2023年安徽省合肥市包河區(qū)中考一模數(shù)學試卷（含答案與解析）

2023年安徽省合肥市包河區(qū)中考一模試卷

數(shù)學

注意事項：

1.你拿到的試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘。

2.本試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分?！霸囶}卷”共4頁，“答題卷”共6頁。

3.請務必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題是無效的。

4.考試結束后，請將“試題卷”和“答題卷”一并交回。

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A、B、C、D四個

選項，其中只有一個是符合題目要求的.

I.在一3,2,0,2這四個數(shù)中，比一2小的數(shù)是（）

A.-3B.--C.0D.2

2

2.新的課程標準規(guī)定，學生在初中階段課外閱讀總量不少于260萬字，每年閱讀兩、三篇名著.數(shù)據(jù)260

萬用科學記數(shù)法表示為（)

A.2.6×102B.2.6×IO5C.2.6×IO6D.0.26×IO7

3.下列計算正確是（)

22

A.2a÷a=2B.2a-2a=2a2C.3a—a=2D.(2a)=26z

4.如圖，該幾何體的俯視圖是（）

Ar

5.已知I,ADBE,AB=BC,ZDAC=40°,NCBE=I5°,則NS4C=()

用

A65oB.60oC.45oD.55o

6.隨著國產(chǎn)芯片自主研發(fā)的突破，某種型號芯片的價格經(jīng)過兩次降價，由原來每片4元下降到每片b元,

已知第一次下降了10%,第二次下降了20%,則。與6滿足的數(shù)量關系是()

A.8="(l-10%—20%)B.Z7=a(l-10%)(l-20%)

C,α=Nl+10%+20%)D,Λ=∕>(1+10%)(1+20%)

7.如圖，在矩形ABCQ中，AB=10,BC=12,點E是Co中點，連接AE，作8尸_LAE于凡則

R7的長為()

8.如圖，一個圓盤被平均分成A,B,C,。四個區(qū)域，向圓盤隨機投擲飛鏢，飛鏢落在四個區(qū)域的機會均

等，飛鏢落在圓盤外的不計，連續(xù)兩次投擲，落在同一區(qū)域的概率是()

9.己知實數(shù)α,匕滿足：aaab=c，ab+b2=c+5,則下列結論不正確的是()

A.2c+5≥0B./-z√為定值c.a≠±hD.->1

a

10.如圖，已知線段AB=6，點P為線段AB上一動點，以PB為邊作等邊^(qū)PBC,以PC為直角邊，ZCPE

為直角，在,PBC同側構造PCE,點M為EC中點，連接A"，則AM的最小值為()

A/

A.1B.2√3C.3D.6

二、填空題(本大題共4小題)

11.化簡癇的結果是.

12.如圖，點4是雙曲線y=?(x>0)上的動點，過點A作X軸的平行線交雙曲線》=一于點8,作

XX

ACJ_%軸于點C,連接8C,若四邊形。鉆。為平行四邊形，則攵的值是.

13.如圖，點A,B,C是。。的上點，NAOB=108°,OA//BC,若。。的半徑為5,則AC的長是

14.已知拋物線y=χ2-2CZX+α2+2α(α>0).

(1)若a=l,拋物線的頂點坐標為一；

(2)直線X=機與直線y=2x—2交于點P,與拋物線y=/—20x+α2+2α交于點Q.若當加<3時,

尸Q的長度隨，"的增大而減小，則”的取值范圍是—.

三、解答題(本大題共9小題)

/1

15.計算：卜3|+--√8×√2.

\2√

16.如圖，在邊長為1個單位長度的正方形網(wǎng)格中，給出了以格點(網(wǎng)格線的交點)為頂點的ABC和過

點A的直線/.

(I)畫出&A3C關于直線/對稱的VADE,使點B與O,C與E為對稱點.

(2)以。為旋轉中心，將VAr)E順時針旋轉90。得到CGFD,使點E與F,A與G為對稱點，畫出

GFD，寫出由CABC通過一種變換得到.GEe)的方法.

