舊教材適用2023高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第十二章算法初步復(fù)數(shù)推理與證明第4講合情推理與演繹推理

第4講直接證明與間接證明

-------第礎(chǔ)知話Mrl

□知識梳理

1.直接證明

內(nèi)容綜合法分析法

從要畫證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋

利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、

求使它成立的畫充分條件,直到

公理、定理等，經(jīng)過一系列的畫推

定義最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判

理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的

定一個明顯成立的條件（已知條

結(jié)論園成立的方法

件、定理、定義、公理等）為止

實(shí)質(zhì)由因?qū)Ч樛谱C法）執(zhí)果索因

-PwP2

框圖表示IQalfIQl…fIQ,na

得到一個明顯

—????—?

成立的條件

因?yàn)椤浴C……只需證……

文字語言

或由……得……即證……

2.間接證明

（1）反證法的定義

假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明因假設(shè)錯誤,從而證明螞

原命題成立的證明方法.

（2）利用反證法證題的步驟

①假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立：

②由假設(shè)出發(fā)進(jìn)行正確的推理，直到推出矛盾為止；

③由矛盾斷言假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立.簡言之，否定一歸謬一斷言.

知識拓展

分析法與綜合法相輔相成，對較復(fù)雜的問題，常常先從結(jié)論進(jìn)行分析，尋求結(jié)論與條件、

基礎(chǔ)知識之間的關(guān)系，找到解決問題的思路，再運(yùn)用綜合法證明，或者在證明時將兩種方法

交叉使用.

□雙基自測

1.（2022?山西大同質(zhì)檢）分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>6>c,且a

+6+c=0,求證：7"ac<yβa”,“索”的“因”應(yīng)是()

A.a-?≥0B.a—c>O

C.(a—6)(a—c)>OD.{a-6)(a—c)<0

答案C

解析y]l)-ac<yβa=8'-ac<3a"=(a+c)'—ac<3a'=a°+2ac+c2-ac-3a2<00-2a'+

ac+c'<0=2a2—ac—∕>0=(a—c)(2a+c)>0=(a—c)(a—6)>0.故選C.

2.用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程aχ2+∕>χ+c=O(arθ)有有理數(shù)根，那么

a,b,C中至少有一個是偶數(shù)時，下列假設(shè)中正確的是()

A.假設(shè)a,b,C都是偶數(shù)

B.假設(shè)a,b,C都不是偶數(shù)

C.假設(shè)a,b,C中至多有一個偶數(shù)

D.假設(shè)a,b,C中至多有兩個偶數(shù)

答案B

解析“a,b,C中至少有一個是偶數(shù)”的否定為“a,b,C都不是偶數(shù)”.故選B.

3.若P=??[iι+7a+7,g4a+3+qa+4(a20),則0，0的大小關(guān)系是()

A.P>QB.P=Q

C.KQD.由a的取值確定

答案C

解析要比較P,0的大小關(guān)系，只要比較尸的大小關(guān)系，即比較2a+7+2λ∕aa+7

?2a+7+2√a+3a+4的大小,即比較Maa+7與?a+3a+4的大小,

即比較，+7a與1+7a+12的大小，只需比較0與12的大小，：0〈12,,/KQ故選C.

4.(2021?甘肅張掖高三月考)若a>6>0,且x=a+[,尸記，則()

A.x>yB.Ky

C.x^yD.?≤y

答案A

解析因?yàn)閍+；—[+3=(己一6)(1+與>0,所以d+)>6+±故選A.

5.若&b,。為實(shí)數(shù)，且水從0,則下列命題正確的是()

A.ac<^bcB.a>yatf>l}

答案B

2

解析當(dāng)C=O時,ac=bc,故A錯誤；Va—ab=a(a—Z?),a<?<0,Λa—KQ9Λa

-ab>Q,C.c∕>ab①.又ab—F=b(a—：.ab>6②，由①②，得才>口。>慶故B正確；

??baba

Va<∕KO,Λ->τ,故C錯誤；Va<ZXO,.?0<-<l,7>l,Λ-<τ,故D錯誤.故選B.

ababab

6.(2021?深圳調(diào)研)設(shè)a>Δ>O,∕n=y[a-y[b,n=y∣a-bf則勿，刀的大小關(guān)系是_______.

答案加〃

解析解法一：(取特殊值法)取a=2,b=l,得欣〃.

