2024年高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（廣東卷02）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12024年高考第一次模擬考試（廣東卷02）數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榧?，所以，又，所?故選：C2．若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A．0 B． C．1 D．〖答案〗A〖解析〗，所以復(fù)數(shù)的虛部為0.故選：A3．下列條件中，為“關(guān)于x的不等式對(duì)恒成立”的充分不必要條件的有（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗若關(guān)于x的不等式對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于恒成立，故滿足要求，當(dāng)時(shí)，原不等式恒成立當(dāng)且僅當(dāng)，解得，綜上所述，若關(guān)于x的不等式對(duì)恒成立，則當(dāng)且僅當(dāng)，而選項(xiàng)中只有是的充分不必要條件.故選：B.4．北京時(shí)間2023年2月10日0時(shí)16分，經(jīng)過(guò)約7小時(shí)的出艙活動(dòng)，神舟十五號(hào)航天員費(fèi)俊龍、鄧清明、張陸密切協(xié)同，圓滿完成出艙活動(dòng)全部既定任務(wù)，出艙活動(dòng)取得圓滿成功.載人飛船進(jìn)入太空需要搭載運(yùn)載火箭，火箭在發(fā)射時(shí)會(huì)產(chǎn)生巨大的噪聲，用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中大于0的常數(shù)是聽覺(jué)下限閾值，是實(shí)際聲壓.聲壓級(jí)的單位為分貝，聲壓的單位為帕.若人正常說(shuō)話的聲壓約為，且火箭發(fā)射時(shí)的聲壓級(jí)比人正常說(shuō)話時(shí)的聲壓級(jí)約大，則火箭發(fā)射時(shí)的聲壓約為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗令人正常說(shuō)話時(shí)的聲壓級(jí)為，火箭發(fā)射時(shí)的聲壓級(jí)為，則，而人正常說(shuō)話的聲壓，火箭發(fā)射時(shí)的聲壓為，于是，，兩式相減得，解得，所以火箭發(fā)射時(shí)的聲壓約為.故選：D5．邢臺(tái)一中數(shù)學(xué)探索館中“圓與非圓—搬運(yùn)”的教具中出現(xiàn)的勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒洛三角形中，已知，為弧上的一點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．2〖答案〗C〖解析〗因?yàn)闉榛∩系囊稽c(diǎn)，則，且，可知，由圖形可知：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，向量在方向上的投影取到最小值，此時(shí)，所以的最小值為.故選：C.6．關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①的最小正周期為；②的最大值為；③的最小值為；④在區(qū)間上單調(diào)遞增；其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（

）A．①②④ B．①③④ C．①③ D．②④〖答案〗B〖解析〗和的最小正周期均為，的最小正周期為，故①正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，其中，，可設(shè)，由，得，又，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，②錯(cuò)誤，③正確；，在上單調(diào)遞增，④正確.故選：B.7．雙曲線，點(diǎn)A，B均在E上，若四邊形為平行四邊形，且直線OC，AB的斜率之積為3，則雙曲線E的漸近線的傾斜角為（

）A． B．或C． D．或〖答案〗B〖解析〗設(shè)，顯然線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危跃€段的中點(diǎn)坐標(biāo)和線段的中點(diǎn)坐標(biāo)相同，即為，因此點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€OC，AB的斜率之積為3，所以，因?yàn)辄c(diǎn)A，B均在E上，所以，兩式相減得：，所以兩條漸近線方程的傾斜角為或，故選：B

8．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)P是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，M，N分別為，的中點(diǎn)，若直線BP與MN所成的角為，且，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所圍成的圖形的面積為（

