山東省煙臺(tái)市2022-2023學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022?2023學(xué)年度第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平診斷

局三數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘.

2.答卷前，務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題紙上.

3.使用答題紙時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰；超出答題

區(qū)書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

符合題目要求.

1.若集合人印=同，人沖則0j)

A.(XIO<T<1)B.｛巾“TC.(Vl°<t<2)D,｛VIOSX<2)

【答案】D

【解析】

【分析】分別求出集合48,求出交集即可.

【詳解】3小

X3-X-2<0^(X+1)(X-2)<0.-i<y<2

故3=卜卜

4c3=｛中Sx<?)

故選：D.

2.已知a,&eE,則“a>b”的一個(gè)充分不必要條件為()

11

—>一

A.a3>vB.Itia>In6c.baD,2*>2*

【答案】B

【解析】

【分析】利用充分條件、必要條件的定義，利用特殊值法判斷AC,利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域判斷

B,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷D即可.

【詳解】選項(xiàng)A：取a-T,6=1,滿足a'>6l但a>b不成立，A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性可知若Ina>】nb,貝g>b；若a>b,Mainb可能無(wú)意義，所以

山。>In6是二的充分不必要條件，B正確;

選項(xiàng)C：取a=6=1,滿足bK,但aJ不成立，c錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得若”＞y,則〕??；若；小，則丁＞二’》,所以券＞y是的充要

條件，D錯(cuò)誤；

故選：B

3.過(guò)點(diǎn)且與曲線】?二、'-二、十1相切的直線方程為（）

Av-.r-3=0B丫一『+3=0cx+】'+3=0DA+.r-3=0

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)表示出切線斜率，得到切線方程，代入切線過(guò)的點(diǎn)，求出未知數(shù)即可得到

方程.

［詳解］由?」=、一八討，則1=、『1

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為?%一兀+”,則切線的斜率上=3短-2,切線方程為

3

y-\-+1）=（3xe-2）（x-^）

由切線過(guò)點(diǎn)（0?31,代入切線方程解得％=T,則切線方程為.「-1=、+1,即1-1+?=0.

故選：B

4.米斗是古代官倉(cāng)、米行等用來(lái)稱量糧食的器具，鑒于其儲(chǔ)物功能以及吉祥富足的寓意，現(xiàn)今多在超市、

糧店等廣泛使用.如圖為一個(gè)正四棱臺(tái)形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形邊長(zhǎng)分別為Nhm、

21em,側(cè)棱長(zhǎng)為5而cm,若將該米斗盛滿大米（沿著上底面刮平后不溢出），設(shè)每立方分米的大米重

0$千克，則該米斗盛裝大米約（）

A.6.6千克B.68千克c.76千克D.78千克

【答案】c

【解析】

【分析】計(jì)算出米斗的高，進(jìn)而可求得出該米斗的體積，結(jié)合題意可求得該米豆所盛大米的質(zhì)量.

【詳解】設(shè)該正棱臺(tái)為其中上底面為正方形MCD,取截面』4C】C,如下圖所

示：

易知四邊形外℃為等腰梯形，且4c=30，4cL20c陷=。。1=5而,

分別過(guò)點(diǎn)4、‘,在平面MG。內(nèi)作4EUC,GFUC,垂足分別為點(diǎn)后、F,

由等腰梯形的幾何性質(zhì)可得“4=CC\,又因?yàn)殓?&=/qc*,4E4=/Cg=第

所以，匕一必石Rt一日送，所以，絲=匚2,

因?yàn)?c0,易知=ZA^EF■ZEFCX■ZX1c產(chǎn)=9(T

AE=CF=-=5V?

故四邊形4°1尸8為矩形，則EF=4cL

所以，4后=/陽(yáng)'-/=15,故該正四棱臺(tái)的高為15cm,

r=lx(203+30、720ax30J|X15=9500cm1

所以，該米斗的體積為3

所以，該米斗所盛大米的質(zhì)量為95”08=76kg.

故選：C.

