2024年高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（全國(guó)乙卷）（理科）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12024年高考第一次模擬考試（全國(guó)乙卷）（理科）數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗由，得，所以，故選：A.2．已知集合，則（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榧?，所以，又，所?故選：C3．下列條件中，為“關(guān)于x的不等式對(duì)恒成立”的充分不必要條件的有（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗若關(guān)于x的不等式對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于恒成立，故滿足要求，當(dāng)時(shí)，原不等式恒成立當(dāng)且僅當(dāng)，解得，綜上所述，若關(guān)于x的不等式對(duì)恒成立，則當(dāng)且僅當(dāng)，而選項(xiàng)中只有是的充分不必要條件.故選：B.4．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．是函數(shù)的一個(gè)周期C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．當(dāng)時(shí)，的最小值為1〖答案〗C〖解析〗選項(xiàng)A：易知函數(shù)的定義域?yàn)?，即，所以，所以是奇函?shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以A正確．選項(xiàng)B：，所以是函數(shù)的一個(gè)周期，所以B正確．選項(xiàng)C：根據(jù)，得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C錯(cuò)誤．選項(xiàng)D：．當(dāng)時(shí)，，所以，所以，當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為1，所以D正確．故選：C.5．如圖，在矩形中，已知為邊的中點(diǎn)．將沿翻折成，若為線段的中點(diǎn)，給出下列說(shuō)法：①翻折到某個(gè)位置，可以使得平面；②無(wú)論怎樣翻折，點(diǎn)總在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)．則（

）．A．①和②都正確 B．①和②都錯(cuò)誤C．①正確，②錯(cuò)誤 D．①錯(cuò)誤，②正確〖答案〗D〖解析〗對(duì)①：假設(shè)平面，平面，則，則，，故不垂直，假設(shè)不成立，①錯(cuò)誤；對(duì)②：取中點(diǎn)，連接，為線段的中點(diǎn)，則，則在以為球心，半徑為的球上，②正確；故選：D.6．如圖，在某城市中，?兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中???是道路網(wǎng)中位于一條對(duì)角線上的個(gè)交匯處．今在道路網(wǎng)?處的甲?乙兩人分別要到?處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)?處為止．則下列說(shuō)法正確的是（

）A．甲從到達(dá)處的方法有種B．甲從必須經(jīng)過(guò)到達(dá)處的方法有種C．甲?乙兩人在處相遇的概率為D．甲?乙兩人相遇的概率為〖答案〗C〖解析〗A選項(xiàng)，甲從M到達(dá)N處，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，則甲從M到達(dá)N處的方法有種，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，甲經(jīng)過(guò)到達(dá)N處，可分為兩步：第一步，甲從M經(jīng)過(guò)需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法數(shù)為種；第二步，甲從到N需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法數(shù)為種，故甲經(jīng)過(guò)到達(dá)N的方法數(shù)為種，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，甲經(jīng)過(guò)的方法數(shù)為種，乙經(jīng)過(guò)的方法數(shù)也為種，∴甲?乙兩人在處相遇的方法數(shù)為種，故甲、乙兩人在處相遇的概率為，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，甲?乙兩人沿最短路徑行走，只可能在、、、處相遇，若甲?乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過(guò)處，則甲的前三步必須向上走，乙經(jīng)過(guò)處，則乙的前三步必須向左走，兩人在處相遇的走法種數(shù)為1種；若甲?乙兩人在處相遇，由C選項(xiàng)可知，走法種數(shù)為81種；若甲?乙兩人在處相遇，甲到處，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走，乙到處，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走，∴兩人在處相遇的走法種數(shù)為種；若甲?乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過(guò)處，則甲的前三步必須向右走，乙經(jīng)過(guò)處，則乙的前三步必須向下走，兩人在處相遇的走法種數(shù)為1種；故甲?乙兩人相遇的概率，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：C．7．已知函數(shù)．若，，且在上恰有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍為（