17.安徽省加快“縣城通高速”步伐，實現(xiàn)了高速公路“縣縣通”，有力促進縣域經(jīng)濟的發(fā)展.僅去年一

年就通過新建或擴建開通的高速公路共519公里，其中新建高速公路的長度是擴建的2倍少45公里，求去

年新建和擴建高速公路各多少公里？

18.觀察以下等式：

第1個等式：=1,

22

14+41

第2個等式：Ix-=

233

第3個等式：葭9+61,

-----------=1,

344

116+81,

第4個等式：一X

455

125+101,

第5個等式：一X

566

按照以上規(guī)律.解決下列問題：

(1)寫出第6個等式：；

(2)寫出你猜想的第〃個等式(用含"的式子表示)，并證明.

19.數(shù)學測繪社團欲測算平臺。8上旗桿的拉繩AC的長.從旗桿AB的頂端A拉直繩子，繩子末端正好

與斜坡CO的底部C重合，此時拉繩AC與水平線CN所成的夾角NACN=53°,已知斜坡CO的高

DN=4米，坡比為1:2.5(即ON:CN=1:2.5),DB=6米，求拉繩AC的長.(結果保留1位小數(shù),

參考數(shù)據(jù)：sin53o≈0.80,cos53o≈0.60,tan53o≈1.33)

A

20.如圖，AB是：O的直徑，C。是（。的一條弦，43,8于點用，連接。。.

（1）若NO/）B=54。，求/BAC的度數(shù)；

（2）AC,08的延長線相交于點F，CE是0。的切線，交BF于點E,若CELDF,求證:

AC^CD.

21.某校為了解本校學生“上周內(nèi)做家務勞動所用的時間”（簡稱“勞動時間”）情況，在本校隨機調(diào)查

了部分學生的“勞動時間”，并進行統(tǒng)計，繪制了如下統(tǒng)計表和條形統(tǒng)計圖：

組別“勞動時間”〃分鐘頻數(shù)頻率組內(nèi)學生的平均“勞動時間”1分鐘

Ar<6040.150

B60≤z<90ab75

04

C90<f<120c105

DZ≥12014d150

根據(jù)上述信息，解答下列問題:

（I）C=,d=,并補全條形統(tǒng)計圖；

（2）被調(diào)查學生的“勞動時間”的中位數(shù)落在組，并求出這些學生的平均“勞動時間”；

（3）若該校有1200名學生，請估計在該校學生中，“勞動時間”不少于90分鐘的人數(shù).

22.某快餐店給顧客提供A,8兩種套餐.套餐A每份利潤8元，每天能賣90份；套餐B每份利潤10元，

每天能賣70份.若每份套餐A價格提高1元，每天少賣出4份；每份套餐B價格提高1元，每天少賣出2

份.（注：兩種套餐的成本不變）

（1）若每份套餐價格提高了X元，求銷售套餐A，B每天的總利潤必元，4元與X之間的函數(shù)關系式；

（2）物件部門規(guī)定這兩種套餐提高的價格之和為10元，問套餐4提高多少元時，這兩種套餐每天利潤之

和最大？

23.如圖1,AB^AC=2CD,DC//AB,將.ACD繞點。逆時針旋轉得到△人?￡,使點。落在

AC的點E處，AB與C尸相交于點。，AB與EE相交于點G,連接jβF?

(2)求證：AC//FB-.

若點。，E，廠在同一條直線上，如圖2,求理的值.（溫馨提示：請用簡潔的方式表示角）

(3)

BC

參考答案

一、選擇題（本大題共10小題）

?

1.在一3,2,0,2這四個數(shù)中，比一2小的數(shù)是（）

A.-3B.——C.0D.2

2

【答案】A

【解析】

【分析】先根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則比較大小，再選出即可.

詳解】解：-3<-2<-5<O<2，

.?.比—2小的數(shù)是—3,

故選：A.

【點睛】本題考查了有理數(shù)的大小比較的應用，主要考查學生的比較能力，注意：正數(shù)都大于0,負數(shù)都

小于0,正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較大小，其絕對值大的反而小.

