新版高中數(shù)學(xué)人教A版必修2習(xí)題第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系2.3.2

2.3.2平面與平面垂直的判定課時(shí)過關(guān)·能力提升基礎(chǔ)鞏固1.下列說法:①兩個(gè)相交平面所組成的圖形叫做二面角;②二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā),分別在兩個(gè)面內(nèi)作射線所成的角;③二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置有關(guān)系.其中說法正確的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3答案:A2.如圖,在三棱錐PABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,則二面角BPAC的大小等于()A.90°B.60°C.45° D.30°解析:因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC.所以∠BAC是二面角BPAC的平面角.又∠BAC=90°,則二面角BPAC的平面角是90°.答案:A3.在空間四邊形ABCD中,若AD⊥BC,AD⊥BD,則有()A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面BCD解析:因?yàn)锳D⊥BC,AD⊥BD,BD∩BC=B,且BC,BD?平面BCD,所以AD⊥平面BCD.因?yàn)锳D?平面ADC,所以平面ADC⊥平面BCD.答案:D4.如圖,AB是圓的直徑,PA⊥AC,PA⊥BC,C是圓上一點(diǎn)(不同于A,B),且PA=AC,則二面角PBCA的平面角為()A.∠PAC B.∠CPAC.∠PCA D.∠CAB解析:因?yàn)锳B為圓的直徑,所以AC⊥BC.因?yàn)镻A⊥BC,AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC.所以BC⊥PC.所以∠PCA為二面角PBCA的平面角.答案:C5.如圖,在四棱錐SABCD中,底面ABCD為正方形,SA⊥平面ABCD,AC與BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)P是側(cè)棱SC上一動點(diǎn),則一定與平面PBD垂直的平面是()A.平面SAB B.平面SACC.平面SCD D.平面ABCD解析:∵在四棱錐SABCD中,底面ABCD為正方形,∴BD⊥AC.∵SA⊥平面ABCD,∴SA⊥BD.∵SA∩AC=A,∴BD⊥平面SAC.∵BD?平面PBD,∴平面PBD⊥平面SAC.故選B.答案:B6.經(jīng)過平面α外一點(diǎn)和平面α內(nèi)一點(diǎn)與平面α垂直的平面有個(gè).

解析:設(shè)平面α外的一點(diǎn)為A,平面α內(nèi)的一點(diǎn)為B,當(dāng)直線AB垂直于平面α?xí)r,經(jīng)過直線AB的任意一個(gè)平面均垂直于平面α,即此時(shí)有無數(shù)個(gè);當(dāng)直線AB與平面α相交但不垂直時(shí),過點(diǎn)A作直線AC垂直于平面α,則直線AC僅有一條,由于直線AC和AB是兩條相交直線,則AB和AC確定一個(gè)平面且該平面垂直于平面α,此時(shí)僅有一個(gè)與平面α垂直的平面.答案:1個(gè)或無數(shù)7.如圖,檢查工件的相鄰兩個(gè)面是否垂直時(shí),只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個(gè)面上,另一邊在工件的另一個(gè)面上轉(zhuǎn)動,觀察尺邊是否和這個(gè)面密合就可以了,其原理是利用了.

答案:平面與平面垂直的判定定理8.如圖,在三棱錐PABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則在三棱錐PABC的四個(gè)面中,互相垂直的面有對.

