2022-2023學(xué)年天津市河?xùn)|區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2022-2023學(xué)年天津市河?xùn)|區(qū)高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共9小題，共36.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.雙曲線卷―9=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(±1,0)B.(±√5,0)C.(0,±l)D.(0,±√5)

2.拋物線y2=—2X的準(zhǔn)線方程為()

A.x=-lB.X=1C.χ-~?D.X=?

3.等軸雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是招(—6,0),則其標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.≤-∑!=ιB.些一包=1C.g一直=1D.g一尤=1

999918181818

4.已知拋物線/=2Py(P>0)上一點(diǎn)MOn,1)到焦點(diǎn)的距離為|,則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(0.i1)1B.(?,θ)1C.(i,0)1D.(0,i)

2

5.若點(diǎn)P(l,2)在雙曲線a-y2=i(α>0))的一條漸近線上，則它的離心率為()

A.?B.2C.√5D,2√5

6.下列四個(gè)數(shù)中，哪個(gè)是數(shù)列｛n(n+l)｝中的一項(xiàng)()

A.380B.392C.321D.232

clc

7.己知等比數(shù)列｛an｝,滿足Iog2α2+Iog2i3=1，且α5α6?α9=16,則數(shù)列｛αn｝的公比為

()

11

A.2B.?C.±2D.i?

8.已知正項(xiàng)等差數(shù)列｛α71｝的前Ti項(xiàng)和為Srι(neN*),若成一α7-。9=3,則-(?的值為

()

A.3B.14C.28D.42

9.九連環(huán)是一種流傳于我國(guó)民間的傳統(tǒng)智力玩具.它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝.它

在中國(guó)有近兩千年的歷史，《紅樓夢(mèng)少中有林黛玉巧解九連環(huán)的記載.周邦彥也留下內(nèi)關(guān)于

九連環(huán)的名句“縱妙手、能解連環(huán).”九連環(huán)有多種玩法，在某種玩法中：已知解下1個(gè)圓環(huán)

最少需要移動(dòng)圓環(huán)1次，解下2個(gè)圓環(huán)最少需要移動(dòng)圓環(huán)2次，記即(3≤n≤9,neN*)為解下

n1

n個(gè)圓環(huán)需要移動(dòng)圓環(huán)的最少次數(shù)，且斯=αn,2+2-,則解下8個(gè)圓環(huán)所需要移動(dòng)圓環(huán)的

最少次數(shù)為（）

98765432I

^^Tτ÷↑ι∣τT^

@@6???6@6

A.30B.90C.170D.341

二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）

10.設(shè)F1，尸2為雙曲線C：9一T=I的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線C上一點(diǎn)，且IPFll=4,則

I.

11.已知數(shù)列｛αn｝滿足2αn=αnτ+αn+ι（"≥2,neN*）,a2+a4+a6=12,a1+a3+

a5=9,則c?+t?等于.

12.己知等比數(shù)列｛%l｝的前幾項(xiàng)和為Sn，且αjl+ι=2S7l+l（n∈N*）,則t?=.

n

13.已知數(shù)列｛ɑτι｝滿足的=1,an+1=αn+3（πeN*）,則｛an｝的通項(xiàng)公式即=.

14.設(shè)等差數(shù)列｛%l｝滿足的=1，an>056N*）,其前n項(xiàng)和為S71,若數(shù)歹∣J｛戶｝也為等差

數(shù)列，則即=;黑羿的最大值是.

an

15.已知拋物線C：y2=2pχ（p>0）與圓。：/+y2=5交于A,B兩點(diǎn)，且IABl=4,直線

，過C的焦點(diǎn)F,且與C交于M,M兩點(diǎn)，給出下列命題：

①若直線，的斜率為多則IMNl=8；

②IMFl+2∣NH的最小值為3+2√2:

③若以MF為直徑的圓與y軸的公共點(diǎn)為（0,乎），則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為|；

④若點(diǎn)G（2,2）,則4GFM周長(zhǎng)的最小值為4+√5?

其中真命題的序號(hào)為（把所有正確命題的序號(hào)都填在橫線上）.

三、解答題（本大題共5小題，共40.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.（本小題6.0分）

已知雙曲線的方程為4χ2-y2=4,寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)與

漸近線方程.

