2023-2024學(xué)年四川省瀘縣高二年級(jí)下冊(cè)開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)（理）模擬試題 (二)（含答案）

2023-2024學(xué)年四川省瀘縣高二下冊(cè)開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)（理）

模擬試題

一、單選題

1.某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100件，為檢

驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種

型號(hào)的產(chǎn)品中抽取件.

A.24B.18C.12D.6

【正確答案】B

【分析】根據(jù)分層抽樣列比例式，解得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)分層抽樣得應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取60x=I8,選B.

…200+4A00+°3L00+1S0C0

在分層抽樣的過(guò)程中，為了保證每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性是相同的，這就要求各層所抽取的

個(gè)體數(shù)與該層所包含的個(gè)體數(shù)之比等于樣本容量與總體的個(gè)體數(shù)之比，即m：Ni=n：N.

2.某汽車制造廠分別從A,3兩類輪胎中各隨機(jī)抽取了6個(gè)進(jìn)行測(cè)試，下面列出了每一個(gè)

輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程（單位：10'km）.

A類輪胎:94,96,99,99,105,107.

B類輪胎:95,95,98,99,104,109.

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是（）

A.A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)小于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)

B.A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差等于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差

C.A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)大于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)

D.A類輪胎的性能更加穩(wěn)定

【正確答案】D

【分析】根據(jù)眾數(shù)、極差、平均數(shù)和方差的定義以及計(jì)算公式即可求解.

【詳解】解：對(duì)A：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)為99,B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)

為95,選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)B：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為13,8類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為14,選項(xiàng)B

錯(cuò)誤.

-6-4-1-1+5+7

對(duì)C：4類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為100+-----------------------=100,8類輪胎行駛的

最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為100+---------------=100,選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

6

對(duì)D：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的方差為

(94ToO)2+(96-IOo)2+(99-IOO),2+(105TOO)2+007700)2f§類輪胎行駛的最

63

遠(yuǎn)里程的方差為

(95-100)2x2+(98-IoO)2+(99700)2+(104-100)2+(109-100)2=76>64>類輪胎的

性能更加穩(wěn)定，選項(xiàng)D正確.

故選：D.

3.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至

2016年12月期間月接待游客量(單位：萬(wàn)人)的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖.根據(jù)該折

線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)

【正確答案】A

【分析】觀察折線圖，結(jié)合選項(xiàng)逐一判斷即可

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,由圖易知月接待游客量每年7,8月份明顯高于12月份，故A錯(cuò)；

對(duì)于選項(xiàng)B,觀察折線圖的變化趨勢(shì)可知年接待游客量逐年增加，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,觀察折線圖，各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份，故C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，觀察折線圖，各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)7月至12月，波動(dòng)性更小,

變化比較平穩(wěn)，故D正確.

故選：A

4.若直線x+αy+2=0與直線x-2y-3=0平行，則”=()

A.—2B.—C.?D.2

22

【正確答案】A

【分析】根據(jù)給定條件列式計(jì)算，再進(jìn)行驗(yàn)證即可作答.

【詳解】因直線x+αy+2=0與直線x-2y-3=O平行，則lx(-2)-axl=0,解得。=—2,

當(dāng)。=一2時(shí)，直線X-2y+2=0與直線x-2y-3=0平行，

所以α=-2.

故選：A

5.若正整數(shù)N除以正整數(shù)機(jī)后的余數(shù)為〃，則記為N≡"(modm),如10≡2(mod4).如圖所

示的程序框圖的算法源于我國(guó)古代聞名中外的“中國(guó)剩余定理”.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的i

等于()

(?)

w=l,/=1

n=n+i

/=/+3

/輸出i/

'I'

(??

A.7B.10C.13D.16

【正確答案】C

【分析】根據(jù)“中國(guó)剩余定理”，進(jìn)而依次執(zhí)行循環(huán)體，最后求得答案.

【詳解】由題意，第一步："=2,i=4,余數(shù)不為1；第二步：〃=6,i=7,余數(shù)不為1；

第三步：/7=13,/=10,余數(shù)為1,執(zhí)行第二個(gè)判斷框，余數(shù)不為2；

第四步：n=23,/=13,執(zhí)行第一個(gè)判斷框，余數(shù)為1,執(zhí)行第二個(gè)判斷框，余數(shù)為2.