2.新的課程標準規(guī)定，學生在初中階段課外閱讀總量不少于260萬字，每年閱讀兩、三篇名著.數(shù)據(jù)260

萬用科學記數(shù)法表示為（）

A.2.6×102B.2.6×105C.2.6×IO6D.0.26×lO7

【答案】C

【解析】

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為αX10"的形式，其中1≤忖<10,n為整數(shù).確定〃的值時，要看把

原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值≥10時，〃是正

數(shù)；當原數(shù)的絕對值<1時，〃是負數(shù).

【詳解】解：260萬用科學記數(shù)法表示為2.6x106,

故選：C.

【點睛】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為αχ10〃的形式，其中

1≤忖<10,〃為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定。的值以及〃的值.

3.下列計算正確的是（）

A.1a÷a—2B.2a?2a=2a2C.3a—a—2D.（20）'—2cΓ

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用整式的加減運算法則計算得出答案.

【詳解】A、24÷a=2,故此選項正確.

B、2α?20=4/,故此選項錯誤.

C、3a-a=2a,故此選項錯誤.

D、（2α）2=4/,故此選項錯誤.

故選：A.

【點睛】本題考查了整式的混合運算，熟練掌握其運算法則是解題的關鍵.

4.如圖，該幾何體的俯視圖是（）

ZE方優(yōu)

A.

【答案】C

【解析】

【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現(xiàn)在俯視圖中.

【詳解】解：觀察圖形可知，該幾何體的俯視圖是：

故選：C.

【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖的知識，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖.

5.已知，ADBE,AB=BC,ZDAC=40°,NCBE=I5°,則NBAC=()

A.65oB.60oC.45oD.55°

【答案】D

【解析】

【分析】過點C作CF〃AD,則A由平行線的性質(zhì)可知，NZXC=NAb=40°,

NCBE=NBCF=I50,進而可得NAeB=55°,根據(jù)等邊對等角可得NACB=NR4C=55°.

【詳解】解：過點C作CF〃AD，則A戶，

VADAC=AOo,/CBE=15°,AD//BE//CF,

：.ZDAC=NAcF=40。，NCBE=NBCF=15°,

則ZACB=ZACF+NBCF=55o，

又,：AB=BC,

.??ZACB=ZBAC=55°,

故選：D.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，過點。作CF〃AD是解決問題的關鍵.

6.隨著國產(chǎn)芯片自主研發(fā)的突破，某種型號芯片的價格經(jīng)過兩次降價，由原來每片α元下降到每片6元，

已知第一次下降了10%,第二次下降了20%,則α與6滿足的數(shù)量關系是()

A.8="(l-10%—20%)B.Zj=α(l-10%)(l-20%)

C.a=Z?(l+10%+20%)D,。=可1+10%)。+20%)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意用含“的代數(shù)式表示出第一次降價后的價格和第二次降價后的價格，令第二次降價后的

價格為人，進而可得答案.

【詳解】解：由題意知，第一次降價后的價格為α(l-10%),第二次降價后的價格為

α(l-10%)(l-20%),

.?.b=α(l-10%)(l-20%),

故答案為：B.

【點睛】本題考查了列代數(shù)式.解題的關鍵在于表示降價后的價格.

7.如圖，在矩形ABC。中，AB=10,BC=I2,點￡是8中點，連接AE,作即J_AE于凡則

BF的長為()

D

【答案】D

【解析】

【詳解】解：如圖，連接BE?

四邊形ABC。是矩形，

ΛAB=CD=W,BC=AD=?2,ID90?,

：點E是CO中點，

.?.DE=-CD=5,

2

在RtAADE中，AE=?∣AD2+DE2=√122+52=13>

*,^ΔABE2S矩形AECO2X1°X122A^iBF60,

.OΓ.120

13

故選：D.

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積公式等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解

決問題，學會用面積法解決有關線段問題，屬于中考常考題型.

8.如圖，一個圓盤被平均分成A,B,C,。四個區(qū)域，向圓盤隨機投擲飛鏢，飛鏢落在四個區(qū)域的機會均

等，飛鏢落在圓盤外的不計，連續(xù)兩次投擲，落在同一區(qū)域的概率是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意列表格，然后進行求解即可.

