吉林省白山市撫松縣第六中學(xué)2023-2024學(xué)年高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷含解析

吉林省白山市撫松縣第六中學(xué)2023-2024學(xué)年高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知四棱錐，底面ABCD是邊長為1的正方形，，平面平面ABCD，當(dāng)點(diǎn)C到平面ABE的距離最大時(shí)，該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．12．已知集合，則()A． B．C． D．3．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則4．如圖，平面與平面相交于，，，點(diǎn)，點(diǎn)，則下列敘述錯(cuò)誤的是（）A．直線與異面B．過只有唯一平面與平行C．過點(diǎn)只能作唯一平面與垂直D．過一定能作一平面與垂直5．命題：的否定為A． B．C． D．6．設(shè)，是空間兩條不同的直線，，是空間兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若，，，則；②若，，，則；③若，，，則；④若，，，，則.其中正確的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④7．已知定義在上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，恒有．則不等式的解集為（）．A． B．C．或 D．或8．雙曲線：（），左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．9．的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A．－23 B．17 C．20 D．6310．復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是A．1+i B．1?i C．?1+i D．?1?i11．已知向量，，，若，則（）A． B． C． D．12．已知等差數(shù)列中，若，則此數(shù)列中一定為0的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且，，，則_______.14．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的公差________，通項(xiàng)公式________.15．已知函數(shù)，則過原點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為____________.16．的展開式中的系數(shù)為________________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知中，內(nèi)角所對(duì)邊分別是其中.（1）若角為銳角，且，求的值；（2）設(shè)，求的取值范圍.19．（12分）在四棱錐中，底面是平行四邊形，為其中心，為銳角三角形，且平面底面，為的中點(diǎn)，.（1）求證:平面；（2）求證:.20．（12分）如圖，三棱柱中，側(cè)面是菱形，其對(duì)角線的交點(diǎn)為，且．（1）求證：平面；（2）設(shè)，若直線與平面所成的角為，求二面角的正弦值．21．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，且，．（1）求．（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．22．（10分）某學(xué)生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時(shí)間的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理（如下表），得到了散點(diǎn)圖（如下圖）.表中，.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型？（不必說明理由）（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；（3）若單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量與旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)成正比，那么，利用第（2）問求得的回歸方程知為多少時(shí)，燒開一壺水最省煤氣？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)值分別為，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

過點(diǎn)E作，垂足為H，過H作，垂足為F，連接EF.因?yàn)槠矫鍭BE，所以點(diǎn)C到平面ABE的距離等于點(diǎn)H到平面ABE的距離.設(shè)，將表示成關(guān)于的函數(shù)，再求函數(shù)的最值，即可得答案.【詳解】過點(diǎn)E作，垂足為H，過H作，垂足為F，連接EF.因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，所以平面ABCD，所以.因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為1的正方形，，所以.因?yàn)槠矫鍭BE，所以點(diǎn)C到平面ABE的距離等于點(diǎn)H到平面ABE的距離.易證平面平面ABE，所以點(diǎn)H到平面ABE的距離，即為H到EF的距離.不妨設(shè)，則，.因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立.此時(shí)EH與ED重合，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查空間中點(diǎn)到面的距離的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意輔助線及面面垂直的應(yīng)用.2、B【解析】

先由得或，再計(jì)算即可.【詳解】由得或，，,又，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集，補(bǔ)集的運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.3、C【解析】

根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系相關(guān)定理依次判斷各個(gè)選項(xiàng)可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于，當(dāng)為內(nèi)與垂直的直線時(shí)，不滿足，錯(cuò)誤；對(duì)于，設(shè)，則當(dāng)為內(nèi)與平行的直線時(shí)，，但，錯(cuò)誤；對(duì)于，由，知：，又，，正確；對(duì)于，設(shè)，則當(dāng)為內(nèi)與平行的直線時(shí)，，錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線面關(guān)系、面面關(guān)系有關(guān)命題的辨析，考查學(xué)生對(duì)于平行與垂直相關(guān)定理的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

根據(jù)異面直線的判定定理、定義和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)中的命題判斷.【詳解】A.假設(shè)直線與共面，則A，D，B，C共面，則AB，CD共面，與，矛盾，故正確.B.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過只有唯一平面與平行，故正確.C.根據(jù)過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直知，故正確.D.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過不一定能作一平面與垂直，故錯(cuò)誤.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線的定義，性質(zhì)以及線面關(guān)系，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.5、C【解析】

命題為全稱命題，它的否定為特稱命題，將全稱量詞改為存在量詞，并將結(jié)論否定，可知命題的否定為，故選C．6、C【解析】

根據(jù)線面平行或垂直的有關(guān)定理逐一判斷即可.【詳解】解：①：、也可能相交或異面，故①錯(cuò)②：因?yàn)椋?，所以或，因?yàn)?，所以，故②?duì)③：或，故③錯(cuò)④：如圖因?yàn)椋?，在?nèi)過點(diǎn)作直線的垂線，則直線，又因?yàn)椋O(shè)經(jīng)過和相交的平面與交于直線，則又，所以因?yàn)椋?，所以，所以，故④?duì).故選：C【點(diǎn)睛】考查線面平行或垂直的判斷，基礎(chǔ)題.7、D【解析】

先通過得到原函數(shù)為增函數(shù)且為偶函數(shù)，再利用到軸距離求解不等式即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則由題可知，所以在時(shí)為增函數(shù)；由為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)；又，即即又為開口向上的偶函數(shù)所以，解得或故選：D【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造原函數(shù)，偶函數(shù)解不等式等知識(shí)點(diǎn)，屬于較難題目.8、B【解析】