2

解法二：(綜合法):a>力0,.?∕n=ypi-γ[b>Ofn=y[a-b>O.∏j~ιf=(√^-^V?)-

3

(.y∣a—H)=2b-2y∣~ab=2.Va>Δ>0,.?aH>l),.?γ[ab>y∣l/f,?y[^-y[ab<09：.

清一f<0,Λm<∕72,

?、欣

核心若向突破I

考向一綜合法證明

例1已知sin0,sinx,cos0成等差數(shù)列，sin夕，siny,cos0成等比數(shù)列，證明：

2cos2x=cos2y.

證明Vsin0與cos0的等差中項(xiàng)是sin?,等比中項(xiàng)是siny,

Λsin0+cosJ=2sinx,①

sinJCOSJ=Sin)②

①2一②X2,可得(Sin+cos。尸一2SinOCoS0=4sin2jr-2sin2y,即4sin2jf—2sin2y

=1.

1—cos2x1—cos2y

.??4X——-——-2×--~

即2—2COS2AΓ-(1—cos2y)=1.

故2cos2x=cos2y.

觸類旁通J綜合法證明的思路

⑴分析條件，選擇方向.分析題目中的已知條件及已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，選擇相

關(guān)的定理、公式等，確定恰當(dāng)?shù)慕忸}方法.

⑵轉(zhuǎn)化條件，組織過程.把已知條件轉(zhuǎn)化成解題所需要的語言，主要是文字、符號、圖

形三種語言之間的轉(zhuǎn)化.

⑶適當(dāng)調(diào)整，回顧反思.回顧解題過程，可對部分步驟進(jìn)行調(diào)整，并對一些語言進(jìn)行適

當(dāng)?shù)男揎棧此伎偨Y(jié)解題方法的選取.

即時訓(xùn)練1.（2021?成都一中月考）若a,b,C是不全相等的正數(shù)，求證：Ig要

Z?+cc+a

Ig-^―+lg-y->lga+lg?+lgc.

證明；a>0,b>O,.'.-^^??[ab>O,①

同理號2√豆>0,②

①②③三個不等式相乘,

a-?-bb+cC-Va

得XF，abc,

又a,b,C不全相等,

a+bb-?-cc+a

>abc,

兩邊取對數(shù)得,

(a-irbb+cc÷a?..

Igl-y-×-^~×-^-l>lg(abe),

.a+??+c,c+a,,

??l1g-γ-+lg-y-+1Ig^γ->lga+lg?+1lgc.

考向二分析法證明

例2（2022?安徽蚌埠檢測）已知a>0,b>0,a+b=l,求證:

證明要證???+∣≤2,

只需證^+∣+?+∣+2Λ∕^+∣^?+^≤4,

又a+b=l,故只需證a+2Λi+2Γ1-

只需證0+；）（5+目=助+；（名+。）+3<1,只需證數(shù)

因?yàn)閍>0,?>0,l=a+b^2γ∣Hbf所以a6w1,

故原不等式成立（當(dāng)且僅當(dāng)a=6=/時取等號）.

觸類旁通］分析法證明的思路

分析法證明的思路：先從結(jié)論入手，由此逐步推出保證結(jié)論成立的充分條件，而當(dāng)這些

判斷恰恰都是己證的命題（定義、公理、定理、法則、公式等）或要證命題的已知條件時，命

題得證.

易錯警示：分析法的關(guān)鍵在于需保證分析過程的每一步都是可逆的，它的常用書面表達(dá)

形式為“要證…只需要證…”或“…仁…”.注意用分析法證明時，一定要嚴(yán)格按照格式書

寫.

即時訓(xùn)練2.已知正數(shù)，b,C滿足a+b+c=L

求證：5+小+/Wyβ.

證明欲證F+√^+√Σ<√5,

則只需證(√a÷Λ∕?÷Λ∕c)2≤3,

即證b+c+2(Λ∕^?÷√ΛC÷Λ∕ΣC)≤3,

即證1.

又仃+而+Q*牛+牛=1,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=C=，時取

所以原不等式成立.

精準(zhǔn)設(shè)計考向，多角度探究突破

考向三反證法證明

角度1證明否定性命題

例3已知4∕6C的內(nèi)角A,B,。對應(yīng)的邊分別為a,b,c,三邊互不相等，且滿足64ac.

(1)比較］的大小，并證明你的結(jié)論;

(2)求證：〃不可能是鈍角.

