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文檔簡介
吉林省北大附屬長春實驗學校2023-2024學年高考仿真卷數(shù)學試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知點P不在直線l、m上,則“過點P可以作無數(shù)個平面,使得直線l、m都與這些平面平行”是“直線l、m互相平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知函數(shù)的圖象與直線的相鄰交點間的距離為,若定義,則函數(shù),在區(qū)間內(nèi)的圖象是()A. B.C. D.3.函數(shù)的值域為()A. B. C. D.4.設(shè)一個正三棱柱,每條棱長都相等,一只螞蟻從上底面的某頂點出發(fā),每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點,算一次爬行,若它選擇三個方向爬行的概率相等,若螞蟻爬行10次,仍然在上底面的概率為,則為()A. B.C. D.5.將4名大學生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官,每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名,則不同的分配方案種數(shù)是()A.18種 B.36種 C.54種 D.72種6.已知函數(shù)的圖象如圖所示,則可以為()A. B. C. D.7.已知平面向量,,,則實數(shù)x的值等于()A.6 B.1 C. D.8.過拋物線的焦點的直線交該拋物線于,兩點,為坐標原點.若,則直線的斜率為()A. B. C. D.9.德國數(shù)學家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個關(guān)于π的級數(shù)展開式,該公式于明朝初年傳入我國.在我國科技水平業(yè)已落后的情況下,我國數(shù)學家?天文學家明安圖(1692年-1765年)為提高我國的數(shù)學研究水平,從乾隆初年(1736年)開始,歷時近30年,證明了包括這個公式在內(nèi)的三個公式,同時求得了展開三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個新級數(shù)公式,著有《割圓密率捷法》一書,為我國用級數(shù)計算π開創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關(guān)于π的級數(shù)展開式”計算π的近似值(其中P表示π的近似值),若輸入,則輸出的結(jié)果是()A. B.C. D.10.已知復數(shù)(1+i)(a+i)為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位),則實數(shù)a=()A.-1 B.1 C.0 D.211.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,則下列命題正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,,則 D.若,,,則12.我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)(即質(zhì)數(shù))的和”,如,.在不超過20的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于20的概率是()A. B. C. D.以上都不對二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)實數(shù)滿足約束條件,則的最大值為______.14.已知半徑為4的球面上有兩點A,B,AB=42,球心為O,若球面上的動點C滿足二面角C-AB-O的大小為60°15.(5分)已知曲線的方程為,其圖象經(jīng)過點,則曲線在點處的切線方程是____________.16.在平面直角坐標系xOy中,已知雙曲線(a>0)的一條漸近線方程為,則a=_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,已知橢圓C:x24+y2=1,F(xiàn)為其右焦點,直線l:y=kx+m(km<0)與橢圓交于P(x1(I)試用x1表示|PF|(II)證明:原點O到直線l的距離為定值.18.(12分)已知橢圓:的長半軸長為,點(為橢圓的離心率)在橢圓上.(1)求橢圓的標準方程;(2)如圖,為直線上任一點,過點橢圓上點處的切線為,,切點分別,,直線與直線,分別交于,兩點,點,的縱坐標分別為,,求的值.19.(12分)在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線與曲線交于兩點.(1)求的長;(2)在以為極點,軸的正半軸為極軸建立的極坐標系中,設(shè)點的極坐標為,求點到線段中點的距離.20.(12分)已知數(shù)列中,,前項和為,若對任意的,均有(是常數(shù),且)成立,則稱數(shù)列為“數(shù)列”.(1)若數(shù)列為“數(shù)列”,求數(shù)列的前項和;(2)若數(shù)列為“數(shù)列”,且為整數(shù),試問:是否存在數(shù)列,使得對任意,成立?如果存在,求出這樣數(shù)列的的所有可能值,如果不存在,請說明理由.21.(12分)如圖,三棱柱中,平面,,,分別為,的中點.(1)求證:平面;(2)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)在世界讀書日期間,某地區(qū)調(diào)查組對居民閱讀情況進行了調(diào)查,獲得了一個容量為200的樣本,其中城鎮(zhèn)居民140人,農(nóng)村居民60人.在這些居民中,經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人,農(nóng)村居民有30人.(1)填寫下面列聯(lián)表,并判斷能否有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān)?