2023-2024學(xué)年廣東省撥尖創(chuàng)新人才八年級（上）學(xué)科知識競賽數(shù)學(xué)試卷（初賽）

第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年廣東省撥尖創(chuàng)新人才八年級（上）學(xué)科知識競賽數(shù)學(xué)試卷（初賽）一、選擇題（每小題5分，共40分）1．（5分）如圖，已知△ABC≌△ADE，∠C＝79°，則∠D的度數(shù)為（）A．79° B．68° C．60° D．71°2．（5分）若，則z等于（）A．x﹣y B． C． D．3．（5分）若a，b，c都是負(fù)數(shù)，并且（）A．a(chǎn)最大 B．b最大 C．c最大 D．c最小4．（5分）如圖，在∠ECF的邊CE上有兩點A、B，邊CF上有一點D，則∠ADF的度數(shù)為（）A．54° B．91° C．81° D．101°5．（5分）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝∠DCB＝90°，則四邊形ABCD的面積為（）A．15 B．12.5 C．14.5 D．176．（5分）如圖所示，△ABC中，點D、E、F分別在三邊上，AD、BE、CF交于一點G，BD＝2DC，S△GEC＝3，S△GDC＝4，則△ABC的面積是（）A．25 B．30 C．35 D．407．（5分）如圖是一個由5張紙片拼成的平行四邊形，相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙，其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為S1，另兩張直角三角形紙片的面積都為S2，中間一張正方形紙片的面積為S3，則這個平行四邊形的面積一定可以表示為（）A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 D．3S1+4S38．（5分）如圖，邊長為5的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個動點，將線段BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接HN．則在點M運動過程中（）A． B．1 C．2 D．二、填空題（每小題5分，共40分）9．（5分）五條長度均為整數(shù)厘米的線段：a1，a2，a3，a4，a5，滿足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，其中a1＝1厘米，a5＝9厘米，且這五條線段中的任意三條都不能構(gòu)成三角形，則a3＝．10．（5分）若關(guān)于x的分式方程有整數(shù)解，整數(shù)m的值是．11．（5分）如圖，在等邊△ABC中，AC＝10，且AO＝3，點P是AB上一動點，將線段OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD．要使點D恰好落在BC上，則AP的長是．12．（5分）如圖，過邊長為2的等邊△ABC的頂點C作直線l⊥BC，然后作△ABC關(guān)于直線l對稱的△A'B'C'，連接AP，PB．13．（5分）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點O，與∠ABC的外角平分線相交于點E，則下列結(jié)論一定正確的是．（填寫所有正確結(jié)論的序號）①；②；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．14．（5分）如圖，把兩塊大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如圖所示擺放，點D在邊AC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°．15．（5分）如圖，△ABC沿EF折疊使點A落在點A'處，BP、CP分別是∠ABD、∠ACD平分線，∠A'EB＝20°，則∠A'FC＝°．16．（5分）在△ABC中，已知∠CAB＝60°，D、E分別是邊AB、AC上的點，ED+DB＝CE，∠CDB＝2∠CDE．三、計算與解答題（每題10分，共70分）17．（10分）先化簡后，再求值：，其中a＝（π﹣3）0．18．（10分）已知abc≠0，且a+b+c＝0，求a（+）（+）+c（+）的值．19．