第39講　直線、平面平行的判定與性質(zhì)（原卷版）

第39講直線、平面平行的判定與性質(zhì)基礎(chǔ)知識1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)類別語言表述圖形表示符號表示應用判定一條直線與一個平面,

則稱這條直線與這個平面平行l(wèi)∩α=??l∥α證明直線與平面平行如果平面外的平行,那么這條直線與這個平面平行

l?α,m?α且l∥m?l∥α性質(zhì)如果一條直線與一個平面平行,且經(jīng)過這條直線的平面與這個平面,那么這條直線就與兩平面的交線

l∥α,l?β,α∩β=m?l∥m證明直線與直線平行2.平面與平面平行的判定與性質(zhì)類別語言表述圖形表示符號表示應用判定如果一個平面內(nèi)有兩條分別平行于另一個平面,那么這兩個平面平行

l?α,m?α,l∩m=P,l∥β,m∥β?α∥β證明平面與平面平行如果一個平面內(nèi)有兩條分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條,那么這兩個平面平行

a?α,b?α,a∩b=P,a∥a',b∥b',a'?β,b'?β,a'∩b'=P'?α∥β垂直于的兩個平面平行

a⊥α,a⊥β?α∥β性質(zhì)兩個平面平行,則其中一個平面內(nèi)的直線必于另一個平面

α∥β,a?α?a∥β證明直線與平面平行如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的平行

α∥β,α∩γ=l,β∩γ=m?l∥m證明直線與直線平行常用結(jié)論1.垂直于同一個平面的兩條直線平行,即若a⊥α,b⊥α,則a∥b.2.平行于同一個平面的兩個平面平行,即若α∥β,β∥γ,則α∥γ.3.三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化:線線平行、線面平行、面面平行的相互轉(zhuǎn)化是解決與平行有關(guān)的證明題的指導思想,解題中既要注意一般的轉(zhuǎn)化規(guī)律,又要看清題目的具體條件,選擇正確的轉(zhuǎn)化方向.分類探究探究點一平行關(guān)系的基本問題例1(1)α,β是兩個不同的平面,則α∥β的一個充分條件是 ()A.存在一條直線a,a∥α,a∥βB.存在一條直線a,a?α,a∥βC.存在兩條平行直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥αD.存在兩條異面直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,H分別為DD1,AB的中點,點F,G分別在棱BC,CC1上,且CF=CG=14BC,則在F,G,H這三點中任取兩點確定的直線中,與平面ACE平行的直線的條數(shù)為 (A.0 B.1 C.2 D.3[總結(jié)反思]解決空間中線面、面面平行的基本問題要注意以下幾個方面:(1)判定定理與性質(zhì)定理中易忽視定理成立的條件;(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形,結(jié)合圖形作出判斷;(3)舉反例否定結(jié)論.變式題(1)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別為棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中點,則下列結(jié)論中正確的是 ()A.AD1∥平面EFGH B.BD1∥GHC.BD∥EF D.平面EFGH∥平面A1BCD1(2)下列三個命題在“()”處都缺少同一個條件,補上這個條件使其構(gòu)成真命題(其中l(wèi),m為直線,α,β為平面),則此條件是.

①l∥m,m∥α,()?l∥α;②m?探究點二線面平行的判定與性質(zhì)角度1直線與平面平行的判定例2將正方體ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐D1-ACD后得到如圖7-39-3所示的幾何體,已知O為A1C1的中點,求證:OB∥平面ACD1.圖7-39-3

[總結(jié)反思]證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線,解題的思路是利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.變式題如圖7-39-4,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,點D,E分別為AC,B1C1的中點.證明:DE∥平面ABB1A1.圖7-39-4

角度2直線與平面平行的性質(zhì)例3(1)如圖7-39-5,已知圓O的直徑AB長為2,上半圓圓弧上有一點C,∠COB=60°,點P是劣弧AC上的動點,點D是下半圓弧的中點,現(xiàn)以AB為折線,將下半圓折起,形成直二面角,連接PO,PD,CD.當AB∥平面PCD時,PC的長為.

