2023-2024學(xué)年四川省瀘縣高二年級(jí)下冊(cè)開學(xué)考試數(shù)學(xué)（文）試題（含答案）

2023-2024學(xué)年四川省瀘縣高二下冊(cè)開學(xué)考試數(shù)學(xué)（文）試題

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.某校640名畢業(yè)生學(xué)生，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法，抽取32人做問卷調(diào)查，將640人按

1,2,640隨機(jī)編號(hào)，則抽取的32人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間［161,380］的人數(shù)為

A.10B.11C.12D.13

【正確答案】B

【詳解】使用系統(tǒng)抽樣方法，從640人中抽取32人，即從20人抽取1人.

,從編號(hào)161?380共220人中抽取空11人.

20

故選B.

2.不等式二<0的解集為（）

x+4

A.{x∣-4<x<2}B.{x∣-2<x<4}

C.{x∣x>4或x<2}D.{x∣x>2或x<-4}

【正確答案】A

【分析】先將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，然后求解即可

X—2

【詳解】由——<0,得（x—2）（x+4）<0,

x+4

解得-4<x<2,

所以原不等式的解集為{x∣-4<x<2},

故選：A

3.已知?jiǎng)t下列說法中一定正確的是（）

11?

A?m9>n9B.—<—C.mn>rn~D.

mn

yj-m<y［n

【正確答案】B

【分析】AD選項(xiàng)，舉出反例即可；BC選項(xiàng)，利用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷.

【詳解】當(dāng)加=T,〃=2時(shí)，滿足加<0<拉，此時(shí)〃<∕“2,故A錯(cuò)誤；因?yàn)閳F(tuán)<0<〃，

所以一<O,—>O>一<—>B正確；因?yàn)椤ǎ?lt;0<〃，所以γnn<O,加?>O,故mn<tn2>

mnmn

C錯(cuò)誤；當(dāng)∕n=-2,〃=1時(shí)，滿足〃？<0<〃，J二￡=J5，JG=1，所以J——>，

D錯(cuò)誤.

故選：B

4.命題“所有奇數(shù)的立方都是奇數(shù)”的否定是（）

A.所有奇數(shù)的立方都不是奇數(shù)

B.存在一個(gè)奇數(shù)，它的立方是偶數(shù)

C.不存在一個(gè)奇數(shù)，它的立方是偶數(shù)

D.不存在一個(gè)奇數(shù)，它的立方是奇數(shù)

【正確答案】B

【分析】利用全稱命題的否定解答即可.

【詳解】由于命題“所有奇數(shù)的立方是奇數(shù)”是一個(gè)全稱命題，

所以命題“所有奇數(shù)的立方是奇數(shù)”的否定是“存在一個(gè)奇數(shù)，它的立方是偶數(shù)”.

故選：B

5.某學(xué)校舉辦班級(jí)間籃球比賽，甲、乙兩班得分情況如莖葉圖所示，甲、乙兩班得分的中

位數(shù)分別是X甲，Xz,則下列說法正確的是（）

甲II乙

9189

753249

A.∕<X乙，甲比乙成績穩(wěn)定

B.X∣∣∣<X乙>乙比甲成績穩(wěn)定

C.X甲>%乙>甲比乙成績穩(wěn)定

D.海>X乙，乙比甲成績穩(wěn)定

【正確答案】C

【分析】求出甲、乙兩班得分的中位數(shù)，可比較X中，Xz.的大小，根據(jù)甲乙兩班得分的分布

情況，可判斷其穩(wěn)定性，

【詳解】甲班得分情況從小到大排列為：19,23,25,27,31,其中位數(shù)9=25；

乙班得分情況從小到大排列為：18,19,24,29,35,其中位數(shù)X乙=24,

所以X甲＞x乙，

又因?yàn)橐业娜~呈多峰；而甲的葉呈單峰，所以乙的方差比甲的大，所以甲比乙穩(wěn)定.