輸出的，?值為13.

故選：C.

6.下列關(guān)于拋物線y=V的圖象描述正確的是（）

A.開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為（0,；）B.開(kāi)口向右，焦點(diǎn)為（；,（））

C.開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為（0,￡|D.開(kāi)口向右，焦點(diǎn)為

【正確答案】A

【分析】把y=/化成拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程∕=y,依據(jù)拋物線幾何性質(zhì)看開(kāi)口方向，求其焦點(diǎn)

坐標(biāo)即可解決.

【詳解】y=/,即f=y.則2p=l,BIJp=I

故此拋物線開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為（0,；）

故選：A

7.某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒，若一名行人來(lái)

到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為

A?B-C3D?

108810

【正確答案】B

【詳解】試題分析：因?yàn)榧t燈持續(xù)時(shí)間為40秒,所以這名行人至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠

燈的概率為40"-1短5=5],故選B.

幾何概型

【名師點(diǎn)睛】對(duì)于幾何概型的概率公式中的“測(cè)度”要有正確的認(rèn)識(shí)，它只與大小有關(guān)，而與

形狀和位置無(wú)關(guān)，在解題時(shí)，要掌握“測(cè)度”為長(zhǎng)度、面積、體積、角度等常見(jiàn)的幾何概型的

求解方法.

8.圓G5+y2-4χ-16=0與圓C2：￡+（y+l>=5的位置關(guān)系是（）

A.相交B.外切C.內(nèi)切D.相離

【正確答案】C

【分析】根據(jù)兩圓的位置關(guān)系的判定方法，即可求解.

【詳解】由G:/+/-416=0與圓C2：/+。+1)2=5,

可得圓心〈(2,0),C(O,-1),半徑N=2√5,Λ2=√5,

則IeGl=√(2-0)2+(0+02=√5,

旦Ri-R1=2yβS底,

所以N-A2=∣GG∣,所以兩圓相內(nèi)切.

故選：C.

9.在直三棱柱ABC-ABe中，AAI=2AB1=2BIC,,且ABLBC,點(diǎn)"是AG的中點(diǎn)，則

異面直線MB與AA所成角的余弦值為()

A.?B.邁C3√21

D.-

332

【正確答案】B

【分析】以8為原點(diǎn)，54為X軸，BC為V軸，84為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得

=AAI=(0,?01,利用空間向量夾角余弦公式能求出異面直線M8與AA

所成角的余弦值.

【詳解】在直三棱柱ABC-ABg中，ΛΛl=2Λ,βl=2B1C1,且ABIBe,點(diǎn)M是AG，

以8為原點(diǎn)，區(qū)4為X軸，BC為V軸，BBl為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AAi=2A1B1=2B1C1=2,

則M8(0,0,0),A(l,0,0),A(1,0,2),

MB=(-；,T,-g),A41=(0,0,2),

設(shè)異面直線MB與AA所成角為Q,

∣MB?Λ41∣

4-2√2

則S""阿叫辱F

異面直線M3與AA所成角的余弦值為刎1,故選B.

3

本題主要考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題.求異面直線所成的角主要方法有

兩種：一是向量法，根據(jù)幾何體的特殊性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系后，分別求出兩直線的方向

向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳統(tǒng)法，利用平行四邊形、三角形中位線

等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質(zhì)求解.

10.直線(2m+2)x+(2m-3)y+5=0(∕n∈R)與圓C:(x-l>+(y+2)2=16相交于交B兩點(diǎn),

則IABl的最小值為()

A.6B.4C.3√2D.2√3

【正確答案】D

【分析】先求出直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)P,再由弦長(zhǎng)公式IABl=2彳二7'可分析出當(dāng)A8,PC時(shí)，

∣A8∣最小，從而可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?2〃?+2)x+(2m-3)y+5=0可化為2(x+y)m+2x-3y+5=0,

令A(yù)2，(x+y)=0解得[x=-.?.