【詳解】解：由題意列表格如下：

ABCD

A(A,A)(A,B)(A,C)(A,D)

B(8,A)(8,B)(B,C)(8,D)

C(C,A)(C,B)(C,C)(C,D)

D(￡>,A)(D,B)(D,C)(D,D)

由表格可知，連續(xù)投擲兩次共有16種等可能的結果，其中兩次投擲，落在同一區(qū)域共有4種等可能的結

果，

41

兩次投擲，落在同一區(qū)域的概率為

164

故選：C.

【點睛】本題考查了列表法求概率.解題的關鍵在于根據(jù)題意正確的列表格.

9.已知實數(shù)α,b滿足：a1+ab-c?ah+b2=c+5>則下列結論不正確的是()

A.2c+5>0B.Y-"為定值c.a≠±bD.->1

a

【答案】D

【解析】

22

【分析】由4+皿=c,肪+/=0+5,兩式相加可得2c+5=(。+4≥0,兩式相減可得a-b=-5^

由此變形判斷即可.

【詳解】解：?.?/°,ab+b1=c+5?

.*.c+c+5=c∕+ah+ah+b1=(α+h)",

即：2c+5=(α+力120,故A正確；

(/+ab)-(ah+人2)—c-(C+5)=-5,

22

BIJ：a-h=-5f故B正確；

貝∣j(α+O)(Q—。)二一5,

?a+b≠O,a-b≠O,

:,a≠-b,aλb,即：0≠±b,故C正確；

???。2一〃2二一5<0，

?>?a2<h2

當。=。時，bλ=5，

當“≠0時，1<耳，即：W>1,則2〉1或2<—1,故D不正確；

a?a）aa

故選：D.

【點睛】本題考查完全完全平方公式和平方差公式，牢記完全完全平方公式和平方差公式是解決問題的關

鍵.還考查了不等式的基本性質(zhì).

10.如圖，已知線段AB=6,點P為線段AB上一動點，以心為邊作等邊LPBC,以PC為直角邊，乙CPE

為直角，在.PBC同側構造RjPCE,點M為EC的中點，連接AΛ∕,則AM的最小值為（）

A.1B.2√3C.3D.6

【答案】C

【解析】

【分析】取CP中點N,連接MN,BN,由中位線和等邊三角形的性質(zhì)可知M,N,B在同一直線

上，過點A作AELBN,交于點尸，連接E例，由點與直線上所連線段，垂線段最短可求得AM的最

小值為3.

【詳解】解：取CP中點N,連接的V,BN,

：點M為EC的中點，點N為CP的中點，

C.MN//EP,

?/NCPE=90。，

.?.ZMNC=ZCPE=90°,

又YPBC為等邊三角形，點N為CP的中點，

ZABC=60°,BNLCP,BN平分/ABC,

則ZMNC=ZBNC=90o,NPBN=-ZABC=30°,

2

?,.M,N,B在同一直線上，

即：點M在直線BN,

過點A作AR_LRV,交于點/，連接RW，

貝IJAF=ΛB?sinZABN=AB-sin300=3,

由點與直線上所連線段，垂線段最短可得：AM≥AF=3,

即：A/W的最小值為3；

故選：C.

【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，解直角三角形，添加輔助線得到M,N,B在同

一直線上是解決問題的關鍵.

二、填空題(本大題共4小題)

11.化簡癇的結果是.

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)立方根的性質(zhì)計算即可.

【詳解】解：√64=4.

故答案為：4.

【點睛】本題考查了立方根的性質(zhì)，正數(shù)的立方根為正數(shù)，負數(shù)的立方根為負數(shù)，O的立方根為0,熟記

立方根的性質(zhì)是解題的關鍵.

6k

12.如圖，點4是雙曲線y=-(x>0)上的動點，過點A作X軸的平行線交雙曲線y=一于點8,作

XX

4。_1》軸于點。，連接8C,若四邊形Q45C為平行四邊形，則k的值是.