故選：C.

x-y+6≥O

6.不等式組＜x+yNO表示的平面區(qū)域的面積為(〉

x＜3

A.36B.36√2C.72D.72√2

【正確答案】A

【分析】

x-y+6≥0

作出不等式組＜x+y≥O表示的平面區(qū)域?yàn)橹苯侨切?8C及其內(nèi)部的部分，求得A、

x≤3

B、C各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可得直角三角形力BC的面積.

x-y+6＞0

【詳解】不等式組＜x+y20表示的平面區(qū)域?yàn)橹苯侨切瘟C及其內(nèi)部的部分，

x≤3

聯(lián)立解得｛；］；，可得點(diǎn)4(一3,3),同理可得8(3,—3),C(3,9),

22

∣5C∣=1J(3-3)+(-3-9)=12，點(diǎn)A到直線x=3的距離為√=∣-3-3∣=6,

的面積為中CIXdiXl2×6=36?

x-y+6≥O

因此，不等式組卜+y≥0表示的平面區(qū)域的面積為36.

X≤3

故選：A.

本題主要考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.命題“3xe[l,2],χ2+χ一ɑ≤o，，為假命題，則。的取值范圍為()

A.(-00,2)B.(-∞,6)

C.(-8,2]D.(f,6]

【正確答案】A

【分析】由于命題是假命題，可得其否定為真命題，然后可以建立關(guān)系即可求解.

【詳解】，命題"mx∈[l,2],V+x—qvo，，為假命題，

該命題的否定"Wx∈[1,2],χ2+%—α>0”為真命題，

即f+χ-α>o在χe[ι,2]上恒成立，

[V=/+'-&在[1,2]單調(diào)遞增，

?‰in=2-a>0,解得α<2.

故選：A.

本題考查根據(jù)命題的真假求參數(shù)范圍，屬于中檔題.

8.已知圓C過點(diǎn)Z(2,0),8(0,2√Σ),且圓心C在直線V=O上，則圓C的方程為

A.(x-l)2+/=9B.(x-2)2+/=16

C.(X+1)2+∕=9D.(X+2)2+∕=16

【正確答案】C

【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求圓的方程.

22

(2-π)=rQ=-I

【詳解】設(shè)圓的方程為（X—ap+V=/,由題意可得.2,，解得＜

r2=9

a2+(2√2)I=r~

則圓的方程為（X+1）2+V=9.

故選：C.

9.焦點(diǎn)在X軸上的橢圓￡+4=1的離心率是則實(shí)數(shù)加的值是（）

m?

93

A.4B.一C.1D.一

44

【正確答案】A

【分析】

由題意可得/=加,/=3,則c2=q2—〃=掰一3,再由離心率是:，可得上二=一,

2m4

從而可求出實(shí)數(shù)加的值

【詳解】解：由題意可得=3,則￠2=/一〃=加—3,

1所以￡■?

因?yàn)閑二￡二二一，

a2a2~4

~.tn—31

所以-----=二一,解得m=:4,

m4

故選：A

1L

10.已知實(shí)數(shù)Q>0,b>0,且一+26=2,則一的最大值為（）

aa

412

B-CD√τ∑

A.9-23-

【正確答案】B

【分析】

由1+26=2得：-=2-2b,-=b(2-2b)=2b(?-b],利用基本不等式即可求解.

aaa

【詳解】由工+得：-

26=22-2b,

aa

所以2=b(2-2b)=2b(l-b)≤2?

2

b=l-ba=1

當(dāng)且僅當(dāng)41CLC

即《,1時(shí)等號(hào)成立,

b--

Ia2

所以2的最大值為L

a2

故選：B

本題主要考查了基本不等式求最值，屬于中檔題.

11.已知點(diǎn)尸為拋物線C：χ2=2py(p>0)上一點(diǎn)，且點(diǎn)P到X軸的距離比它到焦點(diǎn)的距

離小3,則P=()

A.3B.6C.8D.12

【正確答案】B

【分析】

由拋物線的定義可知點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，可得K=3,從而得出答案.