）

A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗如圖所示，連接，，則N為的中點(diǎn)，又M為的中點(diǎn)，所以，因此直線BP與MN所成的角就是直線BP與所成的角，在正方體中，可得，因?yàn)槠矫妫矫?，可得，又因?yàn)榍移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理可得，因?yàn)?，且平面，所以平面，則．設(shè)與平面的交點(diǎn)為G，連接PG，所以，在直角中，，因?yàn)?，所以，又由，所以，所以點(diǎn)P的軌跡是以G為圓心，為半徑的圓，其面積為.故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題9．舉世矚目的第19屆亞運(yùn)會(huì)于9月23日至10月8日在杭州舉行，亞運(yùn)會(huì)點(diǎn)燃了國(guó)人激情，也將一股運(yùn)動(dòng)風(fēng)吹到了大學(xué)校園.為提升學(xué)生身體素質(zhì)，倡導(dǎo)健康生活方式，某大學(xué)社團(tuán)聯(lián)合學(xué)生會(huì)倡議全校學(xué)生參與“每日萬(wàn)步行”健走活動(dòng).下圖為該校甲、乙兩名同學(xué)在同一星期內(nèi)每日步數(shù)的拆線統(tǒng)計(jì)圖，則（

）A．這一星期內(nèi)甲、乙的日步數(shù)的中位數(shù)都為12600B．這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的平均數(shù)大于乙的日步數(shù)的平均數(shù)C．這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的方差大于甲的日步數(shù)的方差D．這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的下四分位數(shù)是12200〖答案〗ABD〖解析〗由折線圖可得甲一星期內(nèi)的步數(shù)從小到大的排列為：11000，11800，12200，12600，13500，15400，18200，所以中位數(shù)為12600；由折線圖可得乙一星期內(nèi)的步數(shù)從小到大的排列為：11800，12200，12400，12600，15000，13800，14000，所以中位數(shù)為12600，故這一星期內(nèi)甲、乙的日步數(shù)的中位數(shù)都為12600，正確；這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的平均數(shù)為：，這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的平均數(shù)為：，因?yàn)?，故正確；由圖知，甲的波動(dòng)程度較大，故方差較大，故錯(cuò)誤；乙一星期內(nèi)的步數(shù)從小到大的排列為：11800，12200，12400，12600，15000，13800，14000，，故這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的下四分位數(shù)是12200，故正確；故選：10．如圖，平面中兩條直線和相交于點(diǎn)O，對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M，若p，q分別是M到直線和的距離，則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”.下列四個(gè)命題中正確命題為（）A．若，則“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)有且僅有1個(gè)B．若，且，則“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)有且僅有2個(gè)C．若，則“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)有且僅有4個(gè)D．若，則點(diǎn)M在一條過(guò)點(diǎn)O的直線上〖答案〗ABC〖解析〗A.若，則“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)是兩條直線的交點(diǎn)O，因此有且僅有1個(gè)，故正確.B.若，且，則“距離坐標(biāo)”為或的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，故正確.C.若，則“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)有且僅有4個(gè)，如圖，故正確.D.若，則點(diǎn)M在的軌跡是兩條過(guò)O的直線，分別為交角的平分線所在直線，故不正確.故選：ABC.11．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有，且滿足，則（

）A．函數(shù)為奇函數(shù)B．不等式的解集為C．若方程有兩個(gè)根，，則D．在處的切線方程為〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，，由可得，所以，且定義域?yàn)?，故為奇函?shù)，A正確，由于，所以為常數(shù)，則又在中，令，則，故，故，所以，對(duì)于B,可得，又，故，則，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，為單調(diào)遞增函數(shù)，而為開口向上，且對(duì)稱軸為的二次函數(shù)，且是的兩個(gè)交點(diǎn)，的兩個(gè)交點(diǎn)設(shè)為，則，且，又為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，C正確，由得，所以在處的切線方程為，D錯(cuò)誤，故選：AC.12．設(shè)函數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A．若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，，，，則的取值范圍是B．若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，，，，則的取值范圍是C．若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍是D．方程的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)只能是1，2，3，6〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A：作出的圖像如下：