2x-3y÷5=0[y=l

所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)AT」)，該點(diǎn)在圓內(nèi)，

因?yàn)镮ABI=2，尸-屋,所以要求IABl的最小值，即求圓心C到直線AB的最大距離,，

顯然當(dāng)ABLPC時(shí)，"=|尸。最大，∣A8∣最小，

又因?yàn)閳AC"x-iy+(y+2)2=16,所以圓心C(l,—2),r=16,則

IPq=7(-l-l)2+(l+2)2=√13,

故此時(shí)IABl=2√r2-∣PC∣2=2×√16-13=2√3.

故選：D.

H.已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)K,K,P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且N7=JPB=T,記橢

圓和雙曲線的離心率分別為G,6,則0仁的最小值為()

A.—B.—C.1D.-

222

【正確答案】B

【分析】利用橢圓和雙曲線的定義及可以列出關(guān)于6,右的方程，再利用均值

定理即可得到的最小值

【詳解】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2α,雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為24',

?PFt?=m,?PF2?=n,(〃z>〃),?FiF2?=2c

,(ιn+n=2a,fm=a-^a,

則C,，解t之得，

[m-n=2a[n=a-a

▼π/H2+/t2-4C21

乂cos—=-----------------=—

32mn2

則(a+")?+(々一")2—4c2=(α+α)(α-

134

則〃2+3/_4/=0,則~e?τ+~eιτ=4

則4=」+42小三=拽,貝立

el"e2"Nele2ele22

(當(dāng)且僅當(dāng)4=*,g=乎時(shí)等號(hào)成立)

則eγ的最小值為必

2

故選：B

12.已知拋物線C：V="的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線與X軸的交點(diǎn)為κ,點(diǎn)A在。上且

?AK?^>∕2?AF?,則ΔAFK的面積為()

A.4B.8C.16D.32

【正確答案】B

【詳解】F(2,0),K(-2,0),過(guò)A作AM_L準(zhǔn)線，則IAMl=IAF|,

.?.∣AK∣=&IAM三角形APM為等腰直角三角形，

設(shè)A(m2,20m)(m>0),

由IAMl=IMKl得2&=/+2,解得機(jī)=2

則^AFK的面積=4x20m?g=4應(yīng)m=8,

故選B.

二、填空題

13.一組樣本數(shù)據(jù)為m,0,1,2,3,若該樣本的平均數(shù)為1,則樣本方差為.

【正確答案】2

【分析】根據(jù)樣本平均數(shù)為1，得到'"+°+[2+3=I,求出Zn=t,再利用方差計(jì)算公式

解出方差即可.

【詳解】因?yàn)閙0,1,2,3的平均數(shù)為1,即旭+°+；歲+3=],

解得帆=-1,

故方差為?2=∣[(-1-D2+(O-I)2+(I-I)2+(2-1)2+(3-1)2]

=∣(4+l+0+l+4)=2.

故2

14.若圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為3,圓心角為9JT的扇形，則該圓錐的體積為.

【正確答案】巫

3

【分析】根據(jù)題意，求得圓錐的底面圓的半徑和高，結(jié)合體積公式，即可求解.

【詳解】由題意，圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的半徑為3,所以圓錐的母線長(zhǎng)為/=3,

設(shè)圓錐的底面半徑為，高為心則2Q=3X等,解得r=l,

可得圓錐的高為∕z=廬彳=存彳=20，

所以圓錐的體積Y=J]xl2χ20=豆豆.

33

故迤E.

3

15.過(guò)拋物線V=2px(p>0)的焦點(diǎn)尸作直線交拋物線于AB兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線

。4,。8的斜率分別為《義,則K"=.

【正確答案】-4

【分析】過(guò)焦點(diǎn)尸作直線要分為有斜率和斜率不存在兩種情況進(jìn)行分類討論.

