2023-2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市綠園區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含詳細(xì)答案解析）

2023-2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市綠園區(qū)九年級(jí)(上)期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.若二次根式廳可在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是()

A.%>—3B.%>3C.%<—3D.x>—3

2.二次函數(shù)y=-4(%-2)2-5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(-2,5)B.(2,5)C.(-2,-5)D.(2,-5)

3,下列二次根式中，能與彘合并的是()

A.728B.724C.VI2D.<8

4.如圖，在△4BC中，DE//BC,AD=9,DB=3,CE=：2,則AE的A

長(zhǎng)為()

B乙----------------------

A.4

B.5

C.6

D.7

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,將點(diǎn)4(3,2)繞原點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)B,則點(diǎn)Byk

的坐標(biāo)為()

A.(-2,3)

B.(-3,2)X

C.(—2,—3)

D.(-1,3)

6.如圖，△48。與4。石尸位似，其位似中心為點(diǎn)O,且。為A。的中點(diǎn)，貝與△DEF的面積比是()

A.2：1B.4：1C.3：1D.9：1

7.電線桿A3直立在水平的地面5C上，AC是電線桿A5的一根拉線，測(cè)得^J~

BC=5,2LACB=52°,則拉線AC的長(zhǎng)為（）

A，tan52。I

"'Bc

C.5?cos52°

*sin52°

8.若拋物線y=%2+"+。的對(duì)稱軸為〉軸，且點(diǎn)尸（2,6）在該拋物線上，則。的值為（）

A.-2B.OC.2D.4

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。

9.J（-2尸=.

1。.計(jì)算：/8-^<18=.

11.已知關(guān)于x的一元二次方程/一a=0有一個(gè)根為％=2,則a的值為.

12.若關(guān)于x的方程/-2x+m=。有實(shí)數(shù)根，則機(jī)的取值范圍為.

13.一個(gè)小球在如圖所示的地板上自由滾動(dòng)，并隨機(jī)停在某塊方磚上，如果每一塊方磚除

顏色外完全相同，那么小球最終停留在黑磚上的概率是.

14.如圖，一拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂?shù)剿娴木嚯x為2米時(shí)，水面寬度為4米；那么當(dāng)水位下降1.5米后,

水面的寬度為米.

三、解答題：本題共10小題，共78分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.（本小題6分）

計(jì)算：小回

16.（本小題6分）

解方程：2/-4x=6-3x.

17.（本小題6分）

某廠一月份產(chǎn)值為64萬(wàn)元，計(jì)劃三月份產(chǎn)值要達(dá)100萬(wàn)元.若每個(gè)月的平均增長(zhǎng)率相同，求平均增長(zhǎng)率是

多少.

18.（本小題7分）

在一個(gè)不透明的盒子中放有三張卡片，分別標(biāo)記為A、3、C,每張卡片除了標(biāo)記不同外，其余均相同.某

同學(xué)第一次從盒子中隨機(jī)抽取一張卡片，卡片放回，第二次又隨機(jī)抽取一張卡片，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖（或列表）

的方法，求兩次抽取的卡片都是A的概率.

19.（本小題7分）

圖①、圖②均為5x5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，AABC

的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.只用無(wú)刻度的直尺，在圖①、圖②中各畫(huà)一個(gè)與AZBC相似（相似比不為1）,且不

全等的三角形.（要求三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）

20.（本小題7分）

如圖，C41AD,ED1AD,點(diǎn)8是線段上的一點(diǎn)，且CB1BE.已知力B=8,AC=6,DE=4.

⑴證明：xABCs^DEB.

(2)求線段2。的長(zhǎng).

21.(本小題8分)

如圖，拋物線y=——2久—3與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)。，拋物線的頂點(diǎn)為C.

(1)求A,B,C,。的坐標(biāo);

(2)求四邊形ABC。的面積.

