2023-2024學年廣東省數(shù)學高二年級上冊期末預測試題含解析

2023-2024學年廣東省數(shù)學高二上期末預測試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.函數(shù)了(%)的導函數(shù)為「⑺，對任意xeR,都有尸(%)>—/(可成立，若/(In2)=；,則滿足不等式“X)>J

的x的取值范圍是()

A.(1,+co)B.(0,1)

C.(In2,-Hx>)D.(0,ln2)

2.已知數(shù)列｛4｝的前"項和為S",S?=2a?+l(2>l),a2=-2,貝!|九=()

A.-2047B.-1023

C.1025D.2049

3.已知數(shù)列｛4｝滿足a“+i-2a“=0(neN*),且q+%+%="，那%+。6+。8=()

A.19B.31

C.52D.104

4.已知拋物線f=2py(p>0),過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點,若線段A3的中點的橫坐標為

3,則該拋物線的準線方程為()

。3

A.y=TB.y=——

2

C.x=-3D.%=—

2

5.如圖所示，正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點的多面體的表面積為()

C.8D.12

6.等比數(shù)列｛4｝的各項均為正數(shù)，且%/=3,貝！Jk>g3%+log3a2++log3aw=()

A.5B.10

C.4D.2+log35

7.數(shù)列｛4｝中，an+l=2an+l,4=1,貝！|%=()

A.32B.62

C.63D.64

8.已知I,機是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且lua,mu。，則（）

A.若a-L/3,貝！|/〃加B.若則

C.若C/?,貝!I/，加D.若///祖,則。///

22

9.設雙曲線E：二—==1（a>0,Z>>0）的右頂點為A,右焦點為F,B為雙曲線E在第二象限上的點，直

ab

線80交雙曲線￡于另一個點C（。為坐標原點），若直線也平分線段FC,則雙曲線E的離心率為（）

A.3B.2

D.也

10.若曲線y=e-與曲線y=在公共點處有公共切線，則實數(shù)。=（）

R冊

15.-----

e

21

C.一D.-

ee

2

11.已知雙曲線的離心率為2,且與橢圓好+匕=1有相同的焦點，則該雙曲線的漸近線方程為（）

4

A.y=+y/3xB?±冬

C.y=+2xD?y=±-x

2

C、。四點共面，但任意三點不共線，若P為該平面外一點且=xPC-’PI）,則實數(shù)X

12.空間A、B、

33

的值為（）

11

A.-B.——

33

22

C.一D.----

33

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在正項等比數(shù)列｛詼｝中，若《。5a9=64,每與知的等差中項為12,則可。等于.

14.i為虛數(shù)單位，復數(shù)上2=_____

3-41

15.如圖，在四棱錐P—ABC。中，。是邊中點，/?0，底面483.2。=1.在底面48。)中，BC//AD,

CD±AD,BC=CD=1,AD=2.

P

(1)求證：A3〃平面POG

(2)求直線PC與平面MB所成角的正弦值.

16.已知離心率為0,且對稱軸都在坐標軸上的雙曲線C過點(石,-1),過雙曲線C上任意一點P,向雙曲線C的

兩條漸近線分別引垂線，垂足分別是A,B,點。為坐標原點，則四邊形。4P5的面積為

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知點”(1,3),圓C：(x-2)2+(y+l)2=4,Z：x+y+4=0.

(1)若直線過點M,且被圓C截得的弦長為2君，求該直線的方程；

(2)設尸為已知直線/上的動點，過點尸向圓C作一條切線，切點為Q,求歸。|的最小值.

18.(12分)已知圓C經過點4(1,1),5(2,0),且它的圓心C在直線3x—y—3=0上.

(1)求圓C的方程；

(2)過點。倒,6)作圓C的兩條切線，切點分別為M,N,求三角形PMN的面積.

19.(12分)已知圓M過C(l,-1),Z>(-1,1)兩點，且圓心M在x+y-2=0上.

(1)求圓M的方程；

(2)設尸是直線3x+4y+8=0上的動點，PA,是圓M的兩條切線，A,B為切點,求四邊形”LM3面積的最小值.