【詳解】拋物線V=2px(p>0)的焦點(diǎn)尸(爭(zhēng)0)

當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)尸的直線斜率不存在時(shí)，直線方程可設(shè)為X=S不妨令A(yù)(《，P),B(4，-P)

N22

k一旦一2&--2

則勺—3一’多一旦一:故人4=2x(-2)=-4

I2

當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)尸的直線斜率存在時(shí)，直線方程可設(shè)為y=%(x-g,令A(yù)(XQ),8*2,必)

由＜，'=心一耳)整理得4日_4〃(父+2次+&方=0

.V=2px

則xl+x2=，［+2),χlχ2=,

2

y∣y2=k?xl-y)(x2-y)=kxlx2(xl+x2)+

222

pk'n-IVIip'k'pkp(k+2)p-k

S2"=八2JJ4——W——^-=-4

X

1x2X1X2XiX2P

T

綜上，kl-k2=-4

故T

16.如圖，在四棱錐P-ABCO中，一皿>是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，四邊形ABCD是等腰

梯形，AD//BC,ZABC=GOo,AB=AD,若四棱錐P-ABa）的體積為24,則四棱錐

P-ABCD外接球的表面積是.

P

【分析】根據(jù)球的截面圓圓心與球心的連線垂直截面可確定00'垂直平面ABCr>,構(gòu)造直角

三角形求解球的半徑即可得解.

【詳解】如圖，分別取BC,4。的中點(diǎn)O',E,連接PE,0'E,0'A>0'D.

P

因?yàn)橐籎RM>是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，所以PE=2√L

因?yàn)樗倪呅蜛BCo是等腰梯形，AB=AD=4,AD//BC,NABC=60。,

所以O(shè)'E=2jLBC=S.

因?yàn)樗睦忮FP-AfiCO的體積為24,

所以lχ(4+8)>2G力=24,所以∕Z=2√L

32

因?yàn)镋是AO的中點(diǎn)，所以PElAZX

因?yàn)镻E=II=26,所以PEl■平面ABCD

因?yàn)?。A=。B=Oe=。。=4,

所以四邊形ABCQ外接圓的圓心為O',半徑r=4.

設(shè)四棱錐P-ABCe)外接球的球心為0,連接。0',OP,0B,過(guò)點(diǎn)。作O尸，PE,垂足為

F.

易證四邊形EFOO'是矩形，則EF=OO',OF=O'E=2瓜

設(shè)四棱錐P-ABCD外接球的半徑為R,則

R2=OO'-+O1B2=OF2+PF2=O'E2+(PE-OO')2,即

R2=OO'-+42=(2√3)2+(2√3-OO/y,解得W號(hào)，

故四棱錐p-ABCD外接球的表面積是4萬(wàn)尸=4”.

三、解答題

17.設(shè)P：函數(shù)〃x)=∣gf0x2-x+?>∣的定義域?yàn)镽；9：不等式x+->a對(duì)任意的x∈(0,+∞)

I36，X

恒成立.

(1)如果P是真命題，求實(shí)數(shù)α的取值范圍；

(2)如果“P9”為真命題，“2八4”為假命題，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【正確答案】(1)(3,T8)

(2)(→o,2)u(3,+∞)

【分析】（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為奴2一》+三>0對(duì)任意的Nw/?恒成立，結(jié)合二次

36

函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；

（2）利用基本不等式，求得當(dāng)命題4是真命題，得到“<2,結(jié)合“pvg”為真命題，，，PM、，

為假命題，分類討論，即可求解.

【詳解】（1）解：因?yàn)?。是真命題，所以0χ2-x+C>0對(duì)任意的XeR恒成立，

36

當(dāng)α=O時(shí)，不等式-χ>O,顯然在XeR不能恒成立；

a>0,

當(dāng)αwθ時(shí)，則滿足L,a八解得a>3,

I-4a—<0,

I36

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為（3,—8）.

（2）解：因?yàn)閤>0,所以x+L≥2JχJ=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號(hào)成立.

若4是真命題，則。<2；

因?yàn)椤皃v”為真命題，“P^4"為假命題，所以P與4一真一假.

a>3,

當(dāng)P真9假時(shí)，、。所以。>3；

a≥2,

[a<3,

當(dāng)。假4真時(shí)，?C所以“<2,

?a<2,

綜上，實(shí)數(shù)α的取值范圍為（e,2）u（3,M）.