22.(本小題9分)

角平分線性質(zhì)定理描述了角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離的關(guān)系，小明發(fā)現(xiàn)將角平分線放在三角形中，還可以

得出一些線段比例的關(guān)系.

請(qǐng)完成下列探索過(guò)程:

【研究情景】

如圖1,在AZBC中，乙48c的角平分線交AC于點(diǎn)D.

【初步思考】

⑴若力B=4,BC=7,則瓷=

【深入探究】

(2)請(qǐng)判斷黑和期之間的數(shù)值關(guān)系，并證明;

DCCU

【應(yīng)用遷移】

(3)如圖2,△ABC和△ECD都是等邊三角形，△ABC的頂點(diǎn)A在△EC。的邊EO上，交AB于點(diǎn)F,若

AE=4,AD=2,求ACFB的面積.

圖1圖2

23.(本小題10分)

如圖，在中，Z4=90°,AC=3,AB=4,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度

的速度向終點(diǎn)2運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q為線段AP的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向上作PM14B,且PM=32Q,以P。、PM為邊

作矩形PQNM.設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0)秒.

(1)線段MP的長(zhǎng)為(用含t的代數(shù)式表示).

(2)當(dāng)點(diǎn)N恰好落在邊BC上時(shí)，求f的值.

(3)當(dāng)點(diǎn)N在AABC內(nèi)部時(shí)，設(shè)矩形PQVM與△48c重疊部分圖形的面積為S,求S與/之間的函數(shù)關(guān)系式.

(4)當(dāng)點(diǎn)M恰好落在44BC的角平分線上時(shí)，直接寫(xiě)出t的值.

24.(本小題12分)

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/+bx+c(b、c是常數(shù))經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-3),(2,5).點(diǎn)A在拋物線上，且點(diǎn)A

的橫坐標(biāo)為7n.

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

(2)求點(diǎn)A關(guān)于拋物線y=/+bx+c(b、c是常數(shù))的對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)A的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示).

(3)當(dāng)點(diǎn)A在x軸上方時(shí)，直接寫(xiě)出機(jī)的取值范圍.

(4)若此拋物線在點(diǎn)A及點(diǎn)A左側(cè)部分的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1-2m,求m的值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：若二次根式晝目在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

則x+3>0,

解得：x>-3.

故選：A.

根據(jù)二次根式的概念，形如館(a20)的式子叫做二次根式，進(jìn)而得出答案.

此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握二次根式的定義是解題關(guān)鍵.

2.【答案】D

【解析】解：,?,y=4Q-2)2-5,

?,?頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-5),

故選：D.

由拋物線頂點(diǎn)解析式可求得答案.

本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在了=以久-%)2+左中，對(duì)稱軸

為x=h,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k),

3.【答案】D

【解析】解：A、728=277,故A不符合題意；

B、/24=2<6，故8不符合題意；

C、，豆=2門(mén)，故C不符合題意；

。、78=2/2,故。符合題意.

故選：D.

把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開(kāi)方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根

式，由此即可判斷.

本題考查同類二次根式，關(guān)鍵是掌握同類二次根式的定義.

4.【答案】C

【解析】解：D￡7/BC,AD=9,DB=3,CE=2,

_AD_AE

.*.--=--,

DBEC

,9_AE

.*.-=—,

32

解得AE=6.

故選C.

根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案.

本題考查平行線分線段成比例.

5.【答案】A

【解析】解：點(diǎn)(3,2)繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,3).

故選：A.

把點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題，畫(huà)出圖形可解決問(wèn)題.

本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)：圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來(lái)求出旋轉(zhuǎn)后的

點(diǎn)的坐標(biāo).常見(jiàn)的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30。，45。，60°,90。,180°.

6.【答案】B

【解析】解：???△ABC與△DEF位似，

DF//AC,4ABCs&DEF,

???△ODFs&OAC,

.DF_OP_1

"AC~OA2'

.--ADEF與4ABC的面積比=(1)2=i,

.?.△ABC與△DEF的面積比為4：1,

故選：B.