ABC?=l(a>b

5.設(shè)4匕分別為橢圓b-的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，尸為。的右焦點(diǎn)，若F到直線48

的距離為b,則該橢圓的離心率為()

。?1廠V2-1

A.2B.V3-1C.2D,V2-1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到A8.P的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)式可得到直線,46的方程，結(jié)合點(diǎn)到直線

的距離公式和橢圓的離心率求解即可.

【詳解】由題意可得A一口力-8(°?),=(％0),

y-bx-0

所以直線45的方程/為0-b-a-C,整理得W-bx-&=0,

卜cb一聞cb+ab.

d=-/、、=b_____

所以尸到直線AB的距離JaW,所以—=亞+b'①,

又因?yàn)闄E圓中/=b'+C'②,

T士一

所以聯(lián)立①②③得%'+2-1=0,解得

6-1

又因?yàn)椤＃?，所以-2,

故選：A

6.勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作

一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒洛三角形中，已知.45:2,P為

弧HC上的點(diǎn)且N尸30=45。，則另而的值為（）

A.4-75B.4+75c.4-2"D.4+2VT

【答案】C

【解析】

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，3c為1軸，垂直于3C方向?yàn)镴,建立平面直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?PBC=45°,23=?,所以R28s45*「sm45'）,即尸（J5.J5）,

且反wea所以由向耳

所以至CP-2-272*2-4-2^,

故選:C.

7.過(guò)直線二i-J+l=°上一點(diǎn)P作圓（*一"'+】''=4的兩條切線尸4,PB,若?麗=0,則點(diǎn)產(chǎn)

的橫坐標(biāo)為（）

2±2土巫

A.0B.5C.5D.5

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可得，axCsiUBC,則1P4|=卜°|==，因|=JY+Y=28設(shè)

尸2；+L,由兩點(diǎn)間的距離公式代入解方程即可得出答案.

【詳解】如下圖，過(guò)直線上一】'+1=°上一點(diǎn)「作圓”一>‘+】'=4的兩條切線84,PB,

設(shè)圓心?、?連接PA1AC,PB1BC,

可得APAC占uPffC,PAPB^O,則4PC=4汽*=45°,

所以田平。口，所以因=677=2c

因?yàn)辄c(diǎn)尸在直線［一1,+1=°上，

所以設(shè)尸92+D,℃°1,

厲

/--------5-------------ra

四［JaT)+2+11=27：解得“=±丁

故選：D.

2x-y+\=0

-8sinx?--SxSO

(“八X)、：

\X~—\-/(X-/T|.X>O

8.已知定義在R上的函數(shù)一力W滿足：\為偶函數(shù)，且It;函數(shù)

g(>)=lgX+k〈ufUtr

-,則當(dāng)”九"1用■，函數(shù)''一&j’的所有零點(diǎn)之和為()

1JI

A、fXB.-6”c.2D.-3*

【答案】A

【解析】

_n

【分析】由題意畫出'I''g’門的圖象,由圖知,均關(guān)于“對(duì)稱，〃X)?g(X)有14

個(gè)交點(diǎn)，即可求出函數(shù)一「二的所有零點(diǎn)之和.

71

'fX)￥工'=-T

【詳解】因?yàn)?11為偶函數(shù)，所以',關(guān)于-對(duì)稱，

所以當(dāng)xefr.O)時(shí)，〃x)=-8smx,

半“曰0,萬(wàn)鬲A-^e(-x.O)/<-'>=-[-8sm(A-/ri]=4an.i

*xeixE)葉i-zelO.zi/<T)=1[4s.n(i-^l]=-2?nT

當(dāng)戈1工3*由r-^e|x.2xi/lT(=i[-2Sin(v-^i]=SlnT

m町，，-

T

當(dāng)、1-九0鬲[+*10,川C)=(l?8smiT+河=451nT

三口'」，，1f

g[jf=igT-r—.?I—

函數(shù)‘二為'二⑶、I的圖象向左平移二個(gè)單位,

門'|、即一的圖象如下圖所示,

_71

'一?"均關(guān)于二對(duì)稱，有14個(gè)交點(diǎn),

7.f-*x2]=-7"

所以函數(shù)J”11"0"的所有零點(diǎn)之和為：\-'^

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.如圖是某正方體的平面展開圖，則在該正方體中（）

B.3U：平面「；「一[

C.43與08所成角為60。D.-V與平面「所成角的正弦值為：

【答案】BC

【解析】

【分析】利用4三"二1即可判斷A,B選項(xiàng)，證明A'ICDI為正三角形即可判斷C,建立空間直角坐標(biāo)

系，利用空間向量法求出線面夾角的正弦值即可.