18.某地區(qū)2013年至2019年農(nóng)村居民家庭人均純收入M單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表:

年份2013201420152016201720182019

年份代號(hào)t1234567

人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9

（1）求y關(guān)于/的線性回歸方程；

（2）利用（1）中的回歸方程，分析2013年至2019年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變

化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2021年農(nóng)村居民家庭人均純收入.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：

z(?-?(?,-?)IyK-"了

B=J-------------=j≡?-------------,a=y-h-T

∑0,-η2?；-〃?〃

/=II=I

【正確答案】(1)y=O.5r+2.3;(2)2013年至2019年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐

年增加，平均每年增加0.5千元；6.8千元.

【分析】(1)根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，計(jì)算出i和7的值，將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式求

出〃和α的值，即可得出〉關(guān)于，的線性回歸方程；

(2)根據(jù)回歸直線方程可分析出2013年至2019年該地區(qū)居民家庭人均純收入的變化情況,

將f=9代入回歸直線方程可計(jì)算出該地區(qū)2021年居民家庭人均純收入的估計(jì)值.

【詳解】(1)由所給數(shù)據(jù)計(jì)算得i=1(l+2+3+4+5+6+7)=4,

y=y(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,

Egiy=9+4+1+0+1+4+9=28,

Z(f,?—‘)(y—)')=(—3)×(―1?4)+(―2)x(―1)+(-I)X(—0.7)+0χ0.l+lχ0.5

Z=I

+2×0.9+3×1.6=14,

所求線性回歸方程為y=0,5r+2?3;

(2)由(1)知，6=0.5>0,故2013年至2019年該地區(qū)居民家庭人均純收入逐年增加，

平均每年增加0.5萬(wàn)元，

將2021年的年份代號(hào)f=9代入(1)中的線性回歸方程，得y=0?5χ9+2.3=6.8,

故預(yù)測(cè)該地區(qū)2021年居民家庭人均純收入為6.8萬(wàn)元.

本題考查線性回歸方程的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是利用最小二乘法計(jì)算出線性回歸方程的系

數(shù)，考查計(jì)算能力，是一個(gè)基礎(chǔ)題.

19.已知以點(diǎn)A(-1,2)為圓心的圓與直線小x+2y+7=0相切，過(guò)點(diǎn)B(-2,θ)的直線/與圓A

相交于M,N兩點(diǎn)，。是MN的中點(diǎn)，∣M∕V∣=2√19.

(1)求圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)求直線/的方程.

【正確答案】(I)(X+1『+(y-2)?=20

⑵X=-2或3x-4y+6=0

【分析】(1)由圓與直線相切結(jié)合點(diǎn)線距離公式可得半徑，即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)分別討論直線/與X軸垂直與否，設(shè)出直線方程，結(jié)合垂徑定理、點(diǎn)線距離公式列方

程即可解得參數(shù).

由圓與直線小x+2y+7=0相切得R=日竿口=2后,

【詳解】(1)設(shè)圓A半徑為R,

√5

...圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(>-2)2=20.

(2)i.當(dāng)直線/與X軸垂直時(shí)，即X=-2,此時(shí)IMNI=2-(-1+2)2=2√I?，符合題意;

ii.當(dāng)直線/不與X軸垂直時(shí)，設(shè)方程為y=&(x+2),即京-y+2k=0,

L-i------八I-Λ-2÷2?∣3

。是MN的中點(diǎn)，IMNT=2曬,ΛAQ=√20-19=1,即月。=L=1，解得

.?.直線/為.3x-4y+6=0

直線/的方程為x=-2或3x-4y+6=0.

20.某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)校學(xué)生在一周零食方面的支出情況，抽出了一個(gè)容量為"的樣本，分

成四組[20,30),[30,40),[40,50),[50,60],其頻率分布直方圖如圖所示,其中支出在[50,

60]元的學(xué)生有180人.

t頻率

組距

0.036

0.024

0.01

0

2030405060支出金額/元

(1)求〃的值；

(2)請(qǐng)以樣本估計(jì)全校學(xué)生的平均支出為多少元(同一組的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

(3)如果采用分層抽樣的方法從［30,40),［40,50)共抽取5人，然后從中選取2人參

加學(xué)校進(jìn)一步的座談會(huì)，求在［30,40),［40,50)中正好各抽取一人的概率為多少.