2

【詳解】由題得，拋物線的準(zhǔn)線方程為y=,

由拋物線的定義可知，點(diǎn)尸到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，

所以點(diǎn)P到X軸的距離比它到準(zhǔn)線y=-g的距離小3,

于是得5=3,所以p=6.

故選：B

本題考查拋物線的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

12.已知拋物線C:/=4χ的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線與X軸的交點(diǎn)為K,尸為拋物線C上一點(diǎn)，

PF

且「在第一象限，當(dāng)H取得最小值時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為()

1K

A.B,(1,2)C.(2,2√2)D.(4,4)

【正確答案】B

【分析】

過點(diǎn)尸作PE垂直于拋物線C的準(zhǔn)線，垂足為點(diǎn)E,由拋物線的定義可得IpEl=IpFI,可

得中出附兩L一附網(wǎng)COSNKPE=coSNPKF,結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線PK與拋物線相切時(shí),

?PF?,.

NPKF最大,則匕4最小，設(shè)直線PK的方程為X=叩一1(機(jī)>0),將該直線方程與拋

?pκ?

物線C的方程聯(lián)立，利用A=O,求出方程組的解，即可得出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【詳解】如下圖所示:

過點(diǎn)尸作PE垂直于拋物線C的準(zhǔn)線/,垂足為點(diǎn)E,由拋物線的定義可得IPEl=IP可，

拋物線。的準(zhǔn)線為Lx=-I,則點(diǎn)K(T,0),

PF?PE?

由題意可知，P￡〃x軸，則NKPE=NPKF,?τπ=?τπ=cosΛKPE=cosZPKF,

?pκ??iκ?

P/

由圖形可知，當(dāng)直線PK與拋物線相切時(shí)，NPKF最大，則舄最小,

?pκ?

X=my-1

設(shè)直線PK的方程為x=my-l>0),將該直線方程與拋物線C的方程聯(lián)立《

y2=4x

消去X得2—4my+4=0,A=I6m2—16=0，:〉0，解得〃？=1,則夕？—4y+4=0,

解得y=2,此時(shí)，x=-=↑,因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2).

故選：B.

本題考查根據(jù)拋物線上線段比的最值來求點(diǎn)的坐標(biāo)，涉及拋物線定義的轉(zhuǎn)化，解題的關(guān)鍵就

是要抓住直線與拋物線相切這一位置關(guān)系來分析，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.在定圓上隨機(jī)取三點(diǎn)4、B、C,則-8C是銳角三角形的概率等于.

【正確答案】-##0.25

【分析】根據(jù)題意，設(shè)N4N8,NC對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)分別為X,%兀一x-y,得到試驗(yàn)的全部

結(jié)果構(gòu)成事件：5={(x,y)∣0<x<π,O<y<π,O<x+y<π),再根據(jù)記“是銳角

,作圖，可得其概率

的值.

【詳解】設(shè)N4NB,ZC對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)分別為x,y,π-x-y,

則試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成事件：5=∣(x,?)∣0<x<π,O<y<π,O<x+j^<π),

、πππ∣

記““8C是銳角三角形”為事件A,則/=<(x,y)Q<x<-,O<y<-,-<x+y<π>9

如下圖陰影部分,

結(jié)合圖像，/BC是銳角三角形的概率為P(∕)=

πX

故一

4

14.已知M(4,2)是直線/被橢圓f+4y=36所截得的線段48的中點(diǎn)，則直線/的方程為

【正確答案】x+2y-8=0.

【詳解】由題意得，斜率存在，設(shè)為k,則直線/的方程為y-2=%G-4),即kχ-y÷2-

4Λ=0,

代入橢圓的方程化簡得(1+4A2)X2+(16k-32A2)x+64A2-64k-20=0.

.?㈤+X2=32K-16乜,解得Q-故直線/的方程為χ+2y-8=0,

1+4左22

故x+2y-8=0.

15.已知直線y=左(x+4)與曲線y=有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則左的取值范圍是

【正確答案】0,與

【分析】直線V=左(X+4)過定點(diǎn)P(-4,0),曲線y=?√4-χ2表示圓心為原點(diǎn),半徑為2

的圓的上半部分.畫出圖形，結(jié)合圖形可得所求的范圍.

