點，連接交軌跡E于點B（i）若直線MB交x軸于點N，證明：N為一個定點；（ii）若過圓心的直線交軌跡E于D，G兩個不同的點，且，求四邊形ADBG面積的最小值．21.已知函數(shù)，．（1）若，證明：；（2）若不等式恒成立，求正實數(shù)的值；（3）證明：．東華致遠2023學(xué)年第一學(xué)期期中教學(xué)評估高三數(shù)學(xué)試卷考試時間：120分鐘試卷滿分：150分注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一．填空題（共54分，16題4分，712題5分）1.已知集合，，則______.【答案】【解析】【分析】對集合解一元二次不等式，取并集即可.【詳解】∵，∴.2.若，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算法則化簡復(fù)數(shù)，再求出其模.【詳解】因為，所以，所以.

故答案為：3.已知平面向量，的夾角為，若，則的值為____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由平面向量數(shù)量積運算律，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由兩邊平方得，，，解得故答案為：4.若是第三象限角，且，則等于_____.【答案】【解析】【分析】利用差角的正弦公式將已知條件化簡后求出，再利用平方關(guān)系求出，進而求出.【詳解】，，是第三象限角，，.故答案為：.5.已知向量，且，則__________.【答案】【解析】【分析】先求得的坐標，再利用向量相等求解.【詳解】解：因為，所以，又因為，所以解得．故答案為：6.在一條直行道路上的十字路口，每次亮綠燈的時長一般為，那么，每次綠燈亮?xí)r，請問:會有_________，________等因素會影響在該段時間內(nèi)，車輛通過的數(shù)量.【答案】①.車長②.車速【解析】分析】由題意求出一輛車通過該路段所需時間表達式，看表達式主要與哪些量有關(guān)即可.【詳解】設(shè)式子路口的寬度、車長、車速為，則若車輛在內(nèi)能夠通過該式子路段，需要滿足，因此在該段時間內(nèi)，車輛通過的數(shù)量可能會受到車長、車速等因素的影響.故答案為：車長，車速.7.若直線與曲線相切，則的值為___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)切點為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合條件即得.【詳解】設(shè)切點為，則，，，，，所以，.故答案為：.8.已知等比數(shù)列的前項和為，若，則__________.【答案】32【解析】【分析】利用等比數(shù)列通項公式將化簡，再利用等比數(shù)列前n項和性質(zhì)將化為，兩式聯(lián)立解方程即可.【詳解】設(shè)該數(shù)列的公比為q，則，解得，則.故答案為：32.9.設(shè)圓的圓心為C，直線l過，且與圓C交于A，B兩點，若，則直線l的方程為___________.【答案】或【解析】【分析】當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，求出A，B兩點的坐標，再判斷是否成立，當直線l的斜率存在時，設(shè)直線，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再利用弦心距，弦和半徑的關(guān)系列方程可求出，從而可求出直線方程【詳解】當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，由，得或，此時，符合題意.當直線l的斜率存在時，設(shè)直線，因為圓的圓心，半徑，所以圓心C到直線l的距離.因為，所以，解得，所以直線l的方程為，即.綜上，直線l的方程為或.故答案為：或10.已知直三棱柱的6個頂點都在球的表面上，若，則球的體積為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正余弦定理可得的外接圓半徑，然后根據(jù)球的性質(zhì)結(jié)合條件可得球的半徑，再利用球的體積公式即得.【詳解】因為，所以，即，所以的外接圓半徑為，在直三棱柱中，，設(shè)球的半徑為，則，因此球的體積為．故答案為：.11.已知曲線C：，直線l：x=6.若對于點A（m，0）,存在C上的點P和l上的點Q使得，則m的取值范圍為.【答案】【解析】【詳解】故答案為.12.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程，有且僅有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】首先利用導(dǎo)函數(shù)求的單調(diào)性，作出函數(shù)的大致圖象，將方程解得問題轉(zhuǎn)換成交點問題即可求解出答案．【詳解】解：因為，則，當或時，，當時，，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當時，，，故的大致圖像如圖所示：關(guān)于的方程等價于，即或，由圖可得，方程有且僅有一解，則有兩解，所以，解得，故答案為：二．選擇題（共18分，13.14每題4分，15.16題每題5分）13.已知，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)互化，求出，再根據(jù)指數(shù)的運算，結(jié)合換底公式與基本不等式逐個選項判斷即可.【詳解】由題意，.對A，，成立，故A正確；對B，，不成立，故B錯誤；對C，，成立，故C正確；對D，因為，故，當且僅當時取等號，但，故，成立，故D正確；故選：ACD14.某紀念章從某年某月某日起開始上市，通過市場調(diào)查，得到該紀念章每1枚的市場價（單位：元）與上市時間（單位：天）的數(shù)據(jù)如下：上市時間天41036市場價元905190根據(jù)上表數(shù)計，從下列函數(shù)中選取一個恰當?shù)暮瘮?shù)描述該紀念章的市場價與上市時間的變化關(guān)系（）A. B.C. D.；【答案】B【解析】【分析】由題意觀察出隨的變化趨勢，對比函數(shù)單調(diào)性即可得解.【詳解】∵隨著時間的增加，的值先減后增，而三個函數(shù)中、、顯然都是單調(diào)函數(shù)，不滿足題意，∴選擇．