貴州省貴陽市北京師范大學貴陽附屬中學2023-2024學年高二下學期3月第一屆“圓周率”杯競賽數(shù)學試題（含答案）_第1頁
貴州省貴陽市北京師范大學貴陽附屬中學2023-2024學年高二下學期3月第一屆“圓周率”杯競賽數(shù)學試題（含答案）_第2頁
貴州省貴陽市北京師范大學貴陽附屬中學2023-2024學年高二下學期3月第一屆“圓周率”杯競賽數(shù)學試題（含答案）_第3頁
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文檔簡介

北京師范大學貴陽附屬中學第一屆“π”杯數(shù)學競賽(高二年級)一、填空題(本題共8小題，每題8分，共64分)1．設集合，，則______．2．設，為單位向量，且，則______．3．設球在圓柱內，且圓柱的底面直徑和高都等于該球的直徑，則球與圓柱的體積之比是______．4．在中，，BC邊上的高等于，則______．5．過坐標原點O且與曲線相切的直線方程為______．6．已知，則的最大值為______．7．已知數(shù)列為正項等比數(shù)列，且，則的最小值為______．8．設a，b為正整數(shù)，且是函數(shù)的一個零點，則______．二、解答題(第9題16分，第10題20分，共36分)9．已知數(shù)列滿足：，．(1)證明：是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；(2)證明：．10．已知雙曲線的中心為原點O，左、右焦點分別為，，離心率為，點P是直線上任意一點，點Q在雙曲線E上，且滿足．(1)求實數(shù)a的值;(2)證明：直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值；(3)若點P的縱坐標為1，過點P作動直線l，與雙曲線右支交于不同兩點M，N，在線段MN上取異于點M，N的點H，滿足．證明：點H恒在一條定直線上．北京師范大學貴陽附屬中學第一屆“π”杯數(shù)學競賽(高二年級)參考答案一、填空題(本題共8小題，每題8分，共64分)1．2．03．4．5．6．7．208.5二、解答題(第9題16分，第10題20分，共36分)9．(1)因為，，所以，故是以2為首項、2為公比的等比數(shù)列．因此，，故．(2)因為當時，，所以，于是．10．(1)由題意得，且，解得．(2)證明：由(Ⅰ)知，直線，．設，．因為，所以，得．又在E上，所以，得．所以．所以直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值．(3)設，，．則，，即，．設，則即整理得，，①，②，③．④由①×

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