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第2課時(shí)函數(shù)奇偶性的應(yīng)用水平1·題組一利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值或范圍1.已知一個(gè)奇函數(shù)的定義域?yàn)閧-1,2,a,b},則a+b等于()A.-1 B.1C.0 D.2【解析】選A.因?yàn)橐粋€(gè)奇函數(shù)的定義域?yàn)閧-1,2,a,b},根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以a與b有一個(gè)等于1,一個(gè)等于-2,所以a+b=1+(-2)=-1.2.函數(shù)f(x)在x∈(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若f(1)=-1,則滿足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范圍是()A.[-2,2] B.[-1,1]C.[0,4] D.[1,3]【解析】選D.因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),f(1)=-1,所以f(-1)=1.因?yàn)椋?≤f(x-2)≤1,所以f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又因?yàn)閒(x)在x∈(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,所以-1≤x-2≤1,所以1≤x≤3.3.設(shè)定義在(-1,1)上的奇函數(shù)f(x)在x∈[0,1)上單調(diào)遞增,且有f(1-m)+feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)-2m))<0,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(3,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),+∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,\f(1,2)))【解析】選A.由于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,1),則有,解得0<m<eq\f(3,4).又f(1-m)+feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)-2m))<0,函數(shù)f(x)為奇函數(shù),所以f(1-m)<-feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)-2m))=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)+2m)).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù),且在x∈[0,1)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)在定義域(-1,1)上單調(diào)遞增,則有1-m<-eq\f(1,2)+2m,解得m>eq\f(1,2),所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(3,4))).·題組二函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用1.若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,6]上單調(diào)遞增且f(6)=9,則它在區(qū)間[-6,-3]上()A.最小值是9 B.最小值是-9C.最大值是-9 D.最大值是9【解析】選D.因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)且在區(qū)間[3,6]上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[-6,-3]上單調(diào)遞減.因此,f(x)在區(qū)間[-6,-3]上最大值為f(-6)=f(6)=9.2.f(x)是定義在R上的增函數(shù),則下列結(jié)論一定正確的是()A.f(x)+f(-x)是偶函數(shù)且是增函數(shù)B.f(x)+f(-x)是偶函數(shù)且是減函數(shù)C.f(x)-f(-x)是奇函數(shù)且是增函數(shù)D.f(x)-f(-x)是奇函數(shù)且是減函數(shù)【解析】選C.A錯(cuò)誤,設(shè)f(x)=x,是增函數(shù),但f(x)+f(-x)=x-x=0是常數(shù)函數(shù);同理B錯(cuò)誤;C正確,設(shè)g(x)=f(x)-f(-x),則g(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-g(x),函數(shù)g(x)是奇函數(shù).任取x1,x2∈R,且x1<x2,則-x1>-x2,g(x1)=f(x1)-f(-x1),g(x2)=f(x2)-f(-x2),因?yàn)閒(x)是定義在R上的增函數(shù),所以f(x1)<f(x2),f(-x1)>f(-x2),即-f(-x1)<-f(-x2).所以f(x1)-f(-x1)<f(x2)-f(-x2),即g(x1)<g(x2).所以函數(shù)g(x)=f(x)-f(-x)是增函數(shù),D錯(cuò)誤.3.已知偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)的定義域都是(-4,4),且在(-4,0]上的圖象如圖所示,則關(guān)于x的不等式f(x)g(x)<0的解集是________.【解析】設(shè)h(x)=f(x)g(x),補(bǔ)全f(x),g(x)的圖象(圖略),由圖象可知:當(dāng)-4<x<-2時(shí),f(x)>0,g(x)<0,此時(shí)h(x)<0;當(dāng)0<x<2時(shí),f(x)<0,g(x)>0,此時(shí)h(x)<0,所以h(x)<0的解集為(-4,-2)∪(0,2).答案:(-4,-2)∪(0,2)·題組三函數(shù)的基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用1.