【詳解】由題意得，直線J=左(x+4)過定點(diǎn)尸(-4,0),曲線y=?√4-χ2表示圓心為原點(diǎn),

半徑為2的圓的上半部分(包括與工釉的交點(diǎn))，畫出圖形如下圖所示.

當(dāng)直線y=k{x+4),即直線自一丁一4人=0與圓相切時(shí),

則有懸=2,解得儲(chǔ)字

結(jié)合圖形可得當(dāng)直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，則有0≤A<

.?.實(shí)數(shù)人的取值范圍是「0,蟲）.

解決曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)、方程根的個(gè)數(shù)等關(guān)于“個(gè)數(shù)”的問題時(shí)，一般要結(jié)合圖形（或函數(shù)的圖

象）求解，即利用數(shù)形結(jié)合的方法求解，考查數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

16.雙曲線—^=l（α>01>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳、鳥,尸是E左支上一點(diǎn)，

且IPEI=閨用，直線尸入與圓x?+/=/相切，則E的離心率為.

【正確答案】-

3

設(shè)直線PFl與圓χ2+y2=a2相切于點(diǎn)M,

則IoM=。，PG，

取PFl的中點(diǎn)N,連接NE,

由于IPFh怛閭=2c,則NF2助,INH=IN61,

由WF=2∣OΛ∕∣=2α,

則INH=26,

即有IPKl=46,

由雙曲線的定義可得IPGI-IP工1=2。，

即4b-2c=2。，即26=c+α,

4〃=(c+α)2,即4(。2-/)=(c+q)2,4(c-α)=c+α,即3c=54,

則e=%故答案為之.

33

三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.己知圓心為C(4,3)的圓經(jīng)過原點(diǎn)。

(1)求圓C的方程；

(2)求與直線3x-4y+15=0平行，且與圓C相切的直線方程.

【正確答案】(1)(x—4)2+3-3)2=25(2)3x-4γ±25=0

【分析】(1)由題意求出半徑I。Cl后即可得解；

(2)設(shè)直線方程為3x-4y+c=0,利用直線與圓相切的性質(zhì)d=r列出方程即可得解.

【詳解】(1)圓的半徑為IOCl=g+42=5

從而圓。的方程為(X—4)2+(y-3)2=25

(2)設(shè)直線方程為3x-4y+c=0,

???圓心為C(4,3),半徑為5,直線與圓相切，

∣3χ4—4x3+c∣

.?.圓心到直線的距離為d=—一-=5

√32+42

.*.∣c∣=25,c=±25,方程為3x-4y±25=0

本題考查了圓的方程的確定和直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

18.某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間

>.[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這IOO名學(xué)生語文成績的平均數(shù)與中位數(shù)?

2

【正確答案】(1)α=0.005(2)平均數(shù)為73,中位數(shù)為.71—

3

【分析】

(1)由頻率和為1求解即可；

(2)以各區(qū)間中點(diǎn)值代表各組的取值,進(jìn)而求得平均數(shù)；求出從左邊開始小矩形的面積的和

為0.5對(duì)應(yīng)的橫軸的值即為中位數(shù)

【詳解】(1)由頻率分布直方圖知(2α+0.02+0.03+0.04)χl0=l,

解得α=0.005

(2)估計(jì)這100名學(xué)生語文成績的平均分為：

55×0.005×10+65×0.04×10+75×0.03×10+85×0.02×10+95×0.005×10=73

由⑴，設(shè)中位數(shù)為X,則0.005x10+0.04x10+0.03(X-70)=0.5

22

解得X=71—,故估計(jì)中位數(shù)為.71—

33

本題考查頻率的性質(zhì),考查利用頻率分布直方圖求平均數(shù)和中位數(shù),考查數(shù)據(jù)處理能力

19.已知函數(shù)/(x)=χ2-(α-l)χ+α-2,α∈R.