17.（本小題6.0分）

已知橢圓C：攝+5=l（a>6>0）的左右焦點(diǎn)分別是6、F2,左右頂點(diǎn)分別是A,B.

(1)若橢圓C上的點(diǎn)M(l,∣)到F1，尸2兩點(diǎn)的距離之和等于4,求此橢圓C的方程；

(2)若P是橢圓C上異于4,8的任一點(diǎn)，記直線Pa與PB的斜率分別為七、的，且自=~j>

試求橢圓C的離心率.

18.(本小題8.0分)

已知數(shù)列｛斯｝是公差不為0的等差數(shù)列，數(shù)列｛砥｝是公比為2的等比數(shù)列，是的,的等比

中項(xiàng)，b3-a3=3,b1=2α1.

(1)求數(shù)列｛α7l｝,｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛an九｝的前n項(xiàng)和N.

19.(本小題10.0分)

已知p《,學(xué))是橢圓C:α+馬=19>人>0)與拋物線占y2=2pχ(p>0)的一個(gè)公共點(diǎn)，

33Qb

且橢圓與拋物線具有一個(gè)相同的焦點(diǎn)F?

(1)求橢圓C及拋物線E的方程；

(2)4B是橢圓C上的兩個(gè)不同點(diǎn)，若直線。4。8的斜率之積為一2注：。為坐標(biāo)原點(diǎn))，點(diǎn)”

是線段OA的中點(diǎn)，連接BM并延長(zhǎng)交橢圓C于點(diǎn)N,求舐｛的值.

20.(本小題10.0分)

3

已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足：a1=2,nan+1+(n+1)=(n+2)an+(n÷I).

(I)證明：數(shù)歹K品寸是等差數(shù)列；

(∏)設(shè)心=黑段，求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和Sn?

乙Qn

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由雙曲線］_1=1,可得C=√ΓFΣ=√^,

???焦點(diǎn)坐標(biāo)是(±6,0),

故選：B.

由雙曲線1一1=1,可得C=√IFΣ,即可得出焦點(diǎn)坐標(biāo).

本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本題的考點(diǎn)是拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，主要考查根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求準(zhǔn)線方程，屬于基礎(chǔ)題.

先根據(jù)拋物線方程求得P，進(jìn)而根據(jù)拋物線的性質(zhì)，求得準(zhǔn)線方程.

【解答】

解：??,拋物線y2=-2x,

???拋物線的焦點(diǎn)在X軸上，開口向左，且p=l,

???準(zhǔn)線方程是X=?

故選：D.

3.【答案】D

【解析】解：設(shè)等軸雙曲線方程為--y2=α(α>o),

化成標(biāo)準(zhǔn)方程：立-g=1，

aa

由標(biāo)準(zhǔn)方程得：c=V∑α=6>

.?.a=18,

所求的等軸雙曲線方程為--y2=18,

故選：D.

設(shè)出等軸雙曲線的方程，把雙曲線經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，求出待定系數(shù)，進(jìn)而得到所求的雙

曲線的方程.

本題考查利用待定系數(shù)法求雙曲線的方程、考查雙曲線三參數(shù)的關(guān)系c?=a2+b2.

4.【答案】A

【解析】解：拋物線C：χ2=2py(p>0)上的一點(diǎn)M(m,1)到焦點(diǎn)尸的距離為|,

C+?=',

22

??p=1,

???拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：(θ?).

故選：A.

P3

+-=-

根據(jù)拋物線的定義，可得122求出P，即可求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo);

本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積是計(jì)算，考查學(xué)生分析

轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題.

5.【答案】C

2γ

【解析】解：雙曲線與-y2=ι的漸近線方程y=±',

QzJa

2

因?yàn)辄c(diǎn)P(l,2)在雙曲線?—y2=1的一條漸近線上，

所以2=L所以α=J,

a2

它的離心率為￡=?il=√5?

a?

2

故選：C.

求出雙曲線的漸近線方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求解α,然后求解離心率即可.

本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：由題意，令n(n+1)=380,解得n=19,故A正確，

再令n(n+1)=392,n(n+1)=321,n(n+1)=232,均無整數(shù)解，故BCD都錯(cuò)誤.