根據(jù)位似圖形的概念得到DF〃4C,AABCs^DEF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可.

本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，掌握位似的兩個(gè)三角形相似，相似三角形的面

積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.

7.【答案】B

【解析】解：N4BC=90。，A4cB=52°,BC=5,

rooBC5

cos52=左=獲'

5

,,,A，=五打

故選：B.

直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出cos52。=般，進(jìn)而得出答案.

此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.

8.【答案】C

【解析】解：???拋物線y^x2+bx+c的對(duì)稱軸為y軸，

b=0,

???點(diǎn)P(2,6)在該拋物線上,

6=4+c,

解得：c=2.

故選：C.

直接利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出6=0,再利用圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)得出答案.

此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確得出。的值是解題關(guān)鍵.

9.【答案】4

【解析】解：J(-2)4=22=4.

故答案為：4.

利用二次根式的化簡(jiǎn)的法則進(jìn)行求解即可.

本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握.

10.【答案】|

【解析】解：fl=信=1，故答案為：!

y18\93J

根據(jù)二次根式的除法，即可解答.

本題考查了二次根式的除法，解決本題的關(guān)鍵是熟記二次根式的除法法則.

11.【答案】4

【解析】解：???關(guān)于x的一元二次方程--a=0有一個(gè)根為X=2,

22—a=0,

解得：(2=4,

故答案為：4.

把x=2代入方程得出4—a=0,再求出方程的解即可.

本題考查了解一元二次方程，一元二次方程的解和解一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)，能熟記一元二次方程的解的

定義是解此題的關(guān)鍵，注意：解一元二次方程的方法有：直接開(kāi)平方法，公式法，配方法，因式分解法

12.【答案】m<1

【解析】解：根據(jù)題意得4=(-2)2-4xlxm>0,

解得：m<1.

故答案為：m<l.

根據(jù)判別式的意義得到/=(-2)2-4xlXm>0,然后解不等式即可.

本題主要考查了一元二次方程ax?+版+c=OQK0)的根的判別式/=一4ac,當(dāng)/>0,方程有兩個(gè)

不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)4=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)4<0,方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

13.【答案】|

【解析】解：???總面積為9個(gè)小正方形的面積，其中陰影部分面積為5個(gè)小正方形的面積，

二小球停在陰影部分的概率是工

故答案為：|.

根據(jù)幾何概率的求法：小球落在陰影部分的概率就是陰影區(qū)域的面積與總面積的比值.

本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來(lái)，一般用陰影區(qū)域表示所求事件

(X)；然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例即事件Q4)發(fā)生的概率.

14.【答案】2/7

【解析】【分析】

本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題解決.

根據(jù)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)即可求解.

【解答】

以拱頂?shù)剿娴木嚯x為2米時(shí)的水面為x軸，拱頂所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,

根據(jù)題意設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=ax2+2,

把4(2,0)代入，得：

所以二次函數(shù)解析式為：y=-1%2+2,

當(dāng)y=-1.5時(shí)，一藪％2+2=—1.5

解得％=±V-7.

所以水面的寬度為2/7.

故答案為2/7.

15.【答案】解：原式=/1+2度—苧

_5/2

二—'

【解析】直接化簡(jiǎn)二次根式，進(jìn)而合并同類二次根式得出答案.

此題主要考查了二次根式的加減，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵.

16.【答案】解：2x2—4%=6—3%,

2x(%—2)+3(%—2)=0,

(2%+3)(%-2)=0,

2%+3=0或％—2=0,

解得%1=—|,冷=2,

所以，原方程的解為/=-|,%2=2.

【解析】利用因式分解法解此方程，即可求解.

本題考查了解一元二次方程，熟練掌握和運(yùn)用解一元二次方程的方法是解決本題的關(guān)鍵.

17.【答案】解：設(shè)增長(zhǎng)率為％.

64x(1+x)2=100,

v1+%>0,

.,?1+%=0.8,

???x=0.2=20%.