(1)若函數(shù)/(尤)的圖象關(guān)于直線X=—1對(duì)稱，求實(shí)數(shù)。的值，并寫出函數(shù)I=J/(x)的

單調(diào)區(qū)間；

(2)解關(guān)于X的不等式/(x)≤X-l.

【正確答案】(1)a=T;單調(diào)遞增區(qū)間為[1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,-3]

(2)答案見解析.

【分析】(I)利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸可求得α=T；利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可求得

y=J∕(χ)的單調(diào)區(qū)間;

(2)將/(x)≤X-l化簡為一元二次不等式，確定其對(duì)應(yīng)方程的兩根，并討論兩根的大小,

從而確定不等式解集.

【小問1詳解】

由題意函數(shù)/(x)=χ2—(α-l)x+α-2,q∈R,

由函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線X=-I對(duì)稱，可得-=T,則α=-l,

此時(shí)y=Jχ2+2χ-3,定義域?yàn)?-8,—3]3L+00)，

N=X2+2χ—3在[-l,+∞)單調(diào)遞增，y=F+2χ—3在(→≈,T]單調(diào)遞減，

故尸G+2χ-3的遞增區(qū)間為[l,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為.(-∞,-3]

【小問2詳解】

不等式/(x)≤X-1即χ—-(α—1)X+α-2≤X-1化簡為：[x—(a-—1)≤0,

對(duì)于y=[x-(a-l)](x-l),其圖象拋物線開口向上，且[x-(a-l)](X-I)=O有兩根1

和Q—1,

①“=2時(shí)，此時(shí)兩根相等，則[x-(a-l)](X-I)WO的解集為｛1｝.

②"2時(shí)，jlWa-l<l,則不等式解集為["1,1]?

③。>2時(shí)，此時(shí)a-l>l,則Xe[l,a-1].

綜上所述，當(dāng)a<2時(shí)，不等式的解集為[a-l,l];當(dāng)a=2時(shí)，不等式的解集為｛1｝；

當(dāng)a>2時(shí)，不等式的解集為

20.已知點(diǎn)4-2,0),5(3,0),動(dòng)點(diǎn)尸(XJ)滿足.」?麗=/_6

(1)求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡；

(2)已知點(diǎn)心0),若曲線E上一點(diǎn)M到X軸的距離為卜求Fl的值.

【正確答案】(1)焦點(diǎn)在X軸，開口向右的拋物線；(2)y

【分析】（1）計(jì)算得到莎?麗=χ2-χ-6+∕=χ2-6,化簡得到答案.

（2）計(jì)算得到XM??,再計(jì)算IMFI得到答案.

【詳解］⑴PA=（-2-x,-y）,PB^（3-x,-y）,.?.PAPB=x2-x-6+y2^x2-6,

即：V=X點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在X軸，開口向右的拋物線.

（2）由題意可得：加=±；代入方程求得X,”=；.

?MF?=X+^-=-+-=-.

Λ'wU2442

本題考查了軌跡方程，拋物線焦半徑公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力和計(jì)算能力.

21.如圖，在三棱錐P-ZBC中，已知AABC和APBC均為正三角形，。為BC的中點(diǎn).

⑵若AB=2,PA=也,求三棱錐P-ZBC的體積.

【正確答案】（1）證明見解析；

⑵叵

2

【小問1詳解】

因?yàn)锳48C和APBC為正三角形，。為BC的中點(diǎn)，

所以/D，8C,/Y)_LBC,

又4DIPD=D,

所以BC人平面尸Z0

【小問2詳解】

因?yàn)锳48C和APBC為正三角形，且48=2,

所以AD=PD=2AB=也,

2

又PA=M，

所以正三角形AP/。的面積為S=￥、(JJy=乎，

所以VP-ABC~2%ΛW=2X§XBD-SΛPAD=2×-×1×=??

22.已知?jiǎng)訄A〃過點(diǎn)耳(-2,0),且動(dòng)圓M內(nèi)切于定圓B：(x-2)、/=32,記