若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，，，，則，不妨設(shè)，則，是方程的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，，是方程的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，所以，，所以，所以，所以，故A正確；對(duì)于B：由上可知，，，且，所以，所以，，所以，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，即可函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，因?yàn)楹氵^(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)最多2個(gè)交點(diǎn)，所以，當(dāng)與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，即，所以，解得，所以，所以，所以當(dāng)與相切時(shí)，即時(shí)，此時(shí)有4個(gè)交點(diǎn)，若有4個(gè)實(shí)數(shù)根，即有4個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)由圖可知只有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，，則，則當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值即最大值，，又及對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)可知，當(dāng)無(wú)限大時(shí)，即在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，即有5個(gè)實(shí)數(shù)根，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，所以，所以或，由圖可知，當(dāng)時(shí)，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，當(dāng)，0時(shí)，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，當(dāng)時(shí)，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，當(dāng)時(shí)，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，所以若時(shí)，則，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)，若時(shí)，則，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)，若，則，交點(diǎn)有個(gè)，若且時(shí)，則且，交點(diǎn)有個(gè)，若，交點(diǎn)有1個(gè)，綜上所述，交點(diǎn)可能由1，2，3，6個(gè)，即方程不同實(shí)數(shù)根1，2，3，6，故D正確；故選：AD．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題13．寫出同時(shí)滿足以下條件的一個(gè)函數(shù)．①定義域?yàn)镽，值域?yàn)?；②，，且時(shí)，；③，．〖答案〗(〖答案〗不唯一，合理即可)〖解析〗由題意可知，函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，最小值，則符合題意.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）14．已知數(shù)列滿足，在和之間插入個(gè)1，構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列的前20項(xiàng)的和為.〖答案〗77〖解析〗在之間插入個(gè)1，構(gòu)成數(shù)列，所以共有個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由于，所以.故〖答案〗為：.15．甲、乙兩位同學(xué)玩游戲，對(duì)于給定的實(shí)數(shù)，按下列方法操作一次產(chǎn)生一個(gè)新的實(shí)數(shù)：由甲、乙同時(shí)各擲一枚均勻的硬幣，如果出現(xiàn)兩個(gè)正面朝上或兩個(gè)反面朝上，則把乘以2后再減去12,；如果出現(xiàn)一個(gè)正面朝上，一個(gè)反面朝上，則把除以2后再加上12，這樣就得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)，對(duì)實(shí)數(shù)仍按上述方法進(jìn)行一次操作，又得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝，若甲獲勝的概率為，則的取值范圍是〖答案〗〖解析〗a3的結(jié)果有四種，每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率都是，1．a(chǎn)1→2a1﹣12→2（2a1﹣12）﹣12＝4a1﹣36＝a3，2．a(chǎn)1→2a1﹣12→12＝a1+6＝a3，3．a(chǎn)1→12→+1218＝a3，4．a(chǎn)1→12→2（12）﹣12＝a1+12＝a3，∵a1+6＞a1，a1+12＞a1，∴要使甲獲勝的概率為，即a3＞a1的概率為，∴4a1﹣36＞a1，18≤a1，或4a1﹣36≤a1，18＞a1，解得a1≤12或a1≥24．故〖答案〗為：.16．在中，，，當(dāng)取最大值時(shí)，．〖答案〗〖解析〗設(shè)，，，，，，，，，，，其中，，，，當(dāng)時(shí)取最大值，，，，，即的值為.四、解答題17．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.現(xiàn)有如下兩個(gè)條件：條件①；條件②.請(qǐng)從上述兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，完成本題解答.你選擇的條件是__________.(1)求角；(2)若為邊上一點(diǎn)，且，.當(dāng)?shù)拿娣e取到最大值時(shí)，求角.注：若多選條件，則按選擇第一個(gè)條件解答計(jì)分.解：(1)選條件①：由，及正弦定理，.又為內(nèi)角，所以，從而，即，則，或（舍去），從而.選條件②：由，及正弦定理，.又為內(nèi)角，所以，代入上式即得，而，所以，從而.則，或（舍去），因此，.(2)由為邊上一點(diǎn)，且，從而，即.平方，得，即，由基本不等式，，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)有最大值，從而面積為也有最大值.當(dāng)時(shí)，由余弦定理，可得由正弦定理，，又，所以.