城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計經(jīng)常閱讀10030不經(jīng)常閱讀合計200(2)調(diào)查組從該樣本的城鎮(zhèn)居民中按分層抽樣抽取出7人,參加一次閱讀交流活動,若活動主辦方從這7位居民中隨機選取2人作交流發(fā)言,求被選中的2位居民都是經(jīng)常閱讀居民的概率.附:,其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】點不在直線、上,若直線、互相平行,則過點可以作無數(shù)個平面,使得直線、都與這些平面平行,即必要性成立,若過點可以作無數(shù)個平面,使得直線、都與這些平面平行,則直線、互相平行成立,反證法證明如下:若直線、互相不平行,則,異面或相交,則過點只能作一個平面同時和兩條直線平行,則與條件矛盾,即充分性成立則“過點可以作無數(shù)個平面,使得直線、都與這些平面平行”是“直線、互相平行”的充要條件,故選:.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合空間直線和平面平行的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.2、A【解析】
由題知,利用求出,再根據(jù)題給定義,化簡求出的解析式,結(jié)合正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象判斷,即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意,的圖象與直線的相鄰交點間的距離為,所以的周期為,則,所以,由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知正確.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象,以及正弦函數(shù)的圖象,解題關(guān)鍵是對新定義的理解.3、A【解析】
由計算出的取值范圍,利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】,,,因此,函數(shù)的值域為.故選:A.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間上的值域的求解,解答的關(guān)鍵就是求出對象角的取值范圍,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
由題意,設(shè)第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有兩條路,其概率為;②若上一步在下面,則第步不在上面的概率是.如果爬上來,其概率是,兩種事件又是互斥的,可得,根據(jù)求數(shù)列的通項知識可得選項.【詳解】由題意,設(shè)第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有兩條路,其概率為;②若上一步在下面,則第步不在上面的概率是.如果爬上來,其概率是,兩種事件又是互斥的,∴,即,∴,∴數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列,而,所以,∴當時,,故選:D.【點睛】本題考查幾何體中的概率問題,關(guān)鍵在于運用遞推的知識,得出相鄰的項的關(guān)系,這是常用的方法,屬于難度題.5、B【解析】
把4名大學生按人數(shù)分成3組,為1人、1人、2人,再把這三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)即得.【詳解】把4名大學生按人數(shù)分成3組,為1人、1人、2人,再把這三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn),則不同的分配方案有種.故選:.【點睛】本題考查排列組合,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
根據(jù)圖象可知,函數(shù)為奇函數(shù),以及函數(shù)在上單調(diào)遞增,且有一個零點,即可對選項逐個驗證即可得出.【詳解】首先對4個選項進行奇偶性判斷,可知,為偶函數(shù),不符合題意,排除B;其次,在剩下的3個選項,對其在上的零點個數(shù)進行判斷,在上無零點,不符合題意,排除D;然后,對剩下的2個選項,進行單調(diào)性判斷,在上單調(diào)遞減,不符合題意,排除C.故選:A.【點睛】本題主要考查圖象的識別和函數(shù)性質(zhì)的判斷,意在考查學生的直觀想象能力和邏輯推理能力,屬于容易題.7、A【解析】
根據(jù)向量平行的坐標表示即可求解.【詳解】,,,,即,故選:A【點睛】本題主要考查了向量平行的坐標運算,屬于容易題.8、D【解析】
根據(jù)拋物線的定義,結(jié)合,求出的坐標,然后求出的斜率即可.【詳解】解:拋物線的焦點,準線方程為,設(shè),則,故,此時,即.則直線的斜率.故選:D.【點睛】本題考查了拋物線的定義,直線斜率公式,屬于中檔題.9、B【解析】
執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,逐次循環(huán),找到計算的規(guī)律,即可求解.【詳解】由題意,執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,可得:第1次循環(huán):;第2次循環(huán):;第3次循環(huán):;第10次循環(huán):,此時滿足判定條件,輸出結(jié)果,故選:B.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出,其中解答中認真審題,逐次計算,得到程序框圖的計算功能是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
化簡得到z=a-1+a+1【詳解】z=1+ia+i=a-1+a+1i為純虛數(shù),故a-1=0故選:B.【點睛】本題考查了根據(jù)復數(shù)類型求參數(shù),意在考查學生的計算能力.11、C【解析】