22

20.(12分)已知橢圓C:工V+與V=1(?！怠！?)的左、右焦點分別為耳，工，離心率為1力，過B的直線與橢圓。交

ab2

于A,B兩點,若上耳48的周長為8.

(2)設P為橢圓。上的動點，過原點作直線與橢圓。分別交于點河、N(點P不在直線上)，求PMN面積

的最大值.

21.(12分)已知函數(shù)/(X)=-%2-3,g(^x)=2x]nx-ajc.

(1)若函數(shù)八%)與g(x)在x=l處的切線平行，求函數(shù)g(九)在(1，g。))處的切線方程;

(2)當xw(O,+8)時，若g(x)N/(x)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

22.(10分)求滿足下列條件的圓錐曲線的標準方程：

(1)已知橢圓的焦點在x軸上且一個頂點為4(2,0),離心率為當；

(2)求一個焦點為(5,0),漸近線方程為y=±gx的雙曲線的標準方程；

(3)拋物線y2=2px(°>0),過其焦點斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點,且線段48的中點的縱坐標為2.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】構造函數(shù)g(x)=e"(x),利用導數(shù)分析函數(shù)g(x)的單調性，將所求不等式變形為g(x)>g(ln2),結合

函數(shù)g(x)的單調性即可得解.

【詳解】對任意xeR,都有/'(%)>—/(x)成立，即/'(力+/(力>0

令g(x)=e"(x)，則g'(x)=+/(%)]>0,

所以函數(shù)g(x)R上單調遞增

不等式/(x)>《即即g(x)>l

因為/'(1112)=3,所以g(ln2)=*2"ln2)=2xg=l

所以，g(x)>l=g(ln2),解得%>ln2,

所以不等式g⑴>1的解集為(In2,-+w)

故選：C.

2、B

SSTI>2

【解析】根據(jù)題意得2=2,進而根據(jù)為="—得數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，公比為2,首項為q=-1,再

根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可.

【詳解】解：因為數(shù)列｛4｝的前"項和為S"滿足S"=2a“+l(X>l),%=-2

所以當〃=1時，Sl=+1=,解得％=」：，

1-A

當〃=2時，S=Aa+1=囚+%=-----F%，即一22+1=--------2

221—X1—X

所以2彳2一54+2=0,解得2=；或/1=2,

因為幾>1,所以2=2.

所以S"=2a〃+1,q=T,

所以當2時，S“T=2a,i+l,

所以=2an-2a,i，即a“=2al

所以數(shù)列｛&｝是等比數(shù)列，公比為2,首項為％=-1,

所以Ro=-1］；)=1-210=-1023

故選:B

3、D

【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，結合等比數(shù)列的通項公式進行求解即可.

【詳解】因為％M—2a〃=0(〃eN*),所以有色旦=2,因此數(shù)列｛4｝是公比q=2的等比數(shù)列,

an

因為q+/+%=13,

a3

所以。4+4+。8=\Q+。3/+a5q=+生+%）=2^x13=104,

故選：D

4、B

【解析】設4（4%）,3（%2，%），進而根據(jù)題意，結合中點弦的問題得p=3,進而再求解準線方程即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，設A）,5（%,%），

所以X；=22x①，%2=2py?②，

一/、/、/、,y—％2〃

所以，①一②得：（玉一%）（玉+為2）=22（乂一為），即左AB=1_二=-----,

因為直線A5的斜率為1,線段A3的中點的橫坐標為3,

所以上=1，即P=3,

&-x2x；+x23

3

所以拋物線f=6y,準線方程為y=-g.

故選:B

5、B

【解析】首先確定幾何體的空間結構特征，然后求解其表面積即可.

【詳解】由題意知，

該幾何體是一個由8個全等的正三角形圍成的多面體,

正三角形的邊長為：,5=0，

正三角形邊上的一條高為：J（0）2_（*）2=乎,

所以一個正三角形的面積為：Lx必立=旦,

222

所以多面體的表面積為：8義苴=4百.