由題意知a,b,c>0,則只需證Z^Vac.

因?yàn)闋t〈ac是己知條件,

所以

(2)證明:假設(shè)8是鈍角，則CoS80,

,22

a÷C-6V2ac~尻ac~ZA

而CGSB=^2ac->2ac>2ac>°'

這與cosb<0矛盾，故假設(shè)不成立.

所以8不可能是鈍角.

角度2證明存在性問題

例4設(shè)x,y,z>0,a-χ-?--,b—y+~,C=Z+L求證：a,b,C三數(shù)中至少有一個

yzX

不小于2.

證明假設(shè)a,b,C都小于2,

則a÷6÷c<6.

而事實(shí)上a+b+c=x+[+y+:+z+g>2+2+2=6(當(dāng)且僅當(dāng)x—y—z—1時取

"=與a+6+H6矛盾，

Λa,b,C三數(shù)中至少有一個不小于2.

角度3證明唯一性命題

例5(2021?浙江嘉興月考)用反證法證明：過已知直線a外一點(diǎn)/1有且只有一條直線6

與已知直線a平行.

證明假設(shè)過點(diǎn)/還有另外一條直線分與已知直線a平行，即6CZ√=A,b'//a.

又6〃a,所以Z√〃立這與假設(shè)6∩Z√=1矛盾，所以假設(shè)不成立，所以過已知直線a

外一點(diǎn)力有且只有一條直線6與已知直線a平行.

觸類旁通

1.反證法的適用范圍

當(dāng)一個命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，宜用反證法來

證.

2.用反證法證明不等式要把握的三點(diǎn)

(1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面.

(2)必須從結(jié)論的反而出發(fā)進(jìn)行推理，即把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進(jìn)

行推理證明.

(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知條件矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與基本事

實(shí)矛盾等，且推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.

即時訓(xùn)練3.(2022?廣西柳州模擬)等差數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和為S0,a=l+√2,W

=9+3√2.

(1)求數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和S；

(2)設(shè)4=,("∈N*),求證：數(shù)列｛4｝中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列.

a↑=y∣2+lf

解(1)由已知，得VL

l351+3√=9+3√2,

所以rf=2,故2=2〃-1+m，S=〃(〃+*).

(2)證明：由(1),得4=2∣=∕7+M.假設(shè)數(shù)列｛4｝中存在三項(xiàng)仇，bq,br(p,q,r互不

相等)成等比數(shù)列，

則Bq=bpbc即(0+鏡)2=(p+√2)(√'+ΛJ2),

所以(/—")+√2(2q-p-r)=0.

q-pr=Q,

因?yàn)橄?，Sr∈N*,所以%_八

2q-p-r=zQ,

所以V-J=Rr'所以(夕一二)2=0.

所以夕=八這與p≠r矛盾，所以數(shù)列｛4｝中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列.

4.已知％b,c∈(0,1),求證：(1—a)b,(1—Z?)cf(1—c)a不能同時大于年

證明證法一：假設(shè)三式同時大于

即(1—a)6>γ(1—6)c>^,(1—c)a>τ,

三式相乘，得(1—46(1—。)C(I-C)於3.

64

因?yàn)閍b9c≡(0,1),

所以(La)a［匕產(chǎn))斗

同理(1-6)Z>≤-,(1—c)c≤'

所以所一a)d(l-b)b(l一c)6,≤^τ,

64

這與假設(shè)矛盾，故原命題正確.

證法二：假設(shè)三式同時大于;，

因?yàn)?<水1,所以1—a>0,

1-5+Δ1---------「1

一2Kll-ab>γj-=-,

閂工田1—0+A11-c+?i

問理—2—>2'—2—>2'

三式相加，得|>|,這與事實(shí)矛盾，故假設(shè)錯誤，所以原命題正確.

5.(2021?山西陽泉高三階段考試)若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,3上的圖象是一條連續(xù)不斷

的曲線，Λa)<0,Λ?)>0,且f(x)在［a,6］上單調(diào)遞增，求證：f(x)在(a,⑸內(nèi)有且只有一

個零點(diǎn)?

證明由于Ax)在［a,3上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且Λa)<O,Λ?)>0,即

f(,a)?/(?)<0,

所以f(x)在(a,6)內(nèi)至少存在一個零點(diǎn)，設(shè)力為/'(x)的一個零點(diǎn)，則f(w)=0.