【詳解】將展開圖合成空間圖形如下圖并連接

V45/皿4R=皿ADIIBC.AD=BC,

■-AWBC，AD】=BC四邊形4交。為平行四邊形，-4即/。4,

若ABgD則CD/。。，顯然不成立，故A錯(cuò)誤，

：43〃。4,u平面ACE\,卡仁平面4cA,

43〃平面4c馬,故B正確，

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則*=5=8a="，故251cA為正三角形,

故一81cB=60*,而4B〃CZ\,48與CB所成角為6『，故c正確,

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,

則<(L(M))￡(0?L0)禺(LU),4(L0J)J(LL。)

則而=(TL0],麗布=(0,L-l|

m=0

g房二°,

=0

即1丫+二=。，令】，=1,則丫=1二=一1,則所-比11),

設(shè)與平面EC所成角為

51na=Icos何不=￡44=--2--s亞

?、I1ABV3xV23

則rlr^l'，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

n

10.已知函數(shù)'=”n、-accsraeRi的圖象關(guān)于直線一「對(duì)稱，則（）

A.'X）的最小正周期為2n

nn

B.?"M在1"3」上單調(diào)遞增

的圖象關(guān)于點(diǎn)（3°）對(duì)稱

f(x\

C.

2K

D.若〃xj+了（巧）=o,且，（*在（卬占）上無(wú)零點(diǎn),則N+引的最小值為T

【答案】ACD

【解析】

/（0）=|r-/（x）=Zsinfx--1x-IL

【分析】由'*v3y/解得a=/3,求出,I3人由T=2兀可判斷A；求出

/f-l=0

的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；計(jì)算W可判斷c；

JTC

%十.'」的最小值為3可判斷D.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/?76Ri的圖象關(guān)于直線,-J對(duì)稱,

對(duì)于A,丁二二兀，故A正確;

nKn2n.n

-T-.O

T2」上單調(diào)遞減，在

對(duì)于B,33」，所以,L,.,因?yàn)椤?/p>

X€--Tt.0_

二」上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤;

=0

對(duì)于c,，故C正確;

對(duì)于D,若〃小/㈤=。,貝產(chǎn)(/-6-務(wù)*

n.n.nn.

M_-=一孫+FAnx.~—=.x,+—+ri+Jht

可得33或者i33,kel,

2n,.5K

+-----l-<n為+1,=—+kAn

3或''3.kel,

22K

/*(x)=2cosJT-

且“的半周期為n,在上無(wú)零點(diǎn)，則"的最小值為3，故D正確.

故選：ACD.

11.已知a>0,b>0,且a+二b=l,貝ij()

A.8B,a22>+lc.sina2+25<1D.Ina-e':*<-l

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)均值不等式和常見的不等式放縮即可求解.

【詳解】a>0,b>o,且a+J)=l,

所以,故選項(xiàng)A正確;

+1之8+1

故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

要證una'+Xvl,

證sina'<1-26,

即證sina'<a,

由a>0,b>0,且a+%=l,知

所以/(a)=a-sina'>a3-?no3>0

故選項(xiàng)C正確；

要證Ina-e-J<-1,

即證kia+lvL,

因?yàn)镮n.I<A-1<A<A4-1<e',

所以Inn+Iwa三1r,

前后取得等號(hào)條件分別是a=0和a=1,

所以不同時(shí)取得等號(hào)，故D選項(xiàng)正確；

故選：ACD.

12.已知過(guò)拋物線「】二二二、焦點(diǎn)產(chǎn)的直線,交「于A3兩點(diǎn)，交「的準(zhǔn)線于點(diǎn)A/,其中百點(diǎn)在線段

AM±,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線，,的斜率為上，則()

A.當(dāng)I時(shí)，網(wǎng)=8B.當(dāng)上時(shí)，1則=網(wǎng)

C.存在先使得2。3=9。D.存在k使得乙4。3=】：!0?