（10分）已知：如圖，Rt△ABC中，AC＞BC，CD是△ABC的中線，點E在CD上20．（10分）已知△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，AE與BD交于點F．（1）如圖1當(dāng)α＝90°時．求證：AE⊥BD；（2）如圖2，直接寫出∠AFD的度數(shù)為（用含α的式子表示）．21．（10分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（a，0），點B在y軸正半軸上，設(shè)AB＝b2﹣4a2＝0．（1）直接寫出∠BAO的度數(shù)．（2）如圖2，點D為AB的中點，點P為y軸負(fù)半軸上一點，連接DQ并延長交x軸于點M，若AB＝622．（10分）如圖，AB∥CD．（1）如圖1，若∠E＝120°，∠C＝110°；（2）如圖2，若∠E＝110°，，，若GD∥FC．請寫出理由．23．（10分）如圖（1）AC⊥AB，BD⊥AB，點P在線段AB上以2cm/s的速度由點A向點B運動，同時，它們運動的時間為t（s）．（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當(dāng)t＝2時，判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，其他條件不變．設(shè)點Q的運動速度為xcm/s，是否存在實數(shù)x，求出相應(yīng)的x、t的值；若不存在

2023-2024學(xué)年廣東省撥尖創(chuàng)新人才八年級（上）學(xué)科知識競賽數(shù)學(xué)試卷（初賽）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題5分，共40分）1．（5分）如圖，已知△ABC≌△ADE，∠C＝79°，則∠D的度數(shù)為（）A．79° B．68° C．60° D．71°【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AE＝AC，∠DAE＝∠BAC，∴∠AEC＝∠C＝79°，∴∠EAC＝180°﹣79°﹣79°＝22°，∴∠DAB＝22°，∵DE⊥AB，∴∠D＝90°﹣22°＝68°，故選：B．2．（5分）若，則z等于（）A．x﹣y B． C． D．【解答】解；原式＝，＝，∴，∴z＝．故選：D．3．（5分）若a，b，c都是負(fù)數(shù)，并且（）A．a(chǎn)最大 B．b最大 C．c最大 D．c最小【解答】解：∵，∴，∴＜＜，又a、b，∴a+b＜b+c＜c+a，∴b＜a＜c，故選：C．4．（5分）如圖，在∠ECF的邊CE上有兩點A、B，邊CF上有一點D，則∠ADF的度數(shù)為（）A．54° B．91° C．81° D．101°【解答】解：∵BC＝BD＝DA，∴∠C＝∠BDC，∠ABD＝∠BAD，∵∠ABD＝∠C+∠BDC，∠ECF＝27°，∴∠ADF＝∠C+∠BAD＝3∠ECF＝81°．故選：C．5．（5分）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝∠DCB＝90°，則四邊形ABCD的面積為（）A．15 B．12.5 C．14.5 D．17【解答】解：如圖，過A作AE⊥AC，∵∠DAB＝∠DCB＝90°，∴∠D+∠ABC＝180°＝∠ABE+∠ABC，∴∠D＝∠ABE，又∵∠DAB＝∠CAE＝90°，∴∠CAD＝∠EAB，又∵AD＝AB，∴△ACD≌△AEB（AAS），∴AC＝AE，即△ACE是等腰直角三角形，∴四邊形ABCD的面積與△ACE的面積相等，∵S△ACE＝×6×5＝12.5，∴四邊形ABCD的面積為12.6，故選：B．6．（5分）如圖所示，△ABC中，點D、E、F分別在三邊上，AD、BE、CF交于一點G，BD＝2DC，S△GEC＝3，S△GDC＝4，則△ABC的面積是（）A．25 B．30 C．35 D．40【解答】解：BD＝2DC，∴S△ABD＝2S△ACD，∴S△ABC＝8S△ACD，∵E是AC的中點，∴S△AGE＝S△CGE，又∵S△GEC＝3，S△GDC＝4，∴S△ACD＝S△AGE+S△CGE+S△CGD＝2+3+4＝10，∴S△ABC＝8S△ACD＝3×10＝30．故選：B．7．