【答案】12

【解析】

【分析】延長AB交y軸于點過B作BELX軸，結合反比例函數(shù)我的幾何意義即可得到答案;

【詳解】解：延長AB交y軸于點。，過B作BELLx軸，

點A是雙曲線y=—(x>0),AclJ-X軸，

?"?Soac=5=3'S四邊形0ZMC=6，

Y四邊形Q48C為平行四邊形，

?,?SACB=3，

VBE.LxBELLX軸，ABX軸，

?'?S四邊形ACE8=2Sacb-6,

；點8在y=&上，

X

?"?S四邊形ACEB=6=S四邊形”!BE-S四邊形ODAC=k-6,

解得：攵=12,

故答案12；

【點睛】本題考查反比函數(shù)%的幾何意義，解題的關鍵是根據(jù)平行四邊形對角線將四邊形分成兩個全等的

三角形得到面積.

13.如圖，點A,B,C是?0的上點，NAQB=IO8°,OA//BC,若。。的半徑為5,則AC的長是

【答案】2兀

【解析】

【分析】由題意可得NA=NO84=36°,由O4〃BC,可得NA=NABC=36°,ZAOC=NOCB,進

而可得NOBC=NOBA+NABC=72。，NoCB=NoBC=72°,NAoC=NoCB=72。，再結合弧長

公式即可求解.

【詳解】解：：NAOB=108°,OA=OB,

1

ZA=ZOBA—×(180。-NAoB)=36。

2

,/OA//BC,

ΛZA=ZABC=36o,ZAOC=ZOCB

ZOBC=ZOBA+ZABC=72°,

?.?OC=OB,

：./OCB=/OBC=TT,

：.ZAoC=NoC3=72。，

72

；?AC1的長為：'一■乃x5=2萬，

180

故答案為：2〃.

【點睛】本題考查求弧長，平行線的性質(zhì)及利用等邊對等角求角度，熟練掌握相關性質(zhì)是解決問題的關

鍵.

14.已知拋物線y=X2-Zczx+/+2α(α>0).

(1)若a=l,拋物線的頂點坐標為一；

(2)直線x=m與直線y=2x—2交于點P,與拋物線y=V—2儀+〃+2〃交于點。.若當機<3時，

PQ的長度隨m的增大而減小，則a的取值范圍是—.

【答案】①.(1,2)(2).a≥2

【解析】

【分析】(1)將解析式轉化成頂點式即可求解；

(2)將x=，"代入解析式，求得點P,點。的坐標，求得y.=(α-加+1『+1>0,可知點Q恒在點

P上方，可得PQ=為—％=[，/—(〃+1甘+1,由當加<3時，尸。的長度隨m的增大而減小，可知α+l≥3,

即可求得”的取值范圍.

【詳解】解：(1)y-X2-2ax+a^+2a-^x-ay+2a,

當α=l時，y=(%-l)2+2,

.?.頂點坐標為：(1,2)；

(2)當X=，”時，yp=2m-2,則點尸的坐標為(加,2加一2),

22

yQ=m-2am+CT+Ia,則點Q的坐標為(利,加？-2am+a+2。),

22

yQ—yP-m-2am+a+20-(2m—2)=(α-m)^+2(α-機)+2=(〃-m+?y÷1>0,

???點。恒在點尸上方，

,

??PQ=yQ-yP=[w-(α+ι)]^+1

可得：當m<α+l時，PQ長度的隨著加增大而減小，

?；當相<3時，PQ的長度隨機的增大而減小，

a+l≥3,

解得:Q≥2;

故答案為：（1,2）；a≥2.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，求出點P,點。的坐標，表示出PQ長度將其轉化為頂點式是解決

問題的關鍵.

三、解答題（本大題共9小題）

15.計算：|-3|+0-√8×λ^.

【答案】O

【解析】

【分析】根據(jù)絕對值的意義、零指數(shù)幕、根式的化簡直接運算即可得到答案

【詳解】卜3|+!-√8×√2

=3+l-√Iβ

=4-4

=O

【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，熟練掌握其運算法則是解題的關鍵.

