2023屆上海市長寧區(qū)高三二模數(shù)學試卷及答案

長寧區(qū)2022學年第二學期高三數(shù)學教學質(zhì)量調(diào)研試卷

考生注意：

1.答題前，務必在答題紙上將姓名、學校、班級等信息填寫清楚，并貼好條形碼.

2.解答試卷必須在答題紙規(guī)定的相應位置書寫，超出答題紙規(guī)定位置或寫在試卷、草稿紙上

的答案一律不予評分.

3.本試卷共有21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘.

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分）考

生應在答題紙的相應位置直接填寫結果.

1.已知集合力={1,2,3,4,5},8={2,4,6,8},則=.

2.若“x=l”是“x>a”的充分條件，則實數(shù)。的取值范圍為.

3.已知事件力與事件8相互獨立，如果尸（4）=0.5,尸（4D研=04,那么尸（8）=.

4.當xe[a,+8）時，基函數(shù)>=/的圖像總在、=小的圖像上方，則a的取值范圍為.

5.已知圓錐側面展開圖的圓心角為空，底面周長為2%.則這個圓錐的體積為

3

6.若函數(shù)y=ln（l+x）-aln（l-x）為奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為.

7.設隨機變量X服從正態(tài)分布N（2Q2）,若P（X4l）=0.2,則尸（X<3）=.

8.某小學開展勞動教育，欲在圍墻邊用柵欄圍成一個2平方米的矩形植物種植園，矩形的一

條邊為圍墻，如圖.則至少需要米柵欄.-------------------

9.已知函數(shù)y=f（x）,y=g（x）滿足/（》）+咫（刀）=/一1,

若/⑴=1,則/'⑴+g'（l）=—.

10.若對任意xe[l,2],均有k2_小卜+4=卜2+耳，則實數(shù)a的取值范圍為.

11.已知空間向量a、B、c、（/滿足：,一閘=1,忸一（?卜2,（a—刃）〃（加一c）,（a—傘一"）=0,

則J-d\的最大值為.

12.己知耳、外是雙曲線「:l（a>0,6>0）的左、右焦點，/是「的一條漸近線，以鳥為

a2b2

圓心的圓與/相切于點尸.若雙曲線「的離心率為2,貝UsinN歷居=.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）

每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.

13.在下列統(tǒng)計量中，用來描述一組數(shù)據(jù)離散程度的量是（）

A.平均數(shù)B.眾數(shù)C.百分位數(shù)D.標準差

14.設復平面上表示2-i和3+4i的點分別為點N和點B,則表示向量方的復數(shù)在復平面上所

對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

15.已知正方體NBCD-4與GD，點尸在直線上，。為線段8。的中點.則下列說法不正確

的是（）”，

A.存在點尸，使得尸4G；（

B.存在點P,使得PQUA.B；

C.直線尸0始終與直線CG異面；

D.直線尸。始終與直線8G異面.（>-r>?

16.設各項均為實數(shù)的等差數(shù)列｛q｝和｛"｝的前〃項和分別為S,,和7；,

對于方程①2023/-邑您”+.023=0，②f-qx+4=0,③W+a2O2｝x+b2O23=0.

下列判斷正確的是（）

A.若①有實根，②有實根，則③有實根；B.若①有實根，②無實根，則③有實根；

C.若①無實根，②有實根，則③無實根D.若①無實根，②無實根，則③無實根

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要

的步驟.

17.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）.

盒子中有5個乒乓球，其中2個次品，3個正品.現(xiàn)從中不放回地隨機摸取2次小球，

每次一個.

（1）記“第二次摸出的小球是正品”為事件8,求證：2（8）=；;

（2）用X表示摸出的2個小球中次品的個數(shù)，求X的分布和期望.

18.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）.

如圖，在四棱錐尸-/8C。中，底面為直角梯形，ADHBC,ABVBC,AB=AD,

BC=2AB,E、F分別為棱8C、5尸中點.

（1）求證：平面4EF//平面DCP；

（2）若平面P8C_L平面/8CZ）,直線4戶與平面尸8c所成的角為45。，且CP_LP8,

求二面角尸-4B-C的大小.n

19.(本題滿分16分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分).

某地新能源汽車保有量符合阻滯型增長模型x(f)=，其中x(f)為自統(tǒng)計之日起,

經(jīng)過f年后該地新能源汽車保有量，力和r為增長系數(shù)，"為飽和量.

下表是該地近6年年底的新能源汽車的保有量(萬輛)的統(tǒng)計數(shù)據(jù):

年份20182019202020212022

t01234

保有量x(/)9.612.917.123.231.4

假設該地新能源汽車飽和量M=290萬輛.

(1)若,?=0.31,假定2018年數(shù)據(jù)滿足公式x(r)=M“,計算兀的值(精確到0.01)

并估算2023年年底該地新能源汽車保有量(精確到0.1萬輛)；

(2)設夕=￥7-1,則Inn與，線性相關，請依據(jù)以上表格中相關數(shù)據(jù)，利用線性回歸分

析確定2和，?的值(精確到0.01).

附：線性回歸方程y=晟+3中回歸系數(shù)計算公式如下：

a=—-------------,b=y-ax

￡”)2

/=1

20.(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分).

己知拋物線r：/=4x的焦點為產(chǎn)，準線為/,直線/'經(jīng)過點尸且與「交于點月、B.