18．已知數(shù)列滿足，(1)判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列？若是，給出證明；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若數(shù)列的前10項(xiàng)和為361，記，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.(1)解：數(shù)列成等比數(shù)列.根據(jù)得；，，，即數(shù)列成等比數(shù)列.(2)由(1)得，，，故由，得.顯然，，單調(diào)遞增，且，故，，.，，,當(dāng)時(shí)，,，綜上，知.19．如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，為棱上異于的點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若三棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值．(1)證明：如圖所示：取中點(diǎn)，連接，則由題意有，因?yàn)橛深}意，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)樗倪呅螢橹苯翘菪危?，所以，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，從而，又因?yàn)椋?，且，所以平?(2)解：由題意不妨設(shè)點(diǎn)到面的距離為，所以三棱錐的體積為，所以解得，如圖所示：設(shè)點(diǎn)到面的距離為，則平面，又因?yàn)槠矫妫矫嫠?，所以為的中位線，即分別為的中點(diǎn)，因?yàn)榈酌鏋橹苯翘菪?，所以，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由題意，所以，由(1)可知平面，故可取平面的一個(gè)法向量為，不妨設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，解得，即可取，不妨設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角的余弦值為.20．從今年起，我國(guó)將于每年5月第四周開展“全國(guó)城市生活垃圾分類宣傳周”活動(dòng)，首屆全國(guó)城市生活垃圾分類宣傳周時(shí)間為2023年5月22日至28日，宣傳主題為“讓垃圾分類成為新時(shí)尚”，在此宣傳周期間，某社區(qū)舉行了一次生活垃圾分類知識(shí)比賽.要求每個(gè)家庭派出一名代表參賽，每位參賽者需測(cè)試A，B，C三個(gè)項(xiàng)目，三個(gè)測(cè)試項(xiàng)目相互不受影響.(1)若某居民甲在測(cè)試過(guò)程中，第一項(xiàng)測(cè)試是等可能的從三個(gè)項(xiàng)目中選一項(xiàng)測(cè)試，且他測(cè)試三個(gè)項(xiàng)目“通過(guò)”的概率分別為.已知他第一項(xiàng)測(cè)試“通過(guò)”，求他第一項(xiàng)測(cè)試選擇的項(xiàng)目是的概率；(2)現(xiàn)規(guī)定：三個(gè)項(xiàng)目全部通過(guò)獲得一等獎(jiǎng)，只通過(guò)兩項(xiàng)獲得二等獎(jiǎng)，只通過(guò)一項(xiàng)獲得三等獎(jiǎng)，三項(xiàng)都沒(méi)有通過(guò)不獲獎(jiǎng).已知居民乙選擇的順序參加測(cè)試，且他前兩項(xiàng)通過(guò)的概率均為，第三項(xiàng)通過(guò)的概率為.若他獲得一等獎(jiǎng)的概率為，求他獲得二等獎(jiǎng)的概率的最小值.解：(1)記事件“第一項(xiàng)測(cè)試選擇了項(xiàng)目”，“第一項(xiàng)測(cè)試選擇了項(xiàng)目”，“第一項(xiàng)測(cè)試選擇了項(xiàng)目”，記事件“第一項(xiàng)測(cè)試合格”，由題意知，，，又事件互斥，則，即，所以在居民甲第一項(xiàng)測(cè)試“合格”的條件下，他第一個(gè)項(xiàng)目選擇了的概率為：，即已知居民甲第一項(xiàng)測(cè)試“合格”，他第一項(xiàng)測(cè)試選擇的項(xiàng)目是的概率是.（2）由居民乙獲一等獎(jiǎng)的