）A．(0，] B．(，] C．(，] D．(，]〖答案〗B〖解析〗由得，，所以，即，，因?yàn)椋?，，因?yàn)樵谏锨∮?個(gè)零點(diǎn)，所以①，無(wú)解，②，解得，綜上，實(shí)數(shù)ω的取值范圍為，故選：B.8．已知實(shí)數(shù)滿足，其中，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗由已知可得，，則不等式為.作出可行域設(shè)，，則表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率.由圖象可知，直線的斜率最小，的斜率最大.聯(lián)立可得，，所以，.聯(lián)立可得，，所以，.所以，.根據(jù)不等式的性質(zhì)，可知，所以，.故選：D.9．如圖，某城市有一條公路從正西方通過(guò)市中心后轉(zhuǎn)向東北方，為了緩解城市交通壓力，現(xiàn)準(zhǔn)備修建一條繞城高速公路，并在上分別設(shè)置兩個(gè)出口，若部分為直線段，且要求市中心與AB的距離為20千米，則AB的最短距離為（

）A．千米 B．千米C．千米 D．千米〖答案〗D〖解析〗在中，，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，設(shè)，則，又到的距離為20千米，所以，，故（時(shí)取等號(hào)），所以，得，故選：D.10．若函數(shù)既有極大值也有極小值，則錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)椋?，得，因?yàn)楹瘮?shù)既有極大值也有極小值，所以函數(shù)在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而，所以方程有兩個(gè)不等的正根，所以，所以，所以，即．故BCD正確，A錯(cuò)誤．故選：A．11．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，若橢圓上恰好有個(gè)不同的點(diǎn)，使得為等腰三角形，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗如下圖所示：

（1）當(dāng)點(diǎn)與橢圓短軸的頂點(diǎn)重合時(shí)，是以為底邊的等腰三角形，此時(shí)，有個(gè)滿足條件的等腰；（2）當(dāng)構(gòu)成以為一腰的等腰三角形時(shí)，則或，此時(shí)點(diǎn)在第一或第四象限，由對(duì)稱性可知，在每個(gè)象限內(nèi)，都存在一個(gè)點(diǎn)，使得是以為一腰的等腰三角形，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則，其中，則，或，由可得，所以，，解得，由可得，所以，，解得，綜上所述，該橢圓的離心率的取值范圍是.故選：D.12．已知，且，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗由題知，，記，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故比較的大小關(guān)系，只需比較的大小關(guān)系，即比較的大小關(guān)系，記，則，記，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以.故選：D第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題13．已知雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為.〖答案〗〖解析〗圓即，圓心為，半徑，雙曲線的漸近線方程為，依題意，即，又，所以，所以離心率.故〖答案〗為：14．在中，過(guò)重心的直線交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)（、為不同兩點(diǎn)），且，，則的取值范圍為.〖答案〗〖解析〗由題意，，延長(zhǎng)交于，則是中點(diǎn)，,又，，所以，又三點(diǎn)共線，所以，，，設(shè)，則，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，，又，即，所以的取值范圍是，故〖答案〗為：，

15．在中，，，當(dāng)取最大值時(shí)，．〖答案〗〖解析〗設(shè)，，，，，，，，，，，其中，，，，當(dāng)時(shí)取最大值，，，，，即的值為.16．已知四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上.若該四棱錐體積的最大值為，則該球的體積為.〖答案〗〖解析〗若四棱錐體積最大，需滿足四棱錐底面積最大，并且高也最大，先求底面積最大；

