中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：例談利用勾股定理解題

例談利用勾股定理解題勾股定理是初中數(shù)學(xué)中極為重要的定理，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，完美的體現(xiàn)了“數(shù)形統(tǒng)一”的數(shù)學(xué)思想，將初中幾何與代數(shù)很好地聯(lián)系起來(lái)，有著非常廣泛的應(yīng)用．利用勾股定理列方程求解，是勾股定理應(yīng)用中的一類典型問(wèn)題，下面以幾道常見(jiàn)習(xí)題為例，幫助同學(xué)們掌握此類問(wèn)題的解題方法．一、問(wèn)題原型例1學(xué)校附近有一棵小樹(shù)，樹(shù)高8米，在一次臺(tái)風(fēng)來(lái)襲時(shí)，從A處折斷，樹(shù)根B與樹(shù)尖C相距4米，求被折斷的兩部分AC和AB的長(zhǎng)度．分析應(yīng)用勾股定理解決此題的關(guān)鍵是把握好勾股定理中的三個(gè)數(shù)量．本題中只有一個(gè)數(shù)量“BC＝4”，結(jié)合圖形，顯然A,B,G三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形；AC,AB,BC滿足：AC2＋BC2＝AB2．注意到AC＋AB＝8這個(gè)條件，由此運(yùn)用方程的思想，便可使問(wèn)題輕松解決．解如圖1，設(shè)AC為x米，則AB為(8－x)米，評(píng)析勾股定理表達(dá)式中有三個(gè)量，如果條件中只有一個(gè)已知量，通常需要巧設(shè)未知數(shù)，靈活地尋找題中的等量關(guān)系，然后利用勾股定理列方程求解．二、類似題型例2如圖2，Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，AB＝10，BD＝8，AD＝3．求CD的長(zhǎng)．分析圖中有兩個(gè)直角三角形Rt△ABC和RtABDC，每個(gè)三角形中都只有一個(gè)已知量．類比例1將各自所在三角形中的其它兩個(gè)量用未知數(shù)x表示，同時(shí)注意到CB是兩個(gè)三角形的公共邊，以CB為橋梁即可實(shí)現(xiàn)難題巧解．∴CD的長(zhǎng)為6.5．例3如圖3，AD⊥AB，CB⊥AB，AD＝10，BC＝15，AB＝25，且DE＝CE．求AE的長(zhǎng)．分析本例利用DE＝CE這個(gè)條件，可溝通兩個(gè)三角形之間的等量關(guān)系，使問(wèn)題得到順利解決．三、應(yīng)用于折疊問(wèn)題例4已知∠C＝90°，BC＝4，AC＝8．沿DE折疊使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合(DE是AB的垂直平分線)，求CE的長(zhǎng)．分析如圖4，折疊前后AE＝EB，CE＋EA＝8．設(shè)其中一個(gè)為x，就可以在Rt△BCE中用勾股定理列方程求解．例5如圖5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC邊沿BD折疊使BC與BA重合于點(diǎn)E．AC＝6AB＝10，求CD的長(zhǎng)． 例6如圖6，矩形ABCD中，AB邊沿AF折疊，使AB與DC交于點(diǎn)E，AB＝10，BC＝8．求CF的長(zhǎng)．評(píng)析解決折疊問(wèn)題時(shí)，首先要把握折疊的實(shí)質(zhì)，抓住圖形之間最本質(zhì)的位置關(guān)系，從點(diǎn)、線、面三個(gè)方面入手，挖掘其中變化的和不變的量，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)