答：平均增長(zhǎng)率是20%.

【解析】等量關(guān)系為：一月份的產(chǎn)值x(l+增長(zhǎng)率)2=三月份的產(chǎn)值，把相關(guān)數(shù)值代入求合適的解即可.

考查一元二次方程的應(yīng)用；得到三月份產(chǎn)值的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

18.【答案】解：畫(huà)樹(shù)狀圖得:

開(kāi)始

第一次ABC

_/1\/4\/1\

第二^ARCABCARC

???共有9種等可能的結(jié)果，兩次抽取的都是A的有1種情況,

???兩次抽取的都是A的概率為：i

【解析】首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次抽取的都是A的情況，再

利用概率公式即可求得答案.

此題考查了概率公式與列表法或樹(shù)狀圖法求概率.列表法或樹(shù)狀圖法可以不重不漏的列舉出所有可能發(fā)生

的情況，列舉法適合于兩步完成的事件，樹(shù)狀圖法適合于兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識(shí)點(diǎn)為：

概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

【解析】根據(jù)相似三角形的判定以及題目要求作出圖形即可.

本題考查位似變換，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想

解決問(wèn)題.

20.【答案】(1)證明：vCA1AD,EDLAD,CB1BE,

???Z-A=乙CBE=Z-D=90°,

Z.C+/-CBA=90°,Z.CBA+UBE=90°,

Z.C=Z.DBE,

ABCs公DEB；

(2)解：MABCs^DEB,

AC_AB

t—=—?

BDDE

6_8

t—=一?

BD4

??.BD=3.

【解析】(1)利用同角的余角相等得NC=NDBE,可證明結(jié)論；

(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出答案.

本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，利用同角的余角相等得NC=NDBE是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

21.【答案】解：(1)y=%2—2x—3=(X—3)(%+1)=(x—

l)2-4,

.?.當(dāng)y=0時(shí)，=3,x2=-1,當(dāng)x=0時(shí)，y=-3,該函數(shù)的頂

點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4),

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為

(1,-4),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,—3)；

(2)連接。C,如右圖所示，

,?,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,一4),

.,.四邊形ABCD的面積是：SAA0D+S^ODC+S40cB=一?一+-—-］一=9.

【解析】(1)根據(jù)題目中的函數(shù)解析式可以求得4B,C,。的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)(1)中求得的點(diǎn)A,B,C,。的坐標(biāo)，可以求得四邊形A3C。的面積.

本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確

題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

22.【答案】*

【解析】解：(1)過(guò)點(diǎn)￡＞作?！?48于點(diǎn)跖作。%13。于點(diǎn)",

???80平分

??.DM=DN,

11

)^LABD=2AB,DM,SMBD=]BC?DN,

.S^ABD=48=4,圖1

S^CBDBC7'

故答案為：會(huì)

(2湍=器理由如下:

如圖2,過(guò)點(diǎn)。作CE〃BD交A8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

???CE//BD,D

AD__AB_

~CD~~BE

???平分乙4BC,聲

???Z.ABD=Z.CBD,

???CE//BD,

???Z-ABD=乙E,Z,CBD=Z-BCE,

Z.E=乙BCE,

BE=BC,

絲_里

而一說(shuō);

(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)尸作FG于點(diǎn)G,

??,AE=4,AD=2,

DE=AE+AD=4+2=6f

???△ECD是等邊三角形，CH1DE,

???EH=DH=3,CE=DE=6,

CH=VCE2-EH2=V62-32=3<3，

■：AH=DH-AD=3-2=1,

AC=y/AH2+CH2=JI2+(373)2=2<7>

???△48。和4ECD都是等邊三角形，

???ZXCB=乙DCE=60°,BC=AB=AC=2?,

???4BCD+AACD=60°,/.ACE+/.ACD=60°,

圖3

???乙BCD=Z-ACE,

???△CBFs〉CEA,

tBF__CF_

???AE=ACf

???匕ACF=^DCA,Z.CAF=匕CDA=60°,

CAF^ACDA,

.CF_AF

ACAD

BFAF目MFAF

AEAD42

BF_?