首先求得雙曲線的一條漸近線方程，再利用左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，列方程即可求出，進(jìn)而求出漸近線的方程.【詳解】設(shè)左焦點(diǎn)為，一條漸近線的方程為，由左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，可得，所以漸近線方程為，即為,故選：B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線的方程，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題.9、B【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，結(jié)合乘法分配律，求得的系數(shù).【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為.則①出，則出，該項(xiàng)為：；②出，則出，該項(xiàng)為：；③出，則出，該項(xiàng)為：；綜上所述：合并后的項(xiàng)的系數(shù)為17.故選：B【點(diǎn)睛】本小題考查二項(xiàng)式定理及展開式系數(shù)的求解方法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查理解能力，計(jì)算能力，分類討論和應(yīng)用意識(shí).10、B【解析】分析：化簡已知復(fù)數(shù)z，由共軛復(fù)數(shù)的定義可得．詳解：化簡可得z=∴z的共軛復(fù)數(shù)為1﹣i.故選B．點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算，涉及共軛復(fù)數(shù)，屬基礎(chǔ)題．11、A【解析】

根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求得，由平行關(guān)系構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【詳解】，，解得：故選：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量平行關(guān)系求解參數(shù)值的問題，涉及到平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；關(guān)鍵是明確若兩向量平行，則.12、A【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，由此確定數(shù)列為的項(xiàng).【詳解】由于等差數(shù)列中，所以，化簡得，所以為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、9【解析】

已知由余弦定理即可求得,由可求得,即可求得,利用正弦定理即可求得結(jié)果.【詳解】由余弦定理和，可得，得，由，，，由正弦定理，得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,難度一般.14、2【解析】

直接利用等差數(shù)列公式計(jì)算得到答案.【詳解】，，解得，，故.故答案為：2；.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的基本計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.15、【解析】

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在切點(diǎn)的切線方程，將原點(diǎn)代入切線方程，求出的值，于此可得出所求的切線方程．【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，由于該直線過原點(diǎn)，則，得，因此，則過原點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查過點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線方程，求解思路是：（1）先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，并利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程；（2）將所過點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，求出參數(shù)的值，可得出切點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）將參數(shù)的值代入切線方程，可得出切線的方程．16、【解析】

在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)中令的指數(shù)為，求出參數(shù)值，然后代入通項(xiàng)可得出結(jié)果.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，令，因此，的展開式中的系數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)系數(shù)的求解，涉及二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再求出切點(diǎn)坐標(biāo)即可得在點(diǎn)處的切線方程；（2）令，然后利用導(dǎo)數(shù)并根據(jù)a的情況研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.【詳解】（1），，∴，又，∴切線方程為，即.（2）令，，①若，則在上單調(diào)遞減，又，∴恒成立，∴在上單調(diào)遞減，又，∴恒成立.②若，令，∴，易知與在上單調(diào)遞減，∴在上單調(diào)遞減，，當(dāng)即時(shí)，在上恒成立，∴在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，又，∴恒成立，∴在上單調(diào)遞減，又，∴恒成立，當(dāng)即時(shí)，使，∴在遞增，此時(shí)，∴，∴在遞增，∴，不合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及構(gòu)造函數(shù)解決含參數(shù)的不等式恒成立時(shí)求參數(shù)的取值范圍問題，第二問的難點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)后二次求導(dǎo)問題，對(duì)分類討論思想及化歸與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想要求較高，難度較大，屬拔高題.18、（1）；（2）.【解析】

（1）由正弦定理直接可求，然后運(yùn)用兩角和的正弦公式算出；（2）化簡，由余弦定理得，利用基本不等式求出，確定角范圍，進(jìn)而求出的取值范圍.【詳解】（1）由正弦定理，得：，且為銳角（2）【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，三角函數(shù)的值域等，考查了學(xué)生運(yùn)算求解能力.19、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）通過證明，即可證明線面平行；（2）通過證明平面，即可證明線線垂直.【詳解】（1）連，因?yàn)闉槠叫兴倪呅?，為其中心，所以，為中點(diǎn)，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，又平面，平面所以，平面；（2）作于因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以，平面又平面，所以又，，平面，平面所以，平面，又平面，所以?【點(diǎn)睛】此題考查證明線面平行和線面垂直，通過線面垂直得線線垂直，關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)判定定理，找出平行關(guān)系和垂直關(guān)系證明.20、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）根據(jù)菱形的特征和題中條件得到平面，結(jié)合線面垂直的定義和判定定理即可證明；

2建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量知識(shí)求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，，平面平面，又是的中點(diǎn)，，又平面（2）∴直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角．平面，∴直線與平面所成的角為，即．因?yàn)椋瑒t在等腰直角三角形中，所以．在中，由得，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系．則所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可得，取平面的一個(gè)法向量為，則，所以二面角的正弦值的大小為．（注：問題（2）可以轉(zhuǎn)化為求二面角的正弦值，求出后，在中，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接，則就是所求二面角平面角的補(bǔ)角，先求出，再求出，最后在中求出．）【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的判定以及二面角的求解，屬于中檔題．21、(1)(2)【解析】

(1)由數(shù)列是等差數(shù)列，所以，解得，又由，解得，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)由（1）得，利用乘公比錯(cuò)位相減，即可求解數(shù)列的前n項(xiàng)和．【詳解】(1)由題意，數(shù)列是等差數(shù)列，所以，又，，由，得，所以，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(2)由（1）得，，，兩式相減得，，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差的通項(xiàng)公式、以及“錯(cuò)位相減法”求和的應(yīng)用，此類題目是數(shù)列問題中的常見題型，解答中確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計(jì)算求和是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是在“錯(cuò)位”之后求和時(shí)，弄錯(cuò)等比