2

故選：B

6、A

【解析】利用等比數(shù)列的性質及對數(shù)的運算性質求解.

【詳解】由題有。2a9=。4a7=0506="l"10=39貝?|

5

log3ax+log3++log3〃io=log3)=log33=5.

故選：A

7、C

【解析】把。x=2%+l化成為+i+l=2(q+l),故可得｛%+1｝為等比數(shù)列，從而得到。6的值?

【詳解】數(shù)列｛〃/中，4+1=2%+1,故為M+1=2(4+1),

因為4=1,故〃i+l=2w。，故?！?1。0,

Q“j_i+1/(\

所以彳==2,所以｛aa+l｝為等比數(shù)列，公比為2,首項為2.

所以%+1=2"即a"=2"—1,故％=63,故選C.

【點睛】給定數(shù)列的遞推關系，我們常需要對其做變形構建新數(shù)列(新數(shù)列的通項容易求得)，常見的遞推關系和變形

方法如下：

pa，i11q

(1)an~取倒數(shù)變形為--------=—;

qj+pana吁Ip

⑵%=pa“T+q(p#O),變形為2=%+3(P”0,pwl),也可以變形為?！耙?-=p丁”卜

PPPl-pI1-pJ

8、B

【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系分析選項A,C,D,由平面與平面垂直的判定定理

判定選項D.

【詳解】選項A.由/ua,mu〃，a±)3,直線1,機可能相交、平行，異面，故不正確.

選項B.由/，分，lua,則故正確.

選項C.由/ua,mu齊，直線/,小可能相交、平行，異面，故不正確.

選項D.由/＜=%加＜=/，/〃"2,則名，可能相交，可能平行，故不正確.

故選：B

9、A

【解析】由給定條件寫出點A,尸坐標，設出點5的坐標，求出線段FC的中點坐標，由三點共線列式計算即得.

【詳解】令雙曲線E的半焦距為c,點A(a,O),尸(c,0),設＜0,%〉0),由雙曲線對稱性得C(—x。,—為)，

線段FC的中點。（三”,-甘），因直線朋平分線段尸C,即點。，A,3共線，

%

于是有BB=3D，即工^=-Z—=二』一，即c=3a,離心率e=￡=3.

。

xQ-a_c-xx0-a2a-c+xQa

a2-

故選：A

10、A

【解析】設公共點為P（s/）,根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得出關于。、S的方程組，即可解得實數(shù)a、S的值.

【詳解】設公共點為P（sj）,>=6）的導數(shù)為）/=17,曲線y=e*T在P（s/）處的切線斜率k=e~,

y=a6的導數(shù)為了=裊，曲線>=a6在P（s，。處的切線斜率左=￡，

因為兩曲線在公共點尸處有公共切線，所以e~=已，且/=eZ=a&，

故選：A

11、B

【解析】求出焦點，則可得出即可求出漸近線方程.

2

【詳解】由橢圓必+?=1可得焦點為（0,土石），

22

則設雙曲線方程為二—二=1（?！?力〉0）,可得C=6,

ab

則離心率6=￡=2,解得。=且，則人=J?=7=3,

a22

所以漸近線方程為y=±@x=土且x.

-b3

故選：B.

12、A

【解析】由空間向量共面定理構造方程求得結果.

【詳解】空間AB、a。四點共面，但任意三點不共線，—x—，=1,解得：x=-.

333

故選：A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、128

【解析】先根據(jù)條件利用等比數(shù)列的通項公式列方程組求出首項和公差，進而可得

【詳解】設正項等比數(shù)列｛〃〃｝的公比為夕國>0,

由已知=64,得。5=4,"1/=4①，

又&+%=24,/.ad+ad_24②，

由①②得q=2,%=；,

/.a10=%，=；x2。=128

故答案為：128.

12.

14>——+—1

55

【解析】利用復數(shù)的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軌復數(shù)，化簡求解即可.

【詳解】3-4i（3-4i）（3+4i）2555

12

故答案為：—g+yi?