根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系相關(guān)定理依次判斷各個選項可得結(jié)果.【詳解】對于,當為內(nèi)與垂直的直線時,不滿足,錯誤;對于,設(shè),則當為內(nèi)與平行的直線時,,但,錯誤;對于,由,知:,又,,正確;對于,設(shè),則當為內(nèi)與平行的直線時,,錯誤.故選:.【點睛】本題考查立體幾何中線面關(guān)系、面面關(guān)系有關(guān)命題的辨析,考查學生對于平行與垂直相關(guān)定理的掌握情況,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
首先確定不超過的素數(shù)的個數(shù),根據(jù)古典概型概率求解方法計算可得結(jié)果.【詳解】不超過的素數(shù)有,,,,,,,,共個,從這個素數(shù)中任選個,有種可能;其中選取的兩個數(shù),其和等于的有,,共種情況,故隨機選出兩個不同的數(shù),其和等于的概率.故選:.【點睛】本題考查古典概型概率問題的求解,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
試題分析:作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖,當直線過點時,最大,且考點:線性規(guī)劃.14、4【解析】
設(shè)△ABC所在截面圓的圓心為O1,AB中點為D,連接OD,易知∠ODO1即為二面角C-AB-O的平面角,可求出OD,?O1D及OO1,然后可判斷出四面體OABC外接球的球心E在直線OO1上,在【詳解】設(shè)△ABC所在截面圓的圓心為O1,AB中點為D,連接OD,OA=OB,所以,OD⊥AB,同理O1D⊥AB,所以,∠ODO1即為二面角∠ODO因為OA=OB=4,?AB=42,所以△OAB在Rt△ODO1中,由cos60o=O1D因為O1到A、B、C三的距離相等,所以,四面體OABC外接球的球心E在直線OO設(shè)四面體OABC外接球半徑為R,在Rt△O1由勾股定理可得:O1B2+O【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題,考查了學生的空間想象能力、邏輯推理能力及計算求解能力,屬于中檔題.15、【解析】
依題意,將點的坐標代入曲線的方程中,解得.由,得,則曲線在點處切線的斜率,所以在點處的切線方程是,即.16、3【解析】
雙曲線的焦點在軸上,漸近線為,結(jié)合漸近線方程為可求.【詳解】因為雙曲線(a>0)的漸近線為,且一條漸近線方程為,所以.故答案為:.【點睛】本題主要考查雙曲線的漸近線,明確雙曲線的焦點位置,寫出雙曲線的漸近線方程的對應形式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(I)|FP|=2-32x【解析】
(I)直接利用兩點間距離公式化簡得到答案.(II)設(shè)Ax3,y3,Bx4【詳解】(I)橢圓C:x24|FP|=x(II)設(shè)Ax3,y3,B4k2+1x2OA=OB,故y3PA=PF,故1+k由已知得:x3<x故1+k即1+k2?故原點O到直線l的距離為d=m【點睛】本題考查了橢圓內(nèi)的線段長度,定值問題,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.18、(1);(2).【解析】
(1)因為點在橢圓上,所以,然后,利用,,得出,進而求解即可(2)設(shè)點的坐標為,直線的方程為,直線的方程為,分別聯(lián)立方程:和,利用韋達定理,再利用,,即可求出的值【詳解】(1)由橢圓的長半軸長為,得.因為點在橢圓上,所以.又因為,,所以,所以(舍)或.故橢圓的標準方程為.(2)設(shè)點的坐標為,直線的方程為,直線的方程為.據(jù)得.據(jù)題意,得,得,同理,得,所以.又可求,得,,所以.【點睛】本題考查橢圓標準方程的求解以及聯(lián)立方程求定值的問題,聯(lián)立方程求定值的關(guān)鍵在于利用韋達定理進行消參,屬于中檔題19、(1);(2).【解析】
(1)將直線的參數(shù)方程化為直角坐標方程,由點到直線距離公式可求得圓心到直線距離,結(jié)合垂徑定理即可求得的長;(2)將的極坐標化為直角坐標,將直線方程與圓的方程聯(lián)立,求得直線與圓的兩個交點坐標,由中點坐標公式求得的坐標,再根據(jù)兩點間距離公式即可求得.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),化為直角坐標方程為,即直線與曲線交于兩點.則圓心坐標為,半徑為1,則由點到直線距離公式可知,所以.(2)點的極坐標為,化為直角坐標可得,直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,化簡可得,解得,所以兩點坐標為,所以,由兩點間距離公式可得.【點睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程轉(zhuǎn)化,極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化,點到直線距離公式應用,兩點間距離公式的應用,直線與圓交點坐標求法,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)(2)存在,【解析】
由數(shù)列為“數(shù)列”可得,,,兩式相減得,又,利用等比數(shù)列通項公式即可求出,進而求出;由題意得,,,兩式相減得,,據(jù)此可得,當時,,進而可得,即數(shù)列為常數(shù)列,進而可得,結(jié)合,得到關(guān)于的不等式,再由時,且為整數(shù)即可求出符合題意的的所有值.【詳解】因為數(shù)列為“數(shù)列”,所以,故,兩式相減得,在中令,則可得,故所以,所以數(shù)列是以為首項,以為公比的等比數(shù)列,所以,因為,所以.(2)由題意得,故,兩式相減得所以,當時,又因為所以當時,所以成立,所以當時,數(shù)列是常數(shù)列,所以因為當時,成立,所以,所以在中令,因為,所以可得,所以,由時,且為整數(shù),可得,把分別代入不等式可得,,所以存在數(shù)列符合題意,的所有值為.【點睛】本題考查數(shù)列的新定義、等比數(shù)列的通項公式和數(shù)列遞推公式的運用;考查運算求解能力、邏輯推理能力
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