設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞減,若x1<0且x1+x2>0,則()A.f(-x1)>f(-x2)B.f(-x1)=f(-x2)C.f(-x1)<f(-x2)D.f(-x1)與f(-x2)的大小不確定【解析】選A.因?yàn)閤1<0,x1+x2>0,所以x2>-x1>0,又f(x)在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(x2)<f(-x1),因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以f(-x2)=f(x2)<f(-x1).2.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-x2+2x,在區(qū)間[-1,a-2]上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________.【解析】由已知可得函數(shù)f(x)的圖象,如圖,要使f(x)在x∈[-1,a-2]上單調(diào)遞增,必須所以1<a≤3,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3].答案:(1,3]3.已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],a+b≠0時(shí),有eq\f(f(a)+f(b),a+b)>0成立.若f(x)≤m2-2am+1對(duì)所有的a∈[-1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】任取x1,x2∈[-1,1],且x1<x2,則-x2∈[-1,1].因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2),由已知得eq\f(f(x1)+f(-x2),x1-x2)>0,又x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在x∈[-1,1]上單調(diào)遞增.因?yàn)閒(1)=1,且f(x)在x∈[-1,1]上單調(diào)遞增,所以在x∈[-1,1]上,f(x)≤1.f(x)≤m2-2am+1等價(jià)于m2-2am+1≥1,即m2-2am≥0,對(duì)a∈[-1,1]成立.設(shè)g(a)=-2m·a+m2,①若m=0,則g(a)=0≥0,對(duì)a∈[-1,1]恒成立.②若m≠0,則g(a)為關(guān)于a的一次函數(shù),若g(a)≥0對(duì)a∈[-1,1]恒成立,則必有g(shù)(-1)≥0,且g(1)≥0,即解得m≤-2或m≥2.綜上所述,實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).易錯(cuò)點(diǎn)一沒有搞清分段函數(shù)及奇偶性的概念致錯(cuò)1.關(guān)于函數(shù)f(x)=的性質(zhì)描述正確的是()A.f(x)是奇函數(shù)B.f(x)是偶函數(shù)C.f(x)是奇函數(shù),也是偶函數(shù)D.f(x)不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)【解析】選D.當(dāng)x<0時(shí),-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3=-x2-2x-3=-f(x),當(dāng)x>0時(shí),-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=x2-2x+3=-f(x),但是f(0)=3,所以f(x)不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).2.已知函數(shù)f(x)=,則不等式f(|2x-1|)≤4的解是__________;不等式2f(x)≥f(4-x2)的解是________.【解析】容易作出函數(shù)f(x)=的圖象如下,顯然函數(shù)f(x)在x∈R上單調(diào)遞增,又4=22=f(2),所以f(|2x-1|)≤4?f(|2x-1|)≤f(2),所以|2x-1|≤2,-2≤2x-1≤2,所以-eq\f(1,2)≤x≤eq\f(3,2).x≥0,2f(x)=2x2=(eq\r(2)x)2=f(eq\r(2)x);x<0,2f(x)=-2x2=-(eq\r(2)x)2=f(eq\r(2)x).所以x∈R時(shí),2f(x)=f(eq\r(2)x),2f(x)≥f(4-x2)?f(eq\r(2)x)≥f(4-x2),所以eq\r(2)x≥4-x2,x2+eq\r(2)x-4≥0,(x+2eq\r(2))(x-eq\r(2))≥0,所以x≥eq\r(2)或x≤-2eq\r(2).答案:eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)≤x≤\f(3,2)))))eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\r(2)或x≤-2\r(2)))))【易錯(cuò)誤區(qū)】分段函數(shù)的奇偶性要分段討論,不能只驗(yàn)證一部分.易錯(cuò)點(diǎn)二判斷含參函數(shù)的奇偶性時(shí)忽略對(duì)參數(shù)的討論致錯(cuò)(多選)已知函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(1,2))),則函數(shù)f(x)的性質(zhì)為()A.a=0時(shí),是偶函數(shù)B.a≠0時(shí),既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)C.f(x)的最小值為a2+1D.f(x)的最小值為1【解析】選ABC.因?yàn)閍=0時(shí),f(x)=x2+|x|+1是偶函數(shù),所以A正確;因?yàn)閍≠0時(shí),f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,所以f(a)-f(-a)=-2|a|≠0,所以f(x)不是偶函數(shù),f(a)+f(-a)=2a2+2|a|+2≠0,所以f(x)不是奇函數(shù),所以B正確;因?yàn)閒(x)=a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(1,2))),所以f(x)在x≥a時(shí)單調(diào)遞增,在x<a時(shí)單調(diào)遞減,所以f(x)的最小值為f(a)=a2+1.