15、（1）證明見解析

⑵-

3

【解析】（1）由題意，證明3CQ4是平行四邊形，從而可得然后根據(jù)線面平行的判斷定理即可證明;

（2）證明是平行四邊形，從而可得08,AD,由題意，可建立以08,。。,OP為蒼y*軸建立空間直角坐標

\n-Pc\

系，求出平面A8尸的法向量〃=（苞y,z）,利用向量法即可求解直線尸C與平面所成角的正弦值為」------L.

\n\-\PC\

【小問1詳解】

證明：由題意5C=Q4,又3C〃Q4,所以BCQ4是平行四邊形，所以A5〃0C,

又ABC平面POC,OCu平面尸OC,所以〃平面尸OG

【小問2詳解】

解：BC=OD,BC//OD,所以BC0O是平行四邊形，所以05〃。。，0B=CD,而COLA。,

所以05,AD,以050。OP為x，%z軸建立空間直角坐標系，如圖，

則6(1,0,0),A(0,—1,0),尸(0,0,1),AB=(1,1,0),AP=(0,1,1),

設平面ABP的一個法向量為n=(x,y,z),

n-AB=x+y=0,~

則取x=l,則y=T,z=l,所以〃=(1,—1,1),PC=(1,1,-1)

n-AP=y+z=0

\n-PCIi

設直線PC與平面所成角為。，則sin6=」------L=L,

\n\-\PC\3

所以直線PC與平面如3所成角的正弦值為工.

3

16、2

_22

【解析】由離心率為后，...雙曲線為等軸雙曲線，設雙曲線方程為必―丁2=力，可得雙曲線方程為三—2L=i,

44

設P(x,y),則P到兩漸近線的距離為4=勺^,從而可求四邊形Q4PB的面積

【詳解】由離心率為0,...雙曲線為等軸雙曲線，設雙曲線方程為Y—丁=2,

又雙曲線。過點(逐，—1),.?.2=5-1=4,

22

故雙曲線方程為二-匕=1,...漸近線方程為y=±x,

44

設P(x,y),則P到兩漸近線的距離為4=仔?，且――丁=4,

?.?漸近線方程為y=±x,

...四邊形。4PB為矩形，

...四邊形。的面積為=3叢X匚=“二」=2

故答案為：2

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)尤=1或15x+8y—39=0

d

2

【解析】(1)求出圓。的圓心到直線的距離，再利用垂徑定理計算列方程計算；

(2)由題意可知當IPQI最小時，CF連線與已知直線/垂直，求出|CP|,再利用|PQ|=jCP1—22計算即可.

【小問1詳解】

由題意可知圓C的圓心到直線的距離為門—后=1

①當直線斜率不存在時，圓C的圓心到直線距離為1,滿足題意；

②當直線斜率存在時，設過時(1,3)的直線方程為：y—3=左(％-1),即Ax—y+3—左=0

|24+1+3-用15

由點到直線距離公式列方程得：J—,1=1解得上=-一

8

綜上，過M(l,3)的直線方程為九=1或15x+8y-39=0.

【小問2詳解】

由題意可知當IPQI最小時，CP連線與已知直線/垂直，

11VF7F2

由勾股定理知：\PQ\=y/\CP\2-22=J^-4=半，

所以IPQI的最小值為典.

2

18、(1)(x-l)2+y2=1；

(2)空.

4

【解析】(1)由題設知|C4|=|CB|,設圓心C(a,3a-3),應用兩點距離公式列方程求參數(shù)°,進而確定圓心坐標、

半徑，寫出圓C的方程；

(2)利用兩點距離公式、切線的性質可得PM=PN=J^、ZMPN=60°,再應用三角形面積公式求三角形PMN

的面積.

【小問1詳解】

由已知，可設圓心C（a,3a—3）,且|C4|=|C8],

從而有+（3a-4）2=+（3?-3）2，解得a=l.

所以圓心C（1,O）,半徑r=l.

所以，圓C的方程為（X―iy+y2=i.

【小問2詳解】

連接PC,CM,CN,MN,由（1）知：圓心半徑廠=1.