（5分）如圖是一個由5張紙片拼成的平行四邊形，相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙，其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為S1，另兩張直角三角形紙片的面積都為S2，中間一張正方形紙片的面積為S3，則這個平行四邊形的面積一定可以表示為（）A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 D．3S1+4S3【解答】解：設(shè)等腰直角三角形的直角邊為a，正方形邊長為c，則S2＝（a+c）（a﹣c）＝a7﹣c8，∴S2＝S1﹣S3，∴S5＝2S1﹣2S2，∴平行四邊形面積＝2S8+2S2+S8＝2S1+4S2+2S2﹣2S2＝4S1．故選：A．8．（5分）如圖，邊長為5的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個動點，將線段BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接HN．則在點M運動過程中（）A． B．1 C．2 D．【解答】解：如圖，取BC的中點G，∵旋轉(zhuǎn)角為60°，∴∠MBH+∠HBN＝60°，又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，∴∠HBN＝∠GBM，∵CH是等邊△ABC的對稱軸，∴HB＝AB，∴HB＝BG，又∵M(jìn)B旋轉(zhuǎn)到BN，∴BM＝BN，在△MBG和△NBH中，，∴△MBG≌△NBH（SAS），∴MG＝NH，根據(jù)垂線段最短，MG⊥CH時，即HN最短，此時∵∠BCH＝×60°＝30°AB＝，∴MG＝CG＝，∴HN＝，故選：A．二、填空題（每小題5分，共40分）9．（5分）五條長度均為整數(shù)厘米的線段：a1，a2，a3，a4，a5，滿足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，其中a1＝1厘米，a5＝9厘米，且這五條線段中的任意三條都不能構(gòu)成三角形，則a3＝3．【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，如果五條線段中的任意三條都不能構(gòu)成三角形且五條長度均為整數(shù)厘米的線段1＜a2＜a3＜a4＜a5．則a2≥2．要想使a1，a6，a3構(gòu)不成三角形，則a3﹣a4≥1，即a3≥3；要想使a3，a4，a2構(gòu)不成三角形，則a5﹣a4≥a3，即a4≤a5﹣a3＝6，若a2，a4，a4構(gòu)不成三角形，則a2+a4≤a4，即a3≤a8﹣a2＝4，此時a7＝3或4，但當(dāng)a2＝4時，沒有任何一個整數(shù)能使a3，a8，a5不能構(gòu)成三角形，故排除．所以a3＝7．解法二：由題意，a1+a2≤a4，a2+a3≤a8，a3+a4≤a2，三個不等式相加得到：a1+2a8+2a3+a3≤a3+a4+a8，化簡得到：2a2+a6≤a5﹣a1＝5，即2a2+a8≤8，因為a2≥4，所以a3只能取3或7，當(dāng)a＝4時．因為a4≤a6﹣a3＝5，∴a6＝5，此時a2≤a6﹣a3＝1，與a7＝2矛盾，當(dāng)a3＝5時，可以找到1，2，2，9滿足題意．故答案為：3．10．（5分）若關(guān)于x的分式方程有整數(shù)解，整數(shù)m的值是4或3或0．【解答】解：，∴mx﹣2﹣1＝2（x﹣6），∴x＝﹣，而分式方程有整數(shù)解，∴m﹣7＝1，m﹣2＝﹣2，m﹣2＝﹣2，但是m﹣3＝﹣1時，x＝2，不合題意∴m﹣4＝1，m﹣2＝3，∴m＝4，m＝3．故答案為：m＝7，m＝3．11．（5分）如圖，在等邊△ABC中，AC＝10，且AO＝3，點P是AB上一動點，將線段OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD．要使點D恰好落在BC上，則AP的長是7．【解答】解：∵AC＝10，AO＝3，∴OC＝7，∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝∠C＝60°，∵線段OP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD，要使點D恰好落在BC上，∴OD＝OP，∠POD＝60°，∵∠AOP+∠APO+∠A＝180°，∠AOP+∠COD+∠POD＝180°，∴∠AOP+∠APO＝120°，∠AOP+∠COD＝120°，∴∠APO＝∠COD，在△AOP和△CDO中，，∴△AOP≌△CDO（AAS），∴AP＝CO＝6．