16.如圖，在邊長為1個單位長度的正方形網(wǎng)格中，給出了以格點（網(wǎng)格線的交點）為頂點的.ABC和過

（1）畫出“LBC關于直線/對稱的VAr>E,使點B與。，C與E為對稱點.

（2）以。為旋轉中心，將VAZ）E順時針旋轉90。得到UGFD,使點E與F,A與G為對稱點，畫出

_GFD,寫出由CABC通過一種變換得到LGFD的方法.

【答案】（1）作圖見解析

（2）作圖見解析，將ABC向右平移2個單位長度，再向上平移4個單位長度，即可得到-GFD

【解析】

【分析】（1）利用網(wǎng)格特點，分別作出點5、C關于直線/對稱點再連接即可；

（2）利用網(wǎng)格特點和旋轉的性質(zhì)畫出A、E的對應點G、F再連接即可，通過觀察點的位置變化，結合

平移變換的規(guī)律即可確定變換方法?

【小問1詳解】

解：如圖所示，VAZ)E即為所求；

如圖所示，GFD即為所求，

將，ABC向右平移2個單位長度，再向上平移4個單位長度，即可得到LGH>.

【點睛】本題考查了基本作圖：軸對稱，旋轉以及平移變換.熟練掌握軸對稱、旋轉和平移的性質(zhì)是解題

的關鍵.

17.安徽省加快“縣城通高速”步伐，實現(xiàn)了高速公路“縣縣通”，有力促進縣域經(jīng)濟的發(fā)展.僅去年一

年就通過新建或擴建開通的高速公路共519公里，其中新建高速公路的長度是擴建的2倍少45公里，求去

年新建和擴建高速公路各多少公里？

【答案】去年新建高速公路331公里，擴建高速公路188公里

【解析】

【分析】設擴建高速公路為X公里，則新建的高速公路為(2x-45)公里，由題意得，

x+(2x-45)=519,求解X的值，進而可得結果.

【詳解】解：設擴建高速公路為X公里，則新建的高速公路為(2x-45)公里，

由題意得，x+(2x-45)=519,

解得X=I88,

V519-188=331,

二去年新建高速公路331公里，擴建高速公路188公里.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用.解題的關鍵在于根據(jù)題意正確的列方程.

18.觀察以下等式：

第1個等式：lχt2-'=l,

22

14+41

第2個等式：上XHr—上=1,

233

19+6

第3個等式:—X----------

344

第4個等式:

5

第5個等式:

566

按照以上規(guī)律.解決下列問題:

(1)寫出第6個等式:

(2)寫出你猜想的第〃個等式(用含“的式子表示)，并證明.

1

答z

(-×36+1211

?]?6-------------=1

77

In2+2〃1

(2)第〃個等式："十"———=1；證明見解析

nπ+ln+1

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意推導即可；

(2)根據(jù)題意推導出一般性規(guī)律即可.

小問1詳解】

解：由題意知，第6個等式：?LχH12-?L=ι,

677

4√r依田?u?36+121

故答案為：-×----------=11；

677

【小問2詳解】

解?第〃個等式?+2”?—1.χiPH∣li∏T?

nZi+1H+1

2

第1個等式：lχt2-'=l,RΠ,1+1X21,

R∏1?V-_---_---_----_---_---_----_---_---_----_---_------一J,

221+11+1

14+41Hl22+2X21,

第2個等式：一X----------=1,即rl一X--------------------=1,

23322+12+1

?∣,19÷61132+3×21

第λλ3個等zw式vi：一X----------=1,aπ1

34433+13+1

116+81142+4×21,

忠笛4Δ小I寺箋隊憂：.—^V_______—1,即ππ一X-------------------=1

45544+14÷1

"U人占一125÷101.152+5×21,

第5個等式：一X—：-----=1,即hπ一X-------------------=1

56655+15+1

1n2+2/7I

.?.可推導一般性規(guī)律為：第〃個等式：±2—_i-?i,

nn+?〃+1

..11+2〃11n(n+2]1n+21n+1

?——X....................................———X-----------------------------zz---------------------=---------=?,

n〃+1〃+1nn+?〃+1n+?n+?n+?