假設(shè)f(x)在(a,內(nèi)還存在另一個零點(diǎn)A(∕7≠R),

則/'(〃)=0.

因?yàn)閒(x)在［a,6］上單調(diào)遞增，

所以若n>m,則f(所>/"(血,即0>0,矛盾；

若水加，則f(")<∕Xzff),即0<0,矛盾.

因此假設(shè)不成立，故f(x)在(a,6)內(nèi)有且只有一個零點(diǎn).

課時作業(yè)I

1.用分析法證明：欲使①力氏只需②KA這里①是②的()

A.充分條件

B.必要條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析分析法證明的本質(zhì)是證明使結(jié)論成立的充分條件成立，即②=①，所以①是②的

必要條件.故選B.

2.用反證法證明命題”三角形的內(nèi)角至多有一個鈍角”時，假設(shè)正確的是()

A.假設(shè)至少有一個鈍角

B.假設(shè)至少有兩個鈍角

C.假設(shè)沒有一個鈍角

I).假設(shè)沒有一個鈍角或至少有兩個鈍角

答案B

解析“至多有一個”的否定應(yīng)為“至少有兩個”.故選B.

3.設(shè)a=yβ-??β,b=yfβ-?f5,C=于一乖，則a,b,C的大小順序是()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.a>c>b

答案A

因?yàn)閍=木-小=/MQmf=否》，c=g陀號

解析F

√7+√6>√6+√5>√3+√2>0,所以a>b>c.故選A.

4.(2021?南陽階段考試)用反證法證明命題“已知a,?∈N*,如果劭可被5整除，那

么a,6中至少有一個能被5整除”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為()

?.a,6都能被5整除

B.a,6都不能被5整除

C.a,6不都能被5整除

D.a不能被5整除

答案B

解析由于反證法是命題的否定的一個運(yùn)用，故用反證法證明命題時，可以設(shè)其否定成

立進(jìn)行推證.由題意知其否定是“a,6都不能被5整除”.故選B.

5.若實(shí)數(shù)a,6滿足a+6<0,則()

A.a,6都小于0

B.a,6都大于0

C.a,6中至少有一個大于0

D.a,。中至少有一個小于0

答案D

解析假設(shè)a,6都不小于0,即a20,b,0,則a+820,這與a+6<0相矛盾，因此

假設(shè)錯誤，所以a,6中至少有一個小于0.故選D.

6.(2022?遼寧大連模擬)設(shè)[切表示不大于”的最大整數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)X,y有()

A.[一幻=—[x]

B.[2x]=2[x]

C.[x+y]W[x]+[y]

D.[Λ-y]≤[￡—[y?

答案D

解析取X=I.6,j=2.7,則[x]=[L6]=l,\,y\—[2.7]=2,[―x]=[―1.6]=—2,

故A錯誤；[2*]=[3.2]=3,故B錯誤；[x+y]=[L6+2.7]=4,故C錯誤.故選D.

7.(2021?陜西安康高三月考)證明命題：”∕?(x)=e'+??9E(0,+8)上是增函數(shù)”，

e

現(xiàn)給出的證法如下：

因?yàn)镕(X)=e*+±,所以f(x)-e-?,因?yàn)閤>0,所以e'>l,0<?l,所以ev-^>0,

eeee

即F(x)>0,所以f(x)在(0,+8)上是增函數(shù).

使用的證明方法是()

A.綜合法B.分析法

C.反證法D.以上都不是

答案A

解析題中命題的證明方法是由所給的條件，利用所學(xué)的定理、定義、公式證得要證的

結(jié)論，故此題的證明方法屬于綜合法.故選A.

8.下列不等式一定成立的是()

A.Igfx+^>lgX(X>0)

B.sinx÷--—>2(jf≠?π,Λ∈Z)

SInX

C.Λ+1≥2∣Λ∣(Λ∈R)

D.*γ<I(XeR)

答案C

解析對于A,當(dāng)x>0時，?x?T=x,所以Ig(X'+1)'lg%故A不正確；

對于B,當(dāng)掙衣"時，Sinx正負(fù)不定，不能用基本不等式，所以B不正確；由基本不等式可

知C正確；對于D,當(dāng)X=O時，1，故D不正確.