故選：A.

分別令選項(xiàng)中的數(shù)值為n(n+l),求出n是自然數(shù)時(shí)的這一項(xiàng)，即可得到答案.

本題考查數(shù)列的函數(shù)特性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：設(shè)｛αrι｝公比為q,

???log2?2+10g2?13=log2(α2cii3)=I=

。2。13=2jzL∏2,ɑ??>0，

11

：.a13=α2Q>0，貝叼>0，

,**。2。13==2,=16,

?*?ɑ?ɑθ=8,

"S2=；,解得q=?.

?ɑ8?5a84

故選：B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，以及等比數(shù)列性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，以及等比數(shù)列性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解:正項(xiàng)等差數(shù)列{an},則c?>0,

若忌-a7—a9=3,則忌=a7+。9+3=2a8+3,解得c?=3或t?——1(舍)，

則S3-?=a+yιs一口8=?i5-為=14ag=42

故選：D.

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得。7+?=2<?,則可由已知等式求<?的值，從而利用求和公式和等差數(shù)列

性質(zhì)求S15-。8得值.

本題主要考查等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和，等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】C

75i3

【解析】解：由題意知：a8=a6+2,a6=a4÷2-a4=a2+2=2+2=10,

所以c?=2+23+25+27=170.

故選：C.

直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的和.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的遞推關(guān)系式，數(shù)列的求和，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能

力，屬于中檔題.

10.【答案】10

【解析】解：雙曲線c：?-?=n

94

可得α=V9=3>

???P為雙曲線C上一點(diǎn)，且IPFIl=4<2α=6,

二P為雙曲線C左支上一點(diǎn)，

則∣PF2∣=?PF1?+2α=4+6=10,

故答案為：10.

雙曲線C：卷_?=1,可得α=M=3,根據(jù)P為雙曲線C上一點(diǎn)，且IPal=4<2α=6,即可

判斷出點(diǎn)P的位置，再根據(jù)雙曲線的定義即可得出結(jié)論.

本題考查了雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

11.【答案】7

【解析】解：丫數(shù)列｛t?｝滿足2αn=αn-1+an+1(n≥2,neN*),

數(shù)列｛arι｝是等差數(shù)列，

?*,+ɑl=+。4=。2+。5,

aa=a=

??,a2÷4+612,a1+a3÷59,

:?3(a2+Q5)=12+9,解得a2+c?=7.

故答案為：7.

數(shù)列｛an｝滿足2an=OnT+an+1(n≥2fn∈N)可得數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列,利用性質(zhì)可得%+

=。3+。4=。2+仇5，結(jié)合已知條件即可得出結(jié)論.

本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

12.【答案】81

【解析】解：an+ι=2Sn+l(n∈N*),

???n≥2時(shí)，an=2Snτ+1,相減可得an+ι—Qn=2(Sn-SnT)=2an,

λa

n+ι=3an,

T數(shù)列｛αn｝是等比數(shù)列，因此n=1時(shí)也成立.

：.n=1時(shí)，α?=?ɑi=2α1+1,解得α1=1,

4

則c?=3=81.

故答案為：81.

αn+ι=2Sn+l(n∈N*),n≥2時(shí)，an=2Sn.1+1,相減可得αn+ι=3αn,根據(jù)數(shù)列｛c?｝是等比

數(shù)列，n=l時(shí)也成立.即可得出火,進(jìn)而得出c?.

本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

13.【答案】早

nn1

【解析】解：??,數(shù)列｛Q7l｝滿足的=1,an+1=an+3(nE∕V*),即九≥2時(shí);an-αn_1=3-,

αayαa

???an=(QTI-αn-l)+(n-l一n-2)+…+(2-QI)+I

=3九-1+3吁2+…+32+3+1

_1-3__3n-l

-1-3-2

故答案為：咚1.

n1

數(shù)列｛ajl｝滿足%=1，αn+ι=/l+3"(n∈N*),即n≥2時(shí)，an-an.1=3-,利用α7l=a-

αn-ι)+(an-ι-an.2)+-??+(a2-a1)+a1,及其等比數(shù)列的求和公式即可得出結(jié)論.

本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的求和公式、累加求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，

屬于中檔題.