(1)求以尸為焦點，坐標軸為對稱軸，離心率為』的橢圓的標準方程；

2

(2)若|/8|=5,求線段ZB的中點到x軸的距離；

(3)設。為坐標原點，河為「上的動點，直線“〃、8M分別與準線/交于點C、D.

求證：瓦?歷為常數(shù).

3

21.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）.

（1）求簡諧振動y=sinx+cosx的振幅、周期和初相位夕何w[0,24））；

（2）若函數(shù)y=sin；x+；cosx在區(qū)間（0,陽）上有唯一的極大值點，求實數(shù)機的取值范圍；

（3）設a>0,/（x）=sinax-asinx,若函數(shù)y=/（x）在區(qū)間（0,乃）上是嚴格增函數(shù)，求

實數(shù)a的取值范圍.

4

參考答案

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分)考

生應在答題紙的相應位置直接填寫結果.

1.{2,4}2.(-oo,l)3.0.24.(l,+oo)5.半萬6.1

歷

7.0.88.49.310.[-1,1111.312.--

L」14

二、選擇題(本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分)

每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.

13.D14.A15.C16.B.

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要

的步驟.

17.解：(1)記“第一次摸出的小球是正品”為事件/,

「⑷*=|，PP)=1-1=|,……2分

尸（4（18）=￡=』，尸（Nn0=笑=』.............4分

\110\1歲10

因為尸（8）=尸（8口/）+川8口孫所以尸（8）=1............6分

2]]2

（2）尸丫=0）=與C=之3，尸（X=l）=*CC=士3，P（Z=2）=^C-=—1,……3分

\'C110\，C；5\'C}10

’012、

所以X的分布為331，....5分

<105W,

3314

EfZ]=0x—+lx-+2x—=-.....8分

L1105105

18.解：(1)由己知CE//D4,且C￡=D4,

所以力。CE為平行四邊形，AE//DC,......2分

因為E、尸分別為棱8C、8P中點，

所以EF"CP,.......4分

所以平面/EF//平面。CP........6分

(2)因為平面尸8c，平面ZBCO,且48_L8C,

所以45,平面尸8C,......2分

所以NZP8即是直線“尸與平面P8C所成的角，即4尸8=45。，.......4

因為48J.平面P8C,所以NBIPB,又因為/8_L8C,

5

所以NPBC即是二面角P-NB-C的平面角,6分

因為CP_LP8,所以sinNP8C=----

BC

因為NZP8=45。，AB1PB,所以4B=PB,

所以?詠嘿嘿=；

得NPBC=60°,即二面角尸-4B-C的大小為60。.8分

290

19.解：（1）因為9.6=----；；,所以4=29.21.....3分

l+Ae°

因為x（5）=——=40.3,

''l+29.2e35

所以估計2023年底該地新能源汽車保有量為40.3萬輛....6分

（2）設"=Iny,貝ij“=-rt+InA

t01234

9.612.917.123.231.4

X”）

U3.373.072.772.442.11

2分

t=2,u=2.75,...4分

-2x0.62-0.32+0-0.31-2x0.64…

—r=------------------------------=—0.32,

4+1+0+1+4

所以尸=0.32...6分

ln4=i+/=3.39,所以；1=29.67.....8分

20.解：F（l,0）,1分

22

設橢圓方程為三+4=1（。>6>0）,半焦距為c,

a"b

則c=l,e=—=—,...2分

a2

22

所以Q=2,b=y/a—c=5/3,...3分

22

所以橢圓的標準方程為三+匕=1........4分

43

（2）設/（%,必）,B（x2,y2）,

因為上同=|｛尸|+忸尸|=$+/+2=5,所以再+々=3,...2分

6

設直線N3的方程為夕=%"-1）,

將直線方程代入拋物線方程得％-Q/+4卜+公=0,

所以西+9=2+最■，得陽=2,.......4分

設線段N3的中點（%,盟）,則=+%|=；卜（%+9-2）|=1,

所以線段的中點C到x軸的距離為1……6分

（3）準線方程x=-l,.......1分

設”（西，必），蟲,％），M（%,比）,C（a,必）,D（a,y4）,

直線的斜率為星』=」一，直線8M的斜率為——,

占一不必+為y2+y0

直線4AZ的方程為卜=--—（x-x0）+^0,

必+為

4

直線5A/的方程為歹=-----（x-x0）+>^0,

%+盟

所以必=止3+%=士性，乂=上里，……4分

乂+弘弘+%8+%

設直線AB的方程為工=叼+1,

代入拋物線方程得/-4^-4=0,

所以,為=-4，.......6分

所以=（-4+-%）（-4+%%）=）仍--4仙+%）乳+16

（必+%乂%+%）蘇+（必+%）乂>+必%

=-4.-4（乂+%）％+164=、

火+（必+%）y-4

得歷?麗=1+%%=-3為常數(shù).……8分

21.解：（1）j=V2sin|x+—J

所以振幅為3,周期為2t，初相為為2..................4分

4

7

(2)=sin--sin2—4--,........2分

222

設，=sin二，則y=—*+，+1,

22

i?

當■時，＞取得極大值士，....4分

24

由題意，方程sin1=；在區(qū)間（0,加）上有唯一解，

Ur*1、?冗/W57tzpzi7t57C./i

所以一＜一＜——，得一＜用〈——.....6分

62633

解法二：—cos—X--sinx=cos—x（--sin—x）.......2分

2