故選：B.15.已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是減函數(shù)，令，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知得出函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，這樣得出函數(shù)在上是減函數(shù)，再由奇函數(shù)得出在上是增函數(shù)，利用奇函數(shù)得，從而得出，確定的值或范圍后利用單調(diào)性可比較大?。驹斀狻恳驗槭嵌x在R上的奇函數(shù)且滿足，，所以的圖象關(guān)于直線對稱，在上是減函數(shù)，則在上是增函數(shù)，又是奇函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)得，所以，，，，所以，即，故選：C．16.如圖，己知四棱錐的底面是直角梯形，，，，平面，，下列說法正確的是（）A.與所成的角是B.平面與平面所成的銳二面角余弦值是C.與平面所成的角的正弦值是D.是線段上動點，為中點，則點到平面距離最大值為【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)建立空間直角坐標系，利用空間向量解決線線角、線面角、面面角以及點到面的距離問題.【詳解】，，，平面，以為原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，對于A，，且，，與所成的角是，故A錯誤；對于B，設(shè)平面的法向量為，則令，則，，所以，顯然平面的法向量為，，平面與平面所成的銳二面角余弦值是，故B錯誤.對于C，，故C正確；對于D，是線段上動點，設(shè)，為中點，，，，當時，位于點，此時點到平面距離為,當時，設(shè)平面的法向量為，則令，則，，所以，點到平面距離，當，即時，，此時，，點到平面距離的最大值為，故D錯誤.故選：C.三．簡答題（共78分，14+14+14+18+18）17.在數(shù)列中，，，其中為給定的正整數(shù)，的前項和為.（1）若為等比數(shù)列，，求；（2）若為等差數(shù)列，是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】(1)利用等比數(shù)列任意兩項之間的關(guān)系求出公比，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式即可得出結(jié)果.(2)利用等差數(shù)列任意兩項之間的關(guān)系求出公差，進而求出首項，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可.【小問1詳解】由題意，，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則.故.【小問2詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，.由可知.由，解得.存在正整數(shù)，使得18.如圖，三棱錐P﹣ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，PA＝PB＝PC，且M，N分別為線段AB，PC的中點．（1）若點K是線段PM的中點，求證：直線平面ABC；（2）求證：平面PCM⊥平面ABC．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意利用中位線定理知，利用線面平行的判定定理即可證明平面ABC．（2）由PA，PB，PC兩兩垂直，可證PC⊥平面PAB，進而可得，再證明平面PCM,根據(jù)面面垂直判定定理即可證明平面PCM⊥平面ABC．【小問1詳解】因為N為線段PC的中點，點K是線段PM的中點，所以由中位線定理知，又CM在平面ABC內(nèi)，且NK在平面ABC外，因此根據(jù)線面平行判定定理得直線平面ABC，得證．【小問2詳解】因為PA，PB，PC兩兩垂直，所以PC⊥PA，PC⊥PB，平面PAB，所以PC⊥平面PAB，又平面PAB，所以，又PA＝PB，且M為線段AB的中點，所以，結(jié)合平面PCM,所以平面PCM,因為平面ABC，所以平面PCM⊥平面ABC，得證．.19.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）求的大??；（2）若平分交于且，求面積的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式化簡已知條件，由此求得.（2）根據(jù)已知條件求得或，結(jié)合基本不等式求得三角形面積的最小值.【小問1詳解】依題意，，則，故，則，，，由于，所以，所以，則為銳角，且.【小問2詳解】依題意平分，在三角形中，由正弦定理得，在三角形中，由正弦定理得，所以，由正弦定理得.在三角形中，由余弦定理得，在三角形中，由余弦定理得，所以，整理得，所以或.當時，三角形是等邊三角形，，，，所以.當時，，當且僅當時等號成立，所以三角形.綜上所述，三角形面積的最小值為.20.在平面直角坐標系Oxy中，動圓P與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動圓P的圓心的軌跡為E．（1）求軌跡E的方程；（2）不過圓心且與x軸垂直的直線交軌跡E于A，M兩個不同的點，連接交軌跡E于點B（i）若直線MB交x軸于點N，證明：N為一個定點；（ii）若過圓心直線交軌跡E于D，G兩個不同的點，且，求四邊形ADBG面積的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)動圓P的半徑為R，圓心為，根據(jù)題意列出，即可得，結(jié)合橢圓定義即可求得答案；（2）（i）設(shè)直線AB的方程并聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，進而利用BM方程，求出N點坐標，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系式化簡，可得結(jié)論；（ii）求出弦長和，結(jié)合題意可求出四邊形ADBG面積的表達式，利用基本不等式即可求得其最小值.【小問1詳解】設(shè)動圓P的半徑為R，圓心為，即，，即，而動圓P與圓內(nèi)切，且