14.【答案】2n-l121

【解析】解：設(shè)等差數(shù)列｛ajt｝的公差為d,

*?*ɑ?=1,CIn>O,dNO,

?S1=1,S2=2+d,S3=3+3d,

?.?數(shù)列｛戶｝也為等差數(shù)列，

?,?2y∣^^=yfSl+y[S^f

即2√2+d=1+√3+3d,

兩邊同時(shí)平方得，

4(2+d)=I+3+3d+2/3+3d,

即d+4=2√3+3d,

兩邊同時(shí)平方得,

d2+8d+16=4(3+3d),

即(d—2)2=0,

故d=2；

故α7,=α1+(n—l)d=2n—1,

Si。=婦地手里3=(n+1。汽

磷=(2n-1)2,

1

故當(dāng)n=l時(shí)，:+尋不取得最大值11,

ZZ(ιZ∕l-1)

故W部的最大值是121,

an

故答案為：2n-l,121.

設(shè)等差數(shù)列｛%l｝的公差為d,從而可得2√ΣTZ=1+VIT而，從而解得d=2；再代入化簡(jiǎn)即可

求解.

本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

15.【答案】②③

【解析】解：由圓和拋物線的對(duì)稱性可知點(diǎn)(1,2)在拋物線C：y2=2pχ(p>0)上，

所以4=2p,解得p=2,所以拋物線C：y2=4x,F(1,0),

設(shè)直線2：X=my+1,與y2=4x聯(lián)立得y2—4my—4=0,

設(shè)M(XI,%),/V(x2,y2),所以yι+y2=4z∏,y1y2=-4,

22

所以IMNl=√1+m?y1—y2∣=Vl++為尸一4%丫2=4(1+m),

當(dāng)m=√5時(shí)，IMNl=16,①錯(cuò)誤；

]]_]]_XI+%2+2_431+丫2)+4_4—2+4_

2

∣MF∣?NF?-xι+lx2+l-勺血+%1+%2+1-(力力/∣,?λ,q^4τn+4-，

-?-+m(y1+y2)+3

則∣MF∣+2?NF?=(IMFl+2∣N用)(高+意)=3+需+犒N3+2企，

當(dāng)且僅當(dāng)IMFl=I+√L∣N尸I=1+苧時(shí)等號(hào)成立，②正確；

如圖，過M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M',交y軸于Mr

取MF中點(diǎn)為D,過。作y軸的垂線，垂足為心，

則MMl〃。凡ODI為梯形OFMMl的中位線，

由拋物線的定義可得IMMIl=IMM'1-IMlM'I=?MF?-1,

所以IDQl=W=1+亭T=等,

所以點(diǎn)(0,凈為直徑的圓與y軸相切，

所以點(diǎn)(0,當(dāng)為圓與y軸的切點(diǎn)，所以。點(diǎn)的縱坐標(biāo)為亭

又。為MF中點(diǎn)，所以M點(diǎn)縱坐標(biāo)為避，

又點(diǎn)M在拋物線上，所以M點(diǎn)橫坐標(biāo)為|,③正確；

過G作CH垂直于準(zhǔn)線，垂足為H,

所以△GFM的周長(zhǎng)為IMGl+?MF?+?GF?=?MG?+∣ΛfM,∣+√5≥?GH?+√5=3+√5.

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2)時(shí)取等號(hào)，④錯(cuò)誤.

故答案為：②③.

首先求出拋物線的解析式，設(shè)出M,N的坐標(biāo)，聯(lián)立進(jìn)行求解，當(dāng)m=百時(shí)，IMNl=I6進(jìn)而判

斷①錯(cuò)誤；

再根據(jù)韋達(dá)定理和不等式求最小值后判斷②；

畫出大致圖像，過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M',交y軸于M],結(jié)合拋物線的定義判斷③；

過G作GH垂直于準(zhǔn)線，垂足為H,利用拋物線的性質(zhì)判斷④即可.

本題主要考查了直線與拋物線相交的問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

16.【答案】解：雙曲線的方程為4∕-y2=4,

化為-1=1，

4

可得Q=1,b2=4,(b>O),c=√α2+&2?