【答案】ABD

【解析】

【分析】特殊值法分別令七=1和七=二七代入直線乙再由拋物線的定義，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)

I"1=玉+&+P,選項(xiàng)45得解，由=9ff,則瓦麗?斗：+J/?-0,聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定

…cOAOB1

8szlXOE=??=——

理,可判斷選項(xiàng)C,若一4。3=120',1°川I口司二，聯(lián)立方程組結(jié)合韋達(dá)定理,可判斷選

項(xiàng)D.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A.當(dāng)1時(shí),過(guò)拋物線/=4丁的焦點(diǎn)熱；①的直線方程為:「=TT,設(shè)該直線與

拋物線交于"2/，“(兩點(diǎn)，

\y-x-l

聯(lián)立方程組卜,=4v,整理可得：--6丁+1=0,則■+與=6,

由拋物線的定義：1"卜人+*，+2="2=8,故人正確.

對(duì)于選項(xiàng)B.當(dāng)上=入萬(wàn)時(shí),過(guò)拋物線丁=4*的焦點(diǎn)F(l,0)的直線方程為：F=-V3(x-1)設(shè)該直線

與拋物線交于4%㈤,8(三必)兩點(diǎn)，

產(chǎn)班(x-D」_5

聯(lián)立方程組1丁=4"，整理可得：2『-5x+2=0,則"一2,則'+'一三，

^4(2.2^),51^.―V2J|A5|=x.4-Xj+p=—+2<—,

所以<-A由拋物線的定義：-

又因?yàn)橹本€"LL”與拋物線的準(zhǔn)線、=-1交于點(diǎn)M(-I氏，

|5jl/|=~1——1+(-4>/2+^)5=—

則I1VI”2,即|3陽(yáng)=1加1,故B正確.

對(duì)于選項(xiàng)C.設(shè)過(guò)拋物線』=4'的焦點(diǎn)尸’二°1的直線方程為:Kt-D與拋物線交于

y=*（x-i）

內(nèi)兩點(diǎn)，聯(lián)立方程組l-=4x，整理可得：

.41

上'『-（狼'+4,+犬=0,則八+巧=~+乒’"'尸

..田…）5-1）=叩內(nèi)-（A+x,）+l］"'g?E+［「

使得

所以，田+.3、=>4=-3.若ZA0B-9（T,則?OB-vv+,rj--0故不存在左，

2^4。3=”故（：不正確.

對(duì)于選項(xiàng)D.設(shè)過(guò)拋物線廠=」、的焦點(diǎn)熱；°）的直線方程為：J=*一與拋物線交于

A兩點(diǎn)，

>=i（x-l）4

聯(lián)立方程組tr'=4x，整理可得：Kl"'+41f=°則/""一~+乃小一］

..=皈-1）（匕-1）"'卬,-（'+鏟『/卜24討卜7

…cOAOB1

7TT777-COlZAOB??-----——

若4。3=】20?，因?yàn)閍08=》的+.\必=7\OA\\OB\2^\0A\\0B\=6

則（W+F；）（xt+*）=36即：（xj+4xJ（xJ+4x,）=36可得出（>4）（弓+4）=",

xiFix+4（i+x）+16~|-36"（1+8+捺+16）=36=—±=±±叵

即："bl?/+4（A+-4）+1?！?，。，則krJ，解得：11,解得：11.

故存在k使得JOB=U0?，故D正確；

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與直線方程的位置關(guān)系，解方程組，焦點(diǎn)弦的應(yīng)用，對(duì)與本題，運(yùn)算能力，數(shù)

形結(jié)合思想是關(guān)鍵，屬于較難題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

11

一"F—二

13.已知”=1=6,則ab.

【答案】1

【解析】

【分析】

可得到答案。

首先利用指數(shù)和對(duì)數(shù)互化得到。=l°g：6,&=lcg,6；再利用換地公式即

［詳解］由y=y=6可知a=kg16,6=】ogj6,

—+-=log.2+log3=log6=1

所以ab44.