故答案為：7．12．（5分）如圖，過邊長為2的等邊△ABC的頂點C作直線l⊥BC，然后作△ABC關(guān)于直線l對稱的△A'B'C'，連接AP，PB4．【解答】解：連接PB′，因為△ABC與△A′B′C關(guān)于直線l對稱，且△ABC是邊長為2的等邊三角形，所以B′C＝BC＝2，∠B′CA′＝∠ACB＝60°，又因為l⊥BC，則∠ACP＝180°﹣5×60°＝60°，所以∠B′CA′＝∠ACP．在△B′CP和△ACP中，，所以△B′CP≌△ACP（SAS），所以B′P＝AP，所以PA+PB＝PB′+PB．根據(jù)“兩點之間，線段最短”可知，當(dāng)點P在點C位置時，PB′+PB取得最小值為BB′的長度4，所以AP+PB的最小值是4．故答案為：5．13．（5分）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點O，與∠ABC的外角平分線相交于點E，則下列結(jié)論一定正確的是①②④．（填寫所有正確結(jié)論的序號）①；②；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．【解答】解：∵∠ABC，∠ACB的平分線交于點O，∴∠ABD＝∠OBC＝∠ABC∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣×（180°﹣∠A）＝90°+，故①正確，∵CD平分∠ACF，∴∠DCF＝∠ACF，∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D，∴∠D＝∠A；∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∴∠MBC+∠BCN＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，∴∠MBC＝8∠EBC，∠BCN＝2∠BCE，∴∠EBC+∠BCE＝90°+∠A，∵∠E+∠EBC++BCE＝180°，∴∠E＝180°﹣（∠EBC++BCE）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣，故③錯誤；∵∠DCF＝∠DBC+∠D，∴∠E+∠DCF＝90°﹣∠A+∠DBC+，∵∠ABD＝∠DBC，∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．故④正確，綜上正確的有：①②④．14．（5分）如圖，把兩塊大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如圖所示擺放，點D在邊AC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°64°．【解答】解：作FH⊥FE交AC用H．∵∠AFC＝∠EFH＝90°，∴∠AFH＝∠CFE＝13°，∵∠A＝∠FCE＝45°，F(xiàn)A＝FC，∴△FAH≌△FCE，∴FH＝FE，∵∠DFE＝∠CFE+∠DFC＝13°+32°＝45°，∴∠DFH＝∠DFE＝45°，∵DF＝DF，∴△DFE≌△DFH，∴∠DEF＝∠DHF＝∠A+∠AFH＝58°，∵∠FEB＝∠CFE+∠FCE＝58°，∴∠DEC＝180°﹣58°﹣58°＝64°，故答案為64°．15．（5分）如圖，△ABC沿EF折疊使點A落在點A'處，BP、CP分別是∠ABD、∠ACD平分線，∠A'EB＝20°，則∠A'FC＝140°．【解答】解：如圖，∵BP、CP分別是∠ABD，∴∠PBD＝，∠BCP＝．又∵∠PBD＝∠P+∠PCB，∴∠P＝∠PBD﹣∠PCB＝＝，又∵∠ABD＝∠A+∠ACB，∴∠ABD﹣∠ACB＝∠A，∴∠P＝，∴∠A＝2∠P＝2×30°＝60°，由題意得：∠A′＝∠A＝60°，∴∠3＝∠A′+∠A′EB＝60°+20°＝80°，∴∠A′FC＝∠A+∠1＝60°+80°＝140°，故答案為：140．16．（5分）在△ABC中，已知∠CAB＝60°，D、E分別是邊AB、AC上的點，ED+DB＝CE，∠CDB＝2∠CDE20°．