=2.又尸M，PN是圓C的切線,

所以GWLPM,CN±PN,則PM=PN=6，ZMPC=30°,

所以NMPN=60°,

所以S=|x|PM||P2V|sin6O°=1x73x73x^=^.

19、（1）（x-l）2+（y-l）2=4；（2）2A/5.

【解析】⑴設圓M的方程為：（x-4+（y-。）2=/（/〉0）,由已知列出方程組，解之可得圓的方程；

（2）由已知得四邊形PAA組的面積為S=S.+SPBM，即有S=2|B4|,又有S=2，|PM『T.因此要求S的最

小值，只需求|加|的最小值即可，根據(jù)點到直線的距離公式可求得答案.

【詳解】解：⑴設圓〃方程為：（龍―a『+（y—與2=汽廠＞0）,

(1-4+(-1-6)2=/a—\

根據(jù)題意得<-l-a)2+(1-6)2=/=><Z?=1,

a+b-2=0r=2

故所求圓M的方程為：(x—1)2+(y—1)2=4；

(2)如圖,

=SPAM+s,即S=g(|AM||PA|+忸明|「即

四邊形RWB的面積為SPBM

X\AM\=\BM\^2,\PA\=\PB\,所以S=2|B4|,

而陷=4,即S=2PM『4

因此要求S的最小值，只需求|「加|的最小值即可，

\PM\的最小值即為點M到直線3%+4y+8=0的距離

=3,

所以四L二9等

四邊形PAVB面積的最小值為2，|PM『T=2小.

20、(1)—+^=1；(2)2上.

43

【解析】(1)根據(jù)周長可求。，再根據(jù)離心率可求c,求出b后可求橢圓的方程.

(2)當直線尤軸時，計算可得的面積的最大值為2JL直線不垂直》軸時，可設MN:y=Ax,

聯(lián)立直線方程和橢圓方程可求|MN|,設與肱V平行且與橢圓C相切的直線為：y^kx+m,結合橢圓方程可求左，根的

關系，從而求出該直線到直線的距離，從而可求的面積的最大值為2G.

【詳解】(1)由橢圓的定義可知，KA8的周長為4a,

/.4a=8,4=2,又離心率為萬，=Z?2=3,

22

所以橢圓方程為L+匕=i.

43

(2)當直線腦軸時，(SPMN)M=；X2不義2=2幣；

當直線MN不垂直x軸時，沒MN:y=kx,

y=kx

22f212212k2

Y2vnx=-----,y=-----------

—+^=13+4k2-3+4k2

143

1+F

|MN\=4A/3

3+4左2

設與肱V平行且與橢圓。相切的直線為：y^kx+m,

y=kx+m

22

xyn(3+4左2)%2+8bnx+4加之一12=0,

.T+T-

VA=64左2m2-4(3+4左2)(4療一⑵=0,

m2=3+4左2,

|加|3+4左2

P距MN的最大距離為d

amJ1+k21+F

=gX4^/3,1+k2A?

PMN)_=~\MN\-d^3+4左2"

綜上，面積的最大值為2月.

【點睛】方法點睛：求橢圓的標準方程，關鍵是基本量的確定，而面積的最值的計算，則可以轉化為與已知直線平行

且與橢圓相切的直線與已知直線的距離來計算，此類轉化為面積最值計算過程的常規(guī)轉化.

21、(1)2%+y+2=0；(2)(-co,4].

【解析】(1)求出函數(shù)的導數(shù)，利用切線平行求出a,即可求出切線方程；

33

(2)先把已知條件轉化為a<x+21nx+—,令/z(x)=x+21nx+—(0,+s),利用導數(shù)求出〃(龍)的最小值,

XX-

即可求出實數(shù)〃的取值范圍.

【詳解】⑴/(X)=—2X,故左=/■，⑴=—2,而g'(x)=2(lnx+l)-a,故g'⑴=2—a,故2—a=—2,解得:a=4,

故g⑴=—a=T，故g(x)的切線方程是:y+4=—2(x-1),

即2x+y+2=0