由圖可知：,若使四邊形面積最大，則四邊形是正方形，此時(shí)四棱錐是正四棱錐;所以若四棱錐體積的最大值為，則此時(shí)四棱錐一定是正四棱錐，并且四棱錐的底面和頂點(diǎn)一定不在球的大圓同側(cè).因?yàn)椋O(shè)在保證底面是正方形的前提下，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是，四棱錐的高為，外接球的半徑為,所以.此時(shí)四棱錐的體積為：由圖可知：在中，，整理得：，所以，即：令其中，所以，即，所以，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上，在上，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以此時(shí)球的體積為故〖答案〗為：.三、解答題（一）必考題17．當(dāng)前，新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革蓬勃興起，以區(qū)塊鏈為代表的新一代信息技術(shù)迅猛發(fā)展，現(xiàn)收集某地近6年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表：年份201720182019202020212022編號(hào)123456企業(yè)總數(shù)量（單位：百個(gè)）5078124121137352(1)若用模型擬合與的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出與的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)為了促進(jìn)公司間的合作與發(fā)展，區(qū)塊鏈聯(lián)合總部決定進(jìn)行一次信息化技術(shù)比賽，邀請(qǐng)甲、乙、丙三家區(qū)塊鏈公司參賽．比賽規(guī)則如下：①每場(chǎng)比賽有兩個(gè)公司參加，并決出勝負(fù)；②每場(chǎng)比賽獲勝的公司與未參加此場(chǎng)比賽的公司進(jìn)行下一場(chǎng)的比賽；③在比賽中，若有一個(gè)公司首先獲勝兩場(chǎng)，則本次比賽結(jié)束，該公司獲得此次信息化比賽的“優(yōu)勝公司”．已知在每場(chǎng)比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，若首場(chǎng)由甲乙比賽，求甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率．參考數(shù)據(jù)：，其中，參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為解：(1)令，，則，，所以，所以；(2)設(shè)甲公司獲得“優(yōu)勝公司”為事件，則，所以甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率為．18．如圖，已知四邊形是矩形，平面，，，點(diǎn)M，N分別在線段上．

(1)求證：直線平面．(2)是否存在M，N，使得？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(1)證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以．又底面為矩形，，又，、平面，所以平面?2)解：以A為原點(diǎn)，AP為z軸，AB為x軸，AD為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

所以，，，，，令，，得，所以，根據(jù)，則，所以，取的方向向量為，設(shè)平面的法向量為，，，根據(jù)，取，得，所以，即直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）數(shù)列中，，對(duì)任意正整數(shù)n都有.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，證明：①；②.(1)解：因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，從而，則.(2)證明：①因?yàn)?，所以；②由①得，設(shè)，則，兩式相減得，即，從而，故.20．已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若0是函數(shù)的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：(1)由，，則，所以，即切線斜率為，又，則切點(diǎn)為，切線方程為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(2)根據(jù)題意得，，則．由0為的極小值點(diǎn)，可知．設(shè)，則．（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以0是的極小值點(diǎn)，符合題意.（ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，，，所以存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以0是的極小值點(diǎn)，符合題意.（ⅲ）當(dāng)時(shí)，，且在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增.又，所以，單調(diào)遞增，不符合題意．（ⅳ）當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，所以存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以0是的極大值點(diǎn)，不符合題意．綜上，的取值范圍是.21．已知點(diǎn)在拋物線上，為拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，不垂直軸，為焦點(diǎn)，且滿足.(1)求的值，并證明：線段的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)；(2)設(shè)（1）中定點(diǎn)為，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線的斜率.解：(1)將點(diǎn)代入拋物線方程，可得，解得，所以拋物線方程為，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程，消去y得，由韋達(dá)定理得：，根據(jù)拋物線定義：，可得，此時(shí)，解得或，設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，可得的垂直平分線方程為：，將代入整理得：，故的垂直平分線過(guò)定點(diǎn).(2)由(1)可得，且點(diǎn)到直線的距離，則的面積為，可得，設(shè)，設(shè)，則令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí)，的面積取最大值，此時(shí)，即

.（二）選考題選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22．已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線過(guò)點(diǎn)．(1)求曲線的普通方程；(2)若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且，求直線的傾斜角．解：(1)由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），得，，，即（為焦點(diǎn)在軸上的橢圓）.(2)設(shè)直線的傾斜角為，直線過(guò)點(diǎn)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將直線的參數(shù)方程代入，可得，，設(shè)，兩點(diǎn)所對(duì)的參數(shù)為，，曲線與軸交于兩點(diǎn)，在曲線的內(nèi)部，一正