9.(2022?安徽亳州模擬)實(shí)數(shù)a,b,C滿足a+6+c=0,a6c>0,則,+；+'的值()

abc

A.一定是正數(shù)B.一定是負(fù)數(shù)

C.可能是0D.正、負(fù)不確定

答案B

解析由a+b+c=O,abc>O得a,b,C中必有兩負(fù)一正，不妨設(shè)水0,?<0,c>0,由a

+b+C=O9可知∣a∣<c,則丁從而一4A又)〈仇所以，+9+,<0.故選B.

Ia?cacbabc

XΛ

10.設(shè)x>0,P=2+2~90=(SinX+COSX)2,則()

A.P>QB.KQ

C.P^QD.P^Q

答案A

解析因?yàn)?,+2一”2242、?2一”=2(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立),而x>0,所以處2；又

(SinX+cosx)'=l+sin2x,而sin2%≤l,所以￠≤2.于是P>Q.

11a

11.若a>6>c,則使一一恒成立的最大的正整數(shù)4為()

a-bb—ca-c

A.2B.3

C.4D.5

答案C

解析"."a>b>c,.,.a-b>0,b-c>0,a~c>0,且a—c=a—6+6—c.又^—7÷^----=

a-bb-c

a—b+b—c,a—b+b~cC,b—c,a-6、??,^a~c,a—c.,,,,,.,.-.

----------r-+----;-=2+---------------N2+l2=4j,?≤-~~7+^;，；?辰4,故最ta大的j正r

a-bb-c--------a-bb-ca-bb-c

整數(shù)4為4.故選C.

12.（2021?廣西柳州高三月考）若笈G的三個內(nèi)角的余弦值分別等于△&?C的三個

內(nèi)角的正弦值，則（）

A.446G和民C都是銳角三角形

B.443G和AC都是鈍角三角形

C.△4笈G是鈍角三角形，△<或C是銳角三角形

D.Z?464是銳角三角形，旦G是鈍角三角形

答案D

解析由條件知，AG的三個內(nèi)角的余弦值均大于0,則4484是銳角三角形，且

△4區(qū)G不可能是直角三角形.假設(shè)△虺4G是銳角三角形.

sin4=cos4=sin(^^-4),

SinA=CoS5=sin(^^^-5),

SinG=CoSG=SinCA,

Λ=^^■-Ai,

ππ

得彳則4+民+G=萬，這與三角形內(nèi)角和為∏相矛盾.因此假

π

Cz=--C?,

、z

設(shè)不成立，故旦G是鈍角三角形.故選D.

13.（2021?黑龍江大慶質(zhì)檢）設(shè)a>6>0,X=H1?+7=a?[b+b?[af則x,y的大小

關(guān)系是.

答案x>y

解析因?yàn)閍>b>O,所以x—y=a（∕-鈍）+6（也一F）=（a—6）（—一加）=（5一

y[i）γ?>0.所以x>y.

ba

14.下列條件：①劭>0；②a?<0;③a>0,楊0；④水0,?<0?其中能使-+工22成立的條

ab

件的序號是.

答案①③④

解析要使々+弓22,只需自>0且》O成立，即a,6不為O且同號即可，故①③④都能使

abab

^+τ≥2成立.

ab

15.設(shè)a6是兩個實(shí)數(shù)，給出下列條件：

①a+6>l;②a+b=2;③a+b>2;@a+?2>2;⑤ab>l.

其中能推出：“&6中至少有一個大于1"的條件是（填序號）.

答案③

12

解析若d=j,6=鼻，則a+6>L

但dVl,?<L故①推不出；

若a=b=L則a+b=2,故②推不出；

若a=-2,，=—3,則才+4>2,故④推不出；

若a=-2,6=—3,則助>1,故⑤推不出；

對于③，反證法：假設(shè)aWl且Z?l,則a+6W2,與a+6>2矛盾，

因此假設(shè)不成立，故8方中至少有一個大于L

16.（2022?鄭州模擬）在中，三個內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且4B,

C成等差數(shù)列，a,b,C成等比數(shù)列，則/=,△/笈的形狀為.

答案?等邊三角形

解析由題意，得244+a又力+3+C=n,，A=?,又Z;2=ac,由余弦定理，得

b~—a-?-c~2accosB-ajrc—ac,'.a+c~2ac=Q,BP(a—c)2=0,.*.a—c,.'.A—C,.".A

=QaT'，???zχ47C為等邊三角形?

O

17.449C的三個內(nèi)角N4ZB,NC的對邊分別為a,b,c,且N4NB,NC成等差

113

數(shù)列，分別用分析法與綜合法證明：市+定=赤？

11?