圖7-39-5(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CD上一點,且CE=2DE,F為棱AA1的中點,平面BEF與DD1交于點G,與AC1交于點H,則DGDD1=,AH[總結(jié)反思]應用線面平行性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置,有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面來確定交線.變式題如圖7-39-6所示,已知四邊形ABCD是正方形,四邊形ACEF是矩形,AB=2,AF=1,M是EF的中點.(1)求證:AM∥平面BDE;(2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,試分析l與m的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.圖7-39-6

探究點三面面平行的判定與性質(zhì)例4如圖7-39-7所示,四邊形ABCD與ADEF均為平行四邊形,M,N,G分別是AB,AD,EF的中點.求證:(1)BE∥平面DMF;(2)平面BDE∥平面MNG.圖7-39-7

[總結(jié)反思]證明面面平行的常用方法:(1)利用面面平行的判定定理;(2)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(l⊥α,l⊥β?α∥β);(3)利用平面平行的傳遞性,即兩個平面同時平行于第三個平面,則這兩個平面平行(α∥β,β∥γ?α∥γ).變式題如圖7-39-8所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點,求證:(1)B,C,H,G四點共面;(2)平面EFA1∥平面BCHG.圖7-39-8同步作業(yè)1.下列說法正確的是 ()A.一條直線與一個平面平行,它就和這個平面內(nèi)的任意一條直線平行B.平行于同一個平面的兩條直線平行C.與兩個相交平面的交線平行的直線,必平行于這兩個平面D.平面外兩條平行直線中的一條與這個平面平行,則另一條也與這個平面平行2.如圖K39-1,在四棱錐P-ABCD中,M,N分別為AC,PC上的點,圖K39-1且MN∥平面PAD,則 ()A.MN∥PD B.MN∥PAC.MN∥AD D.以上均有可能3.已知直線m,n,平面α,β,則m∥α的充分條件是 ()A.n?α,m∥n B.α⊥β,m⊥βC.n∥α,m∥n D.α∥β,m?β4.過長方體ABCD-A1B1C1D1的任意兩條棱的中點作直線,其中與平面DBB1D1平行的直線共有 ()A.4條 B.6條 C.8條 D.12條5.如圖K39-2,在三棱柱ABC-A1B1C1中,點D1是A1C1上的一點,若BC1∥平面AB1D1,則A1D1DA.12 B.1 C.2 D.圖K39-2圖K39-36.過正方體ABCD-A1B1C1D1的三個頂點A1,C1,B的平面與底面ABCD所在平面的交線為l,則l與A1C1的位置關(guān)系是.

7.圖K39-3是長方體被一平面所截得的幾何體,四邊形EFGH為截面,則四邊形EFGH的形狀為.

8.在正方體EFGH-E1F1G1H1中,下列四對截面所在的平面相互平行的是 ()A.平面E1FG1與平面EGH1B.平面FHG1與平面F1H1GC.平面F1H1H與平面FHE1D.平面E1HG1與平面EH1G9.如圖K39-4,點A,B,C,M,N為正方體的頂點或所在棱的中點,則下列各圖中,不滿足直線MN∥平面ABC的是 ()圖K39-410.已知m,n為兩條不同的直線,α,β為兩個不同的平面,給出下列說法:①若m∥α,α∥β,則m∥β;②若m∥α,m∥β,則α∥β;③若m⊥α,n⊥β,α∥β,則m∥n;④若m⊥α,n⊥β,α⊥β,則m⊥n.其中正確說法的個數(shù)為 ()A.1 B.2 C.3 D.411.(多選題)如圖K39-5,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別是A1B1,B1C1,BB1的中點,下列四個推斷中正確的是 ()圖K39-5A.FG∥平面AA1D1DB.EF∥平面BC1D1C.FG∥平面BC1D1D.平面EFG∥平面BC1D112.若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形,則該三棱錐的棱中,與平面α平行的棱有條.

13.如圖K39-6,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱A1B1,B1C1的中點,P是棱AD上一點,AP=a3,過P,M,N的平面與棱CD交于點Q,則PQ=圖K39-614.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,M是BB1的中點,點P在長方體內(nèi)部或表面上,且MP∥平面AB1D1,則動點P的軌跡所形成的區(qū)域面積是.

15.如圖K39-7,在四棱錐P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1.設(shè)M,N分別為PD,AD的中點.(1)求證:平面CMN∥平面PAB;(2)求三棱錐P-ABM的體積.圖K39-716.如圖K39-8,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD∶AB∶AA1=1∶2∶2,點E,F分別是棱AB,BC的中點,M在棱