3

【正確答案】(1)600人；(2)43.6元；(3)-.

【分析】(1)求出［50,60］的頻率，利用人數(shù)為180人，求出總?cè)藬?shù)”；

(2)利用頻率分布直方圖求出樣本平均數(shù)，即可估計(jì)全校的平均支出；

(3)結(jié)合分層抽樣，先求出5人中選2人一共有多少種情況，再看滿足題目要求的有幾種

情況，就可得到概率.

【詳解】(1)由圖可知，支出在［50,60］元的學(xué)生頻率為1T0?01+0?024+0.036)X10=0.3,

所以"=180÷0.3=600人；

(2)樣本平均數(shù)為0.01χl0*25+0.024χl0χ35+0.036*10χ45+0.03*10χ55=43.6元，

那么估計(jì)全校學(xué)生的平均支出為43.6元；

(3)用分層抽樣的方法從(30,40),［40,50)共抽取5人，

因?yàn)椋?0,40),［40,50)中人數(shù)比例為2:3,

那么［30,40)抽取2人記為α,b,［40,50)中抽取3人記為A,B,C,

5人中選取2人有ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC,AB,AC,BC共10種情況，

［30,40),［40,50)中各抽取1人有OAMBMC,?4,6B,bC,共6種情況,

故概率為(=∣.

21.如圖，在四棱錐尸—ABCD中，PAJ_底面ABC。，PA=AB,5是PC的中點(diǎn),

B

(1)證明：PBA.AF；

(2)求直線PB與平面AFQ所成角的正弦值.

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵平

O

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出向量PB和AF，證明P8?A尸=O即可；

(2)先求出P8和平面4D的法向量"，然后利用公式卜。S(P3,〃)=1#求出

I`/IIPBHq

卜。S(PB,n)∣,則直線總與平面AH)所成角的正弦值即為卜。S(PB,.

兀

【詳解】(I)證明：VBC=CD,AACB=ΛACD=-,.?ΛACBACD,：.AB=AD,

設(shè)AC=2BC=28=4α,

在4AC。中，由余弦定理得">2=442+16〃-8/=12?2,即A∑>=2√5α,

則A￡>2+C￡)2=AC2,即ABlBC,ADVDC,

連接8。交AC于點(diǎn)。，分別以04,OB為X軸、y軸，過(guò)。作Z軸〃PA,建立如圖空間直

角坐標(biāo)系,則。(0,0,0),A(3α,0,0),B(0,√3α,0),C(-α,0,0),D(0,-√3α,0),P(3α,0,2島),

PC的中點(diǎn)F(4,O,島),

P

z

則PB=(一3〃,Gd—2島)，AF=(一2〃,(),√3t∕),

VPBAF=6a2÷0-6a2=0,?PBVAF.

(2)由(1)可知，Ao=(—3〃,—GdO),AF=(-2〃,0,6〃)，PB=(―3氏耳,一2島)，

設(shè)平面AfP的法向量為〃=（尤,y,z）,

nlAD-3ax-?[3ay=O

則，即

∏1AF-2ax+?∣3az=0

令犬=百，則V=-3,z=2,β[Jn=(>∕3,-3,2),

∣Pβ?n∣∣-3√3(a-3√3a-4√3o∣5夜

貝UCoS(P氏〃)卜

∣PB∣?∣M∣^2√6α×4-8

記直線尸8與平面Am所成角為O,Sine=kos<P8,“∣=手

2

22/v

?已知橢圓w：/+%=y>°）的左、右焦點(diǎn)分別是耳，F(xiàn)21點(diǎn)P為W的上頂點(diǎn),

點(diǎn)。在W上，PF2=IF2Q,且「白PQ=-亍.

（1）求卬的方程;

（2）已知過(guò)原點(diǎn)的直線4與橢圓W交于c,O兩點(diǎn)，垂直于4的直線4過(guò)「且與橢圓W交

于"，N兩點(diǎn)，若Iaf=6∣MN求5然6.

2

【正確答案】（1）?+r=i;（2）&.

4

（8cb、

（1）設(shè)耳（一。,0）,乙（。,0）,由已知P