?n2+2n1

.?.第〃個等式：乙！十竺一_L=].

nn+?〃+1

【點睛】本題考查了規(guī)律探究.解題的關鍵在于根據(jù)題意推導出一般性規(guī)律.

19.數(shù)學測繪社團欲測算平臺。B上旗桿的拉繩AC的長.從旗桿AB的頂端A拉直繩子，繩子末端正好

與斜坡CO的底部C重合，此時拉繩AC與水平線CN所成的夾角NACN=53°,已知斜坡C。的高

Z)N=4米，坡比為1:2.5(即DN:CN=1:2.5),08=6米，求拉繩AC的長.(結果保留1位小數(shù),

參考數(shù)據(jù)：sin53o≈0.80,cos53o≈0.60,tan53o≈1.33)

【答案】千米

3

【解析】

【分析】延長A3交CN于點F,根據(jù)ON=4,坡比為1:2.5求出CN,結合NACN余玄直接求解即可

得到答案；

【詳解】解：延長AB交CN于點凡如圖所示，

YDN=4,坡比為1:2.5,

.,.OV=4x2.5=10,

,."DB=6，

.?.CF=CN+NF=CN+BD=2+6=16,

?：ZAC7V=53°,

CF_16_80

??AC———,

COS53°0.603

答：拉繩的長度為：絲米；

3

【點睛】本題考查解直角三角形應用及坡比問題，解題的關鍵是根據(jù)坡比求出CN.

20.如圖，AB是<，。的直徑，CD是O。的一條弦，46,CD于點M,連接。Q.

(1)若NODB=54。,求/54C的度數(shù)；

(2)AC,DB的延長線相交于點凡CE是O的切線，交BF于點E,若CE上DF,求證：

AC=CD.

【答案】(1)ZfiAC=36°

(2)見解析

【解析】

【分析】(1)連接。C,由題意可得NoDB=NO8。=54。，則ZBOD=72°,由垂徑定理可知BC=80，

可得NBoC=ZBOD=72°,再由圓周角定理可得ABAC=-NBOC=36°；

2

(2)由的切線性質(zhì)可知，OCJ_CE,可得OC〃。尸，可知NOCr>=NS5,由題意可得

N08=N0r)C,ZOAC=ZOCA,根據(jù)圓周角定理可得NC43=NCD3,證得

ZOCD=ZODC=ZOAC=ZOCA,即可證得AAOC會AOOC(AAS),可得AC=CO.

【小問1詳解】

解：連接0C，

戶

C

VZODB=54o,OB=OD,

：.NODB=ZOBD=54°,則ZBOD=72°,

,.?ABlCD,

?^?BC=BD，

：.ΛBOC=ABOD=IT,

由圓周角定理可得：ZBAC=-ZBOC=36°；

2

【小問2詳解】

證明：YCE是（O的切線，

.?.OCLCE,

又YCEYDF,

.?.OC//DF,

/.ZOCD=ZCDB,

'."OC=OD-OA,

：.NOCD=NODC,ZOAC=ZOCA,

由圓周角定理可得：ZCAB=ZCDB,

??./LOCD=ZODC=ZOAC=ZOCA,

VOAC=ZODC

在^AOC與/?D0C中，,ZOCA=ZOCD,

OA=OD

：.AAOCdDOC（AAS）,

?,?AC=CD.

【點睛】本題考查垂徑定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相關性質(zhì)定

理是解決問題的關鍵.

21.某校為了解本校學生“上周內(nèi)做家務勞動所用的時間”（簡稱“勞動時間”）情況，在本校隨機調(diào)查

了部分學生的“勞動時間”，并進行統(tǒng)計，繪制了如下統(tǒng)計表和條形統(tǒng)計圖：

組別“勞動時間”〃分鐘頻數(shù)頻率組內(nèi)學生的平均“勞動時間”1分鐘

Ar<6040.150

B60≤∕<90ab75

C90≤z<120c0.4105

DZ>12014d150

M*

?-

根據(jù)上述信息，解答下列問題：

(1)C=,d=,并補全條形統(tǒng)計圖；

(2)被調(diào)查學生的“勞動時間”的中位數(shù)落在_____組，并求出這些學生的平均“勞動時間”；

(3)若該校有1200名學生，請估計在該校學生中，“勞動時間”不少于90分鐘的人數(shù).