故答案為：1

14.已知向量a=（'m色C8,），%若￡〃￡貝|山/夕+虱112￡的值為.

【答案於

【解析】

.J_.__sm'8+2sinecos6

.八一下sin0+sin%=-----：-------：----

【分析】根據(jù)題目條件可得s】nr=，c88,代入”「二+9二化簡(jiǎn)即可.

【詳解】已知向量°=（M色8s5）,“（3J）,若;b,則有$1n6=3co$6,

??eqfin'S+tanfcosS9cos2^+6cos36153

nn1s-----------<1-=-=一

:.乳n'G+co/e98/0+co/5102.

故答案為：2

15.“0,1數(shù)列”是每一項(xiàng)均為?；?的數(shù)列，在通信技術(shù)中應(yīng)用廣泛.設(shè)A是一個(gè)“0,1數(shù)列”，定義數(shù)列

'4I數(shù)列A中每個(gè)0都變?yōu)椤?,0,1”，A中每個(gè)1都變?yōu)椤?,1,0”，所得到的新數(shù)歹!J.例如數(shù)列

A：1,0,則數(shù)列J'T'：0,1,0,1,0,1.已知數(shù)列4：1,0,1,0,1,記數(shù)列4u=〃4）,

七?L2,3,則數(shù)列&的所有項(xiàng)之和為.

【答案】67

【解析】

【分析】根據(jù)題意，依次討論4，'與-14中o與1的個(gè)數(shù)，從而得解.

【詳解】依題意，可知經(jīng)過(guò)一次變換'1每個(gè)1變成3項(xiàng)，其中2個(gè)0,1個(gè)1；每個(gè)。變成3

項(xiàng)，其中2個(gè)1,1個(gè)0,

因?yàn)閿?shù)列4：1,0,1,0,1,共有5項(xiàng)，3個(gè)1,2個(gè)0,

所以為=力41有5x3項(xiàng)，3個(gè)1變?yōu)?個(gè)0,3個(gè)1；2個(gè)0變?yōu)?個(gè)1,2個(gè)0；故數(shù)列,中有7個(gè)

1,8個(gè)0；

A=J'4I有5K3’項(xiàng)，7個(gè)1變?yōu)?4個(gè)0,7個(gè)1；8個(gè)0變?yōu)?6個(gè)1,8個(gè)0；故數(shù)列4中有23個(gè)

1,22個(gè)0；

4=J有5小項(xiàng)，23個(gè)1變’46個(gè)0,23個(gè)1；22個(gè)0變?yōu)?4個(gè)1,22個(gè)0；故數(shù)列4中有67

個(gè)1,68個(gè)0；

所以數(shù)列4的所有項(xiàng)之和為67.

故答案為：67.

16.在直四棱柱-如8一44401中，底面加CD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱陷=2,“為側(cè)棱竭

的中點(diǎn)，N■在側(cè)面矩形Q4房?jī)?nèi)(異于點(diǎn)為)，則三棱錐"-'仁為體積的最大值為.

1

【答案】~##1-1

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式，結(jié)合三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

C(0.1.0),M(l.Ll)，A(0.0.-XMx.0.c)(0<.r<1.0<:<2)

且)=。和二=:不同時(shí)成立，

示=(L0.1).西=(0-1.2),j^=(-l-lD

因以洞=￡函卜叔甌卜力

所以有CM+回=再，

所以是直角三角形，于是

設(shè)平面的法向量為"=(』-】>」，

fnCM=0］\+7=0

因此有「西=。="+Z=0,

取n=T,則】i=??二］=1,則萬(wàn)=(-L?J)

初］=(-x,0」■二)，設(shè)點(diǎn)加到平面的距離為，

p_2_.一:1.2^=1一1+R

三棱錐”?成4體積為376

因?yàn)镺GSl.OkC,

所以當(dāng)*=1二=°時(shí)，廠有最大值，顯然滿足1=0和二=?不同時(shí)成立,

r=3二

即262,

1

故答案為：T

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用空間點(diǎn)到平面距離公式是解題的關(guān)鍵.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.在d鉆C中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a二05。+csm月=5.