解得Q=1,b=2,c=V5,

???頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±1,0),焦點(diǎn)坐標(biāo)為(土西,0),實(shí)半軸長(zhǎng)為1,虛半軸長(zhǎng)為2,漸近線方程為y=±2x?

【解析】雙曲線的方程為4%2-y2=4,化為%2一學(xué).=1,可得Q=l,h2=4,(e>0),C=√α2÷b2,

解得Q,b,C,即可得出結(jié)論.

本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】(1)解：橢圓C上的點(diǎn)M(Iq)到F2兩點(diǎn)的距離之和等于4,

由橢圓的定義可知，2Q=4,所以Q=2,

將點(diǎn)M(l,?)坐標(biāo)代入方程<+?=1,得扭=3,

所以所求方程為￥+4=1；

43

(2)解：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(XoJo),則3+學(xué)=1，所以見2=,3—M),

又A(-α,0),B(a,O'),

...?,k_%%_%_MT)一卜2.

122222

%o+QXQ-a^o2-αχ02-αɑ

又七.七=一;，所以W=L即a=&b,

乙αz2

又02=廬+。2,所以c=b,

所以橢圓的離心率e=-=-7=7=

a√2b2

【解析】(1)根據(jù)橢圓的定義先確定Q的值，再將點(diǎn)M坐標(biāo)代入方程得接，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程；

(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(XO加，化簡(jiǎn)得y02=今92—/),得到與=；，從而求出離心率.

本題考查了橢圓的方程和離心率的計(jì)算，屬于中檔題.

f?2=ɑlɑ?

18.【答案】解：(1)根據(jù)題意可得｛么―。3=3，

(瓦—2α1

f(α1+d)2=α1(α1+4d)(al=1

???(4瓦—%-2d=3,解得b[=2,

(瓦=2a1Id=2

n

.?.an=1+(n—1)×2=2n-1,bn=2;

n

(2)由⑴知an?l=(2n-l)2,

2n

.?.Sn=1-2+3?2+???+(2n-1)-2,

23nn+1

.?.2Sn=1?2+3?2+??+(2n-3)?2+(2n-1)?2,

兩式相減可得-Sn=2+2?22+2?23+-+2?2n-(2n-1)?2n+1,

n+1n+1

Λ-Sn=2+2國(guó)彩口-(2n-1)?2=(3-2n)?2-6)

π+1

?Sn=(2n-3)?2+6.

【解析】(1)先根據(jù)題意建立方程組，從而解得d,b1,再根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公

式即可求解；

(2)根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求解.

本題考查方程思想，等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，錯(cuò)位相減法求和，屬中檔題.

19.【答案】解：⑴?.?P(∣,等)是拋物線E：y2=2p%(p>o)上的點(diǎn)，

2√6?2

?(z?)λ2=2pX五

?*?p=2,

故拋物線E的方程為y2=4x,

F(1,0)，

在橢圓C中，a2-b2=1,

又???p(∣,竽)在橢圓C：g+?=ι±-????+?=1?f?&+京=1，

解得/=3,所以a?=%

???橢圓C的方程為9+]=1,拋物線E的方程為y?=4x.

(2)設(shè)A(Xl,%),B(x2,y2),N(X3/3)，需=Ma>0),

,

「點(diǎn)M是線段04的中點(diǎn),二M(y,?),BM=(苓-%2,肉-先)，B/V=(x3~%2，>3-Vz)豆N=λBM<

???（%3-％2,3z3-力）=入（律一%2,今一月），

%3=5%1+（1—4）％222

a，所以N（EXl+（1-Qx2,5y1+（1一%）力），

y=^ι+（i-‰22

（3

「點(diǎn)N（X3/3）在橢圓C上，

χ-χ2

?ι+（i^）21,Eyl+（1-，）丫2『_1

?4+3=?

4。+芋）+（1-44+孥）+4（1-4管+竽）=1，

又點(diǎn)4（小,月），B（X2,光）在橢圓C上，OA,OB斜率之積為一；，

...五+璉=1，磅+邀=1，等+竽=0,

434343

[+（1_4）2=1，.?.5λ2-8λ=0,.?.λ=9或；I=0（舍），

.IBNl_8.IBMl_5

??BM?=5,''"?MN?