創(chuàng)新導(dǎo)學(xué)案高考總復(fù)習(xí)3-3

§3.3導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用[最新考綱]

1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值，并會解決與之有關(guān)的方程(不等式)問題；2.會利用導(dǎo)數(shù)解決某些簡單的實際問題．1．利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟(1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)；(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和f′(x)＝0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值；(4)回歸實際問題作答．2．不等式問題(1)證明不等式時，可構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值或最值問題；(2)求解不等式恒成立問題時，可以考慮將參數(shù)分離出來，將參數(shù)范圍問題轉(zhuǎn)化為研究新函數(shù)的值域問題．3．方程解的個數(shù)問題構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值和特殊點的函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合草圖推斷方程解的個數(shù)．1．(2014·湖南)若0<x1<x2<1，則(

)A．ex2－ex1>lnx2－lnx1B．ex1－ex2<lnx2－lnx1C．x2ex1>x1ex2D．x2ex1<x1ex2【答案】

D4．(2016·山西省考前適應(yīng)性訓(xùn)練)若商品的年利潤y(萬元)與年產(chǎn)量x(百萬件)的函數(shù)關(guān)系式：y＝－x3＋27x＋123(x>0)，則獲得最大利潤時的年產(chǎn)量為(

)A．1百萬件

B．2百萬件C．3百萬件

D．4百萬件【解析】

y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，當(dāng)0<x<3時，y′>0；當(dāng)x>3時，y′<0.故當(dāng)x＝3時，該商品的年利潤最大．【答案】

C【思維升華】(1)證明f(x)>g(x)可轉(zhuǎn)化為證明F(x)＝f(x)－g(x)的最小值大于0，再利用導(dǎo)數(shù)求F(x)的最小值．(2)對于F(x)＝f(x)－g(x)的最小值，不易求出的情況，也可以通過f(x)，g(x)的最值情況進行證明．【思維升華】

函數(shù)零點或函數(shù)圖象交點問題的求解，一般利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，并借助函數(shù)圖象，根據(jù)零點或圖象的交點情況，建立含參數(shù)的方程(或不等式)組求解，實現(xiàn)形與數(shù)的和諧統(tǒng)一．跟蹤訓(xùn)練2(2015·安徽)設(shè)x3＋ax＋b＝0，其中a，b均為實數(shù)，下列條件中，使得該三次方程僅有一個實根的是________．(寫出所有正確條件的編號)①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.【解析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，從而判斷零點情況．令f(x)＝x3＋ax＋b，則f′(x)＝3x2＋a.當(dāng)a≥0時，f′(x)≥0，f(x)單調(diào)遞增，④⑤正確；當(dāng)a<0時，若a＝－3，則f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∴f(x)極大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)極?。絝(1)＝1－3＋b＝b－2，要使f(x)＝0僅有一個實根，需f(x)極大<0或f(x)極小>0，∴b<－2或b>2，①③正確，②不正確．故填①③④⑤.【答案】

①③④⑤(1)求a，b的值．(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標(biāo)為t.①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域．②當(dāng)t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度．【思維點撥】(1)根據(jù)M，N兩點坐標(biāo)求得a，b的值；(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)先求切線方程，再求f(t)，最后利用導(dǎo)數(shù)求最值．【思維升華】

在求實際問題中的最大值或最小值時，一般先設(shè)自變量、因變量、建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)最值的方法求解，注意結(jié)果應(yīng)與實際情況相符合．用導(dǎo)數(shù)求實際問題中的最大(小)值，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么根據(jù)實際意義可知該極值點就是最值點．【審題路線圖】【溫馨提醒】(1)“恒成立”、“存在性”問題一定要正確理解問題實質(zhì)，深刻挖掘條件內(nèi)含，進行等價轉(zhuǎn)化．(2)構(gòu)造函數(shù)是求范圍問題中的一種常用方法，解題過程中盡量采用分離常數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題．?方法與技巧1．利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題是將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．2．在討論方程的根的個數(shù)、研究函數(shù)圖象與x軸(或某直線)的交點個數(shù)、不等式恒成立等問題時，常常需要求出其中參數(shù)的取值范圍，這類問題的實質(zhì)就是函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極(最)值的應(yīng)用．3．在實際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么只要根據(jù)實際意義判定是最大值還是最小值即可，不必再與端點的