(1)求A；

(2)4D==。'「，BD=3,求▲”「面積的最大值.

【答案】(1)

27(0+1|

(2)

【解析】

【分析】(1)由a：csC+「sin/l-5,利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式，得到

5】nHs】n(7=cosAsinC求解.

9匕+吁

JDjn<\/

(2)利用余弦定理結(jié)合基本不等式得到‘‘一二，再利用三角形面積公式求解.

【小問(wèn)1詳解】

解：由正弦定理可得sin,4cosC+SLI:,4sin「=snB,

因?yàn)?4+3+。=i,

所以sinAcosC+sinj4￡in。=sm(Z+Ci

即nni4cosc+sin4sin。=sin^4cosC+cosA^nC,

整理得：sin^sjuC=cos^sinC,

因?yàn)镺vCvir,所以smCxO,

所以tan月=1,

因?yàn)?<4〈兀，所以

【小問(wèn)2詳解】

在iHAD中，由余弦定理得：BD2-AB2+AD1-2ABADcosA,

9=AB2+AD3->f2ABAD>{2~^\ABAD

即

9（2+7：）

ABAD<-----------

整理得-，當(dāng)且僅當(dāng)45=時(shí)，等號(hào)成立，

c1nyF9（72+1）

S_4U>=ADsin-=—AflAD0.‘.

所以2444

因?yàn)椋?二皮，

S_3s/7（8+1）

所以$叩=券皿4—―

所以-ABC面積的最大值為8.

18.已知數(shù)列和〔3｝的各項(xiàng)均不為零，是數(shù)列［2：的前〃項(xiàng)和，且4==44.1=1S.,

/b.=bi,巾，”N*.

（i）求數(shù)列1°J和8」的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)G=a.i,求數(shù)列〔J；的前〃項(xiàng)和丁.

【答案】（1）4=">

（2）4=5-1卜2+2

【解析】

［分析］⑴由44.1=」工，得出數(shù)列14；的特征求出通項(xiàng)，由“，”=憶.，得出數(shù)列傳J的特征

求出通項(xiàng)公式.

（2）由數(shù)列"J的特征，運(yùn)用錯(cuò)位相減法求前〃項(xiàng)和丁,

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?答'”?N*1,所以a?u4=二刀211,

兩式相減得“”&=況⑴二?,

又因?yàn)?工0,所以4“-4-1=、〃之>,

所以數(shù)列1°不】；和l"工;都是以2為公差的等差數(shù)列.

因?yàn)?】=?,所以在=2S.中，令〃=］,得a=2,

所以與?-尸1+2（"-】）=%-1%=2+（”-1）x2=%

所以4=".

bp、^*

且=0,所以“一一,

對(duì)于數(shù)列⑷，因?yàn)椤?4b,=2bu?

(h\h_2

所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以公-一.

【小問(wèn)2詳解】

由G=a*Z="T,

有7；=1X?+?XY+3K：!.+nx2'

27；=lx23+2x2J+3x24+...+(M-l)x2a+flx2**1

-T=2+2,4-+2--?X2B41=^---?x2**,=-2-(?-1)x2-*1

兩式相減得，1-2,

所以彳?(I)x尸+2

19.如圖，-450是以8(;為斜邊的等腰直角三角形，一3CD是等邊三角形，

(1)求證：5CX.W；

(2)求平面*上口與平面5CD夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

3y/93

(2)~1}~.

【解析】

【分析】(1)取BC中點(diǎn)0,在與二BCD中分別得到。4_LBC,OD±BC,根據(jù)線面垂直

的判定定理及性質(zhì)定理即可證明；

(2)在一*中，利用余弦定理可得乙400=150°,以5彳，而及過(guò)。點(diǎn)垂直于平面/BC的方向

為x,F,二軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系°一單二，求出兩個(gè)平面的法向量即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

取BC中點(diǎn)。，連接。4,OD,

因?yàn)閍45c是以3C為斜邊的等腰直角三角形，所以Q4_L30.

因?yàn)橐?(7D是等邊三角形，所以001BC.

OAC\OD=O;aiu平面/0Q,00U平面＜8,

所以BC/平面40D.