所以C正確,D錯(cuò)誤.【易錯(cuò)誤區(qū)】對(duì)分段函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性都要分類討論,因?yàn)閰?shù)會(huì)影響函數(shù)的性質(zhì).所以不要忽略對(duì)參數(shù)的分類討論.水平1、2限時(shí)30分鐘分值60分戰(zhàn)報(bào)得分______一、選擇題(每小題5分,共30分)1.若函數(shù)f(x)(f(x)≠0)為奇函數(shù),則必有()A.f(x)·f(-x)>0 B.f(x)·f(-x)<0C.f(x)<f(-x) D.f(x)>f(-x)【解析】選B.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)(f(x)≠0)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),所以f(x)·f(-x)=-[f(x)]2<0.2.若φ(x),g(x)都是奇函數(shù),f(x)=aφ(x)+bg(x)+3在x∈(0,+∞)上有最大值10,則f(x)在x∈(-∞,0)上有()A.最小值-4B.最大值-4C.最小值-1D.最大值-3【解析】選A.由已知對(duì)任意x∈(0,+∞),f(x)=aφ(x)+bg(x)+3≤10.對(duì)任意x∈(-∞,0),則-x∈(0,+∞).又因?yàn)棣?x),g(x)都是奇函數(shù),所以f(-x)=aφ(-x)+bg(-x)+3≤10,即-aφ(x)-bg(x)+3≤10,所以aφ(x)+bg(x)≥-7,所以f(x)=aφ(x)+bg(x)+3≥-7+3=-4.3.設(shè)函數(shù)f(x)=eq\f((1+x)2,x2+1)的最大值為M,最小值為m,則M+m=()A.0B.1C.2D.3【解析】選C.因?yàn)閒(x)=eq\f((1+x)2,x2+1)=1+eq\f(2x,x2+1),函數(shù)eq\f(2x,x2+1)是奇函數(shù),圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,所以f(x)的圖象關(guān)于(0,1)對(duì)稱,所以最大值與最小值的和為2.4.設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù),f(x+2)=-f(x),且當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),f(x)=2-x,則f(2022.5)等于()A.0.5B.2.5C.-0.5D.-2.5【解析】選B.因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),因?yàn)閒(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(2022.5)=f(4×505+2.5)=f(2.5)=-f(0.5)=f(-0.5)=2+0.5=2.5.5.(多選)已知定義在區(qū)間[-7,7]上的一個(gè)偶函數(shù),它在[0,7]上的圖象如圖,則下列說法正確的是()A.這個(gè)函數(shù)有兩個(gè)單調(diào)增區(qū)間B.這個(gè)函數(shù)有三個(gè)單調(diào)減區(qū)間C.這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有最大值7D.這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有最小值-7【解析】選BC.根據(jù)偶函數(shù)在[0,7]上的圖象及其對(duì)稱性,作出其在[-7,7]上的圖象,如圖所示,由圖象可知這個(gè)函數(shù)有三個(gè)單調(diào)增區(qū)間,有三個(gè)單調(diào)減區(qū)間,在其定義域內(nèi)有最大值7,最小值不是-7.6.(多選)若函數(shù)f(x)對(duì)任意x∈R都有f(x)+f(-x)=0成立,m∈R,則下列的點(diǎn)一定在函數(shù)y=f(x)圖象上的是()A.(0,0) B.(-m,-f(m))C.(m,-f(-m)) D.(m,f(-m))【解析】選ABC.因?yàn)槿我鈞∈R滿足f(x)+f(-x)=0,所以f(x)是奇函數(shù),又x∈R,所以令x=0,則f(-0)=-f(0),得f(0)=0,所以點(diǎn)(0,0),點(diǎn)(-m,-f(m))與(m,-f(-m))也一定在y=f(x)的圖象上.二、填空題(每小題5分,共20分)7.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx+4(a,b均不為零),且f(5)=10,則f(-5)=________.【解析】令g(x)=ax3+bx(a,b均不為零),易知g(x)為奇函數(shù),從而g(5)=-g(-5).因?yàn)閒(x)=g(x)+4,所以g(5)=f(5)-4=6,所以f(-5)=g(-5)+4=-g(5)+4=-2.答案:-28.下列函數(shù)中是奇函數(shù)的為________.(填序號(hào))①f(x)=(x+1)eq\r(\f(1-x,1+x));②f(x)=;③f(x)=eq\f(\r(4-x2),x2);④f(x)=|x-1|-|x+1|.【解析】①因?yàn)閒(x)=(x+1)eq\r(\f(1-x,1+x))要有意義,則eq\f(1-x,1+x)≥0且1+x≠0,解得-1<x≤1,所以,函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?-1,1],不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,因此,函數(shù)y=f(x)是非奇非偶函數(shù).②當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-x2+2x+1,-x<0,f(-x)=(-x)2+2×(-x)-1=x2-2x-1=-f(x);當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2+2x-1,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2×(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x).所以函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù).③由題意可得,所以-2≤x≤2且x≠0,所以,函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇-2,0)∪(0,2],關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又f(-x)=eq\f(\r(4-(-x)2),(-x)2)=eq\f(\r(4-x2),x2)=f(x),所以函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù).④對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,都有f(-x)=|-x-1|-|-x+1|=|x+1|-|x-1|=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù).答案:②④9.已知函數(shù)f(x)=是奇函數(shù),且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m,m+\f(1,2)))上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a=________;實(shí)數(shù)m的取值范圍用區(qū)間表示為________.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=是奇函數(shù),所以f(1)+f(-1)=0,即1-a+(-1)+1=0,解得a=1;因此f(x)=,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得,當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)f(x)=x2-x在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))上單調(diào)遞減,在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),+∞))上單調(diào)遞增;又因?yàn)閒(0)=0,所以由奇函數(shù)的性質(zhì)可得:函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(1,2)))上單調(diào)遞減;因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m,m+\f(1,2)))上單調(diào)遞減,所以只需:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m,m+\f(1,2)))?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(1,2))),即,解得-eq\f(1,2)≤m≤0.答案:1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),0))10.已知函數(shù)f(x)是定義在[a-1,2a]上的偶函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)單調(diào)遞增,則關(guān)于x的不等式f(x-1)>f(a)的解集為________.【解析】由題意可得a-1+2a=0,所以a=eq\f(1,3),所以f(x-1)>f(a)等價(jià)于|x-1|>eq\f(1,3),所以x<eq\f(2,3)或x>eq\f(4,3).所以所求的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,\f(2,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3),+∞))答案:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,\f(2,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3),+∞))三、解答題11.(10分)設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f(x)的圖象,并指出f(x)的單調(diào)區(qū)間(不需證明);(2)若方程f(x)+2a=0有兩個(gè)解,求出a的取值范圍;(3)設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)g(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),g(x)=f(x),求g(x)的解析式.【解析】(1)如圖.單調(diào)增區(qū)間:[-1,0],[1,+∞),單調(diào)減區(qū)間(-∞,-1],[0,1].(2)在同一坐標(biāo)系中同時(shí)作出y=f(x),y=-2a的圖象,由圖可知f(x)+2a=0有兩個(gè)解,須-2a=0或-2a>1,即a=0或a<-eq\f(1,2).(3)當(dāng)x<0時(shí),-x>0,所以g(-x)=(-x)2-(-2x)+1=x2+2x+1,因?yàn)間(x)為奇函數(shù),所以g(x)=-g(-x)=-x2-2x-1,且g(0)=0,所以g(x)=設(shè)f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且對(duì)任意a,b∈[-1,1],當(dāng)a+b≠0時(shí),都有eq\f(f(a)+f(b),a+b)>0.(1)若a>b,試比較f(a)與f(b)的大??;(2)解不等式feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,4)));(3)如果g(x)=f(x-c)和h(x)=f(x-c2)這兩個(gè)函數(shù)的定義域的交集是空集,求c的取值范圍.【解析】(1)任取-1≤x1<x2≤1,則eq\f(f(x2)-f(x1),x2-x1)=eq\f(f(x2)+f(-x1),x2+(-x1))>0,所以f(x2)>f(x1),所以f(x)在x∈[-1,1]上單調(diào)遞增.因?yàn)閍,b∈[-1,1],且a>b,所以f(a)>f(b).(2)因?yàn)閒(x)是x∈[-1,1]上單調(diào)遞增,所以由不等式feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,2)))<fe
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