而一2,

???BF+AF=AB=2"

Dz?2、e4V-7

BF=-x2V7=~Y-

???4B=60°,FG1BC,

???乙BFG=30°,

114/72/7

...BG=”F=X=----,

2-3

FG=y]BF2-BG2=J（殍尸-（《]2/21

-------,

3

1271114c

■■■S^CFB=臚。,FG=]x2yp7x---=---

(1)過(guò)點(diǎn)。作DM14B于點(diǎn)作DN1BC于點(diǎn)N,運(yùn)用角平分線性質(zhì)可得DM=DN,再利用三角形面積

公式即可求得答案;

(2)過(guò)點(diǎn)C作CE〃B。交A8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,運(yùn)用平行線分線段成比例和等腰三角形的判定和性質(zhì)即可；

(3)過(guò)點(diǎn)C作CHIDE于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)尸作FGLBC于點(diǎn)G,運(yùn)用勾股定理可求出C”，AC,再證明△

CBF^^CEA,利用相似三角形性質(zhì)即可求出BE再運(yùn)用勾股定理求出尸G,即可運(yùn)用三角形面積公式求

得答案.

本題是三角形綜合題，主要考查了角平分線性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直

角三角形性質(zhì)，勾股定理，三角形面積公式等；熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等相關(guān)知識(shí)

是解題關(guān)鍵.

23.【答案】3t

【解析】解：（1）由題意4P=23AQ=PQ=t,

■■■PM=3PQ,

：.PM=3t.

故答案為：3f；

(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)N落在BC上時(shí),

c

圖2-2

??,NQIIAC,

,NQ_BQ

"AC-BA"

.3t_4—t

,?可一~9

解得t=I

(3)如圖3-1中，當(dāng)0<tw|時(shí)，重疊部分是矩形尸QW,5=3產(chǎn),

圖3-1

如圖3-2中，當(dāng)時(shí)，重疊部分是五邊形PQNEF.

圖3-2

1□AO21

2

s-S矩形PQNM-S〉EFM=3"一鼠[3t—I(4—2t)]--[3t--(4-2t)]=-yt+18t-6,

(22

3t(0<t<p

綜上所述，S=\?1

2,24、,

[-yt+18i-6G<t<N

圖4-1

???乙FAB=乙FEB=90°,A.FBA=乙FBE,BF=BF,

??.△BF4^8FE(A4S),

??.AF=EF,AB=BE=4,設(shè)AF=EF=x,

???乙4=90°,AC=3,AB=4,

BC=y/AC2+AB2=5,

??.EC=8C—BE=5-4=1,

在RtzXEFC中，則有％2+仔=(3一%)2,

解得久=2

??.PM//AF,

.PM_PB

AFBA

3t4-2t

,,,廣丁，

3

4

t=―;

如圖4-2中，當(dāng)點(diǎn)M落在乙4cB的角平分線上時(shí)，滿足條件作EF1BC于F.

同法可證：△^0/^△ECF(A4S),

??.AE=EF,AC=CF=3,設(shè)AE=EF=y,

=5—3=2,

在RtZkEFB中，則有%2+22=(4-%)2,

解得％=I，

???PM“AC,

.PM_PE

??，

ACAE

3x

.匹=i

??3-z'

解得t=

綜上所述，滿足條件的/的值為4或a

(1)根據(jù)路程，速度，時(shí)間的關(guān)系以及已知條件解決問(wèn)題即可.

(2)根據(jù)平行線分線段成比例得出比例式求解即可.

(3)分兩種情形：如圖3-1中，當(dāng)0<14^時(shí)，重疊部分是矩形PQNM.如圖3-2中，當(dāng)時(shí)，重疊

部分是五邊形PQNE凡分別求解即可.

(4)分2種情形：如圖4-1中，