【解答】解：延長AB到F使BF＝AD，連接CF，∵∠CAD＝60°，∠AED＝60°，∴△ADE為等邊三角形，∴AD＝DE＝AE，∠ADE＝60°，∴∠BDE＝180°﹣∠ADE＝120°，∵∠CDB＝2∠CDE，∴3∠CDE＝120°，解得∠CDE＝40°，∴∠CDB＝5∠CDE＝80°，∵BF＝AD，∴BF＝DE，∵DE+BD＝CE，∴BF+BD＝CE，即DF＝CE，∵AF＝AD+DF，AC＝AE+CE，∴AF＝AC，而∠BAC＝60°，∴△AFC為等邊三角形，∴CF＝AC，∠F＝60°，在△ACD和△FCB中，∴△ACD≌△FCB（SAS），∴CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝80°，∴∠DCB＝180﹣（∠CBD+∠CDB）＝20°．故答案為：20°．三、計算與解答題（每題10分，共70分）17．（10分）先化簡后，再求值：，其中a＝（π﹣3）0．【解答】解：原式＝[﹣]÷＝[﹣]÷＝×＝，∵a＝（π﹣3）0＝4，∴原式＝＝．18．（10分）已知abc≠0，且a+b+c＝0，求a（+）（+）+c（+）的值．【解答】解：由a+b+c＝0得：a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，∴＝＝＝﹣3；19．（10分）已知：如圖，Rt△ABC中，AC＞BC，CD是△ABC的中線，點E在CD上【解答】證明：延長CD到F使DF＝CD，連接AF，∵CD是△ABC的中線，∴AD＝BD，在△ADF與△BCD中，，∴△ADF≌△BCD，∴∠F＝∠BCD，BC＝AF，∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的中線，∴CD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∵∠AED＝∠F，∴AE＝AF，∴AE＝BC．20．（10分）已知△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，AE與BD交于點F．（1）如圖1當(dāng)α＝90°時．求證：AE⊥BD；（2）如圖2，直接寫出∠AFD的度數(shù)為180°﹣α（用含α的式子表示）．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝90°，∴∠CBD+∠EAB+∠ABC＝90°，∴∠AFB＝90°，∴AE⊥BD；（2）解：∵∠ACB＝∠DCE＝α，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝180°﹣α，∴∠CBD+∠EAB+∠ABC＝180°﹣α，∴∠AFB＝∠ACB＝α，∴∠AFD＝180°﹣α．故答案為：180°﹣α．21．（10分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（a，0），點B在y軸正半軸上，設(shè)AB＝b2﹣4a2＝0．（1）直接寫出∠BAO的度數(shù)．（2）如圖2，點D為AB的中點，點P為y軸負(fù)半軸上一點，連接DQ并延長交x軸于點M，若AB＝6【解答】解：（1）∵點A（a，0）在x軸負(fù)半軸上，∴AO＝﹣a，a＜0，∵b6﹣4a2＝2，∴b+2a＝0或b﹣4a＝0，∵AB＝b，∴b+2a＝7，∴b＝﹣2a，∴AB＝2OA，在x軸的正半軸上取點C，使OC＝OA，如圖6所示：∵點B在y軸正半軸上，∴OB⊥AC，∴AB＝BC，又∵AC＝2OA，∴AC＝AB，∴AC＝BC＝AB，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAO＝60°；（2）連接BM，如圖2所示：∵△APQ是等邊三角形，∴∠PAQ＝60°，AQ＝AP，∵∠BAO＝60°，∴∠PAQ﹣∠OAQ＝∠BAO﹣∠OAQ，∴∠OAP＝∠DAQ，∵D為AB的中點，∴AD＝AB，∵∠ABO＝30°，∴AO＝AB，∴AD＝AO，在△AQD和△APO中，，∴△AQD≌△APO（SAS），∴∠ADQ＝∠AOP＝90°，即DQ⊥AB，∴AM＝BM∴△ABM為等邊三角形，∴OM＝AB＝6，∴M（3，0）．22．（10分）如圖，AB∥CD．（1）如圖1，若∠E＝120°，∠C＝110°；（2）如圖2，若∠E＝110°，，，若GD∥FC3∠AGF+∠GDC＝220°．請寫出理由．【解答】解：（1）過點E作EH∥AB，過點F作FG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EH∥FG∥CD，∵AB∥EF，∴∠A＝∠1，∵FG∥EH，∴∠2＝∠2，∵FG∥CD，∴∠4＝180°﹣∠C，∵∠AEF＝120°，∠C＝110°，∴∠A+∠EFC＝∠1+∠3+∠4＝∠1+∠7+180°﹣∠C＝∠AEF+180°﹣∠C＝120°+180°﹣110°