【答案】(1)16,0.35；補圖見解析

(2)中位數(shù)落在C組，學生的平均“勞動時間”為110.75分鐘

(3)900人

【解析】

【分析】(I)根據(jù)樣本容量=普及其變形，求解樣本容量、頻率d、頻數(shù)C,作差求α,然后補全條形

頻率

統(tǒng)計圖即可;

(2)根據(jù)中位數(shù)的定義判斷可得中位數(shù)的位置，然后計算平均數(shù)即可；

(3)根據(jù)總人數(shù)乘以“勞動時間”不少于90分鐘的人數(shù)的頻率求解即可.

【小問1詳解】

4

解：由統(tǒng)計表和條形統(tǒng)計圖可得：樣本容量=—=40,

0.1

,14

c=40×0.4=16?d=—=0.35,

40

.,.4/=40—4—16—14=6,

故答案為：16,0.35；

補全條形統(tǒng)計圖如下：

【小問2詳解】

解：由題意知，中位數(shù)為第20和第21位數(shù)的平均值,

?.?4+6=10<20<4+6+16=26,

中位數(shù)落在C組，

4×50+6×75+16×105+14×1504430

.?.學生的平均“勞動時間”為:=三Y=IlO.75分鐘,

4040

中位數(shù)落在C組，學生的平均“勞動時間”為110.75分鐘；

【小問3詳解】

解：估算“勞動時間”不少于90分鐘的人數(shù)為1200X巫巴=900人，

40

估算“勞動時間”不少于90分鐘的人數(shù)為900人.

【點睛】本題考查了樣本容量，條形統(tǒng)計圖，中位數(shù)，平均數(shù)，用樣本估計總體等知識.解題的關鍵在于

從圖表中獲取正確的信息.

22.某快餐店給顧客提供A,B兩種套餐.套餐A每份利潤8元，每天能賣90份；套餐B每份利潤10元，

每天能賣70份.若每份套餐A價格提高1元，每天少賣出4份；每份套餐B價格提高1元，每天少賣出2

份.(注：兩種套餐的成本不變)

(1)若每份套餐價格提高了X元，求銷售套餐A，8每天的總利潤明元，/元與X之間的函數(shù)關系式；

(2)物件部門規(guī)定這兩種套餐提高的價格之和為10元，問套餐A提高多少元時，這兩種套餐每天利潤之

和最大？

【答案】(1)WA=~4χ2+58x+720,WB=-2x2+5()X+700

(2)套餐A提高4元時，這兩種套餐每天利潤之和最大

【解析】

【分析】(1)由題意可知，每份套餐價格提高了X元，套餐A每天賣出(90—4x)份，套餐B每天賣出

(70-2x)份，根據(jù)利潤=每份利潤X份數(shù)即可求得函數(shù)關系式；

(2)設套餐A每份提高了。元，則套餐B每份提高了(10-α),結合兩個函數(shù)關系可得兩種套餐每天利潤

之和W-WA+WK=-6(α-4)一+1816(0≤Λ≤10),即可求得結果.

【小問1詳解】

解：由題意可得：套餐A每份提高了X元，則每天賣出(90—4x)份，

套餐B每份提高了X元，則每天賣出(70-2x)份，

則：套餐A每天的總利潤嗎=(8+x)(90-4x)=TX2+58χ+72(),

套餐B每天的總利潤WB=(10+X)(70-2X)=-2Λ2+50Λ+700；

【小問2詳解】

設套餐A每份提高了。元，則套餐B每份提高了(10-。)，

2

.?.W=-4/+58。+72(),wβ=-2(10-tz)+50(10-α)+7∞

則兩種套餐每天利潤之和為：