解析:因?yàn)镻A⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,所以PA⊥平面PBC.因?yàn)镻A?平面PAB,PA?平面PAC,所以平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.同理可證平面PAB⊥平面PAC.答案:39.如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD.求證:平面PDC⊥平面PAD.證明因?yàn)镻A⊥平面AC,CD?平面AC,所以PA⊥CD.因?yàn)镃D⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.因?yàn)镃D?平面PDC,所以平面PDC⊥平面PAD.能力提升1.如果直線l,m與平面α,β,γ滿足:l=β∩γ,l∥α,m?α和m⊥γ,那么必有()A.α⊥γ,且l⊥m B.α⊥γ,且m∥βC.m∥β,且l⊥m D.α∥β,且α⊥γ解析:∵m?α,m⊥γ,∴α⊥γ.∵l=β∩γ,∴l(xiāng)?γ,∴m⊥l.答案:A2.在四棱錐PABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD為矩形,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.平面PAB⊥平面PADB.平面PAB⊥平面PBCC.平面PBC⊥平面PCDD.平面PCD⊥平面PAD解析:因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形,所以AB⊥AD.因?yàn)镻A⊥平面AC,AB?平面AC,所以AB⊥PA.而AD∩PA=A,所以AB⊥平面PAD.因?yàn)锳B?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.同理可證,平面PAB⊥平面PBC,平面PCD⊥平面PAD.答案:C★3.如果一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面,那么這兩個(gè)二面角()A.相等 B.互補(bǔ)C.相等或互補(bǔ) D.大小關(guān)系無法確定解析:如圖,平面EFDG⊥平面ABC,當(dāng)平面HDG繞DG轉(zhuǎn)動時(shí),平面HDG始終與平面BCD垂直,因?yàn)槎娼荋DGF的大小不確定,所以兩個(gè)二面角的大小關(guān)系不確定.答案:D4.如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,BC=2,AA1=1,E,F分別在AD和BC上,且EF∥AB.若二面角C1EFC等于45°,則BF=.

解析:因?yàn)锳B⊥平面BC1,C1F?平面BC1,CF?平面BC1,所以AB⊥C1F,AB⊥CF.又EF∥AB,所以C1F⊥EF,CF⊥EF,所以∠C1FC是二面角C1EFC的平面角,即∠C1FC=45°.所以△FCC1是等腰直角三角形,所以CF=CC1=AA1=1.又BC=2,所以BF=BCCF=21=1.答案:15.如圖,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,將△ABC沿斜線BC上的高AD折疊,使平面ABD⊥平面ACD,則BC=.

解析:因?yàn)锳D⊥BC,所以AD⊥BD,AD⊥CD,所以∠BDC是二面角BADC的平面角.因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°.連接BC,在△BCD中,∠BDC=90°,BD=CD=22,所以BC=222答案:16.如圖,在四面體ABCD中,AB,BC,CD兩兩互相垂直,且BC=CD.(1)求證:平面ACD⊥平面ABC;(2)求二面角CABD的大小.(1)證明因?yàn)镃D⊥AB,CD⊥BC,AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC.因?yàn)镃D?平面ACD,所以平面ACD⊥平面ABC.(2)解:因?yàn)锳B⊥BC,AB⊥CD,且BC∩CD=C,所以AB⊥平面BCD.因?yàn)锽D?平面BCD,所以AB⊥BD.所以∠CBD是二面角CABD的平面角.因?yàn)樵赗t△BCD中,BC=CD,所以∠CBD=45°.所以二面角CABD的大小為45°.7.如圖,已知在三棱錐PABC中,D,E,F分別為棱PC,AC,AB的中點(diǎn),PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求證:(1)直線PA∥平面DEF;(2)平面BDE⊥平面ABC.證明(1)因?yàn)镈,E分別為棱PC,AC的中點(diǎn),所以DE∥PA.又因?yàn)镻A?平面DEF,DE?平面DEF,所以直線PA∥平面DEF.(2)因?yàn)镈,E,F分別為棱PC,AC,AB的中點(diǎn),PA=6,BC=8,所以DE∥PA,DE=12PA=3,EF=12BC=又因?yàn)镈F=5,故DF2=DE2+EF2,所以∠DEF=90°,即DE⊥EF.又PA⊥AC,DE∥PA,所以DE⊥AC.因?yàn)锳C∩EF=E,AC?平面ABC,EF?平面ABC,所以DE⊥平面ABC.又DE?平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC.★8.如圖,四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中點(diǎn),PA⊥底面ABCD,PA=3.(1)求證:平面PBE⊥平面PAB;(2)求二面角ABEP的大小.(1)證明如圖,連接BD,由ABCD是菱形,且∠BCD=60°知,△BCD是等邊三角形.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn),所以BE⊥CD.又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因?yàn)镻A⊥平面ABCD,B