因?yàn)?0u平面工8,故

【小問(wèn)2詳解】

在一一4二二中，HO=l,0D=y/3,AD-ofi,由余弦定理可得,

c—乎,故9=150。.

如圖，以。4,03及過(guò)0點(diǎn)垂直于平面A3C的方向?yàn)镴',二軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系

0y

(工行、

D--,0.—BDIT⑹一一

2*>2)C5=(0.2.0)二=(TL0)

可得I-所以

諼■=（二/為平面45P的一個(gè)法向量，

f—卜％+必=°

了/23百八

則卜而叫即卜斗—+于廣0,

令"點(diǎn)可戶（點(diǎn)局）

設(shè)加=（當(dāng),斯二，?為平面38的一個(gè)法向量，

一[-v3=0

於屈=。-3百

則〔而55=。，即卜5'「"+~F',

令獷-，可得二二的也3）

/-3+0+153J93

cos（n,m）=-=_==----

所以''7^x71231,

3屆

故平面與平面BCD夾角的余弦值為31

20.某工廠擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米），其中容器的上端為半球形，下部為圓柱

160萬(wàn)

形，該容器的體積為3'立方米,且7之6尸.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分

側(cè)面的建造費(fèi)用為每平方米2.25千元，半球形部分以及圓柱底面每平方米建造費(fèi)用為用~2-51千元.

設(shè)該容器的建造費(fèi)用為J'千元.

(1)寫出」關(guān)于，的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域;

(2)求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r.

一八）2404

"（加-1）/+------------

【答案】（1）'r,0<r<2(2)見解析

【解析】

【分析】(1)由圓柱和球的體積的表達(dá)式，得到和r的關(guān)系.再由圓柱和球的表面積公式建立關(guān)系式，將

表達(dá)式中的，用r表示，并注意到寫定義域時(shí)，利用『之丁，求出自變量r的范圍.

(2)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決，注意到定義域的限制，在區(qū)間(°二］中，極值末必存在，將極值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)和在區(qū)

間外進(jìn)行分類討論.

【小問(wèn)1詳解】

“「=XT'/十二“'

設(shè)該容器的體積為【，則

“160,1602

V=XI=,一.

又3,所以

因?yàn)樗?<rS2.

9

所以建造費(fèi)用’4

加加-17+也八、

因此-r,0<r<2,

【小問(wèn)2詳解】

vr=6x（m-l）r-^^

由（1）得廠

m>l3

由于4,所以E-1>0,令

若陪弋，即；?口，當(dāng)

1時(shí)，了<°為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，

>>0,w)為增函數(shù)，此時(shí)‘-勺加一】為函數(shù)"e的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).

若即當(dāng)rc（°「］時(shí)，r'<0,為減函數(shù)，止匕時(shí)r=）是的最小值

點(diǎn).

-<m<6r=

綜上所述，當(dāng)4時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)，,=2；當(dāng)1”>6時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí).

x3yJ

C:-j■—1（a>Qb>0|r-

21.已知雙曲線a'枕的焦距為-05,A,B為c的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)尸為C上異

A*4/=T

于A,E的任意一點(diǎn)，滿足4.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過(guò)C的右焦點(diǎn)尸且斜率不為0的直線，交C于兩點(diǎn)”，N,在1軸上是否存在一定點(diǎn)D,使得

DMDN為定值？若存在，求定點(diǎn)。的坐標(biāo)和相應(yīng)的定值；若不存在，說(shuō)明理由.

1

X31

-----y-1

【答案】（1）4,

d芷,。1___11

（2）存在定點(diǎn)1s）,使得DMDN為定值64

【解析】

k,k=19=1________

【分析】（1）根據(jù)"飛'一*可得結(jié)合c=相即可求解；（2）利用韋達(dá)定理表示出DN即

可求解.

【小問(wèn)1詳解】

kj.,.n-oy.ri-o_

設(shè)4(?a.O),5(a.O)產(chǎn)則?Xj+av/-a14

又因?yàn)辄c(diǎn)尸Cr在雙曲線上，所以7V

W=、；-4=%-從T.