2023年山西省太原市中考數(shù)學(xué)一模試卷

第1頁(yè)〔共1頁(yè)〕2023年山西省太原市中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題：本大題共10小題，每題3分，共30分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑．1．〔3分〕3的相反數(shù)是〔〕A．﹣3 B．﹣ C．3 D．2．〔3分〕以下運(yùn)算正確的選項(xiàng)是〔〕A．x2+x3=x6 B．2x+3y=5xy C．〔x3〕2=x6 D．x6÷x3=x23．〔3分〕從?陜西省頁(yè)巖氣地質(zhì)調(diào)查與評(píng)價(jià)?得悉，我省頁(yè)巖氣資源儲(chǔ)量約為4.44萬(wàn)億立方米，把4.44萬(wàn)億用科學(xué)記數(shù)法表示為〔〕A．4.44×108 B．4.44×1010 C．4.44×1011 D．4.44×10124．〔3分〕小明幫助做生意的父親整理倉(cāng)庫(kù)，在倉(cāng)庫(kù)的一角整齊地堆放著假設(shè)干個(gè)相同的正方體貨箱，如圖是小明畫(huà)出的這堆貨箱的三種視圖，這堆正方體貨箱共有〔〕A．11箱 B．10箱 C．9箱 D．8箱5．〔3分〕小明從一副撲克牌中取出3張紅桃、2張黑桃共5張牌與弟弟做游戲，把這5張牌反面朝上洗勻后放在桌子上，小明與弟弟同時(shí)各抽一張，兩人抽到花色相同的概率是〔〕A． B． C． D．6．〔3分〕如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，假設(shè)∠C=140°，那么∠BOD的度數(shù)為〔〕A．70° B．80° C．90° D．100°7．〔3分〕解分式方程時(shí)，在方程的兩邊同時(shí)乘以〔x﹣1〕〔x+1〕，把原方程化為x+1+2x〔x﹣1〕=2〔x﹣1〕〔x+1〕，這一變形過(guò)程表達(dá)的數(shù)學(xué)思想主要是〔〕A．類(lèi)比思想 B．轉(zhuǎn)化思想 C．方程思想 D．函數(shù)思想8．〔3分〕不等式組的解集在數(shù)軸上可表示為〔〕A． B． C． D．9．〔3分〕如圖，在鈍角△ABC中，AC＜BC，用尺規(guī)在BC上確定一點(diǎn)P，使PA+PC=BC，下面是四個(gè)同學(xué)的作法〔只留下了作圖痕跡，未連接PA〕，其中正確的選項(xiàng)是〔〕A． B． C． D．10．〔3分〕如圖，小明把一個(gè)邊長(zhǎng)為10的正方形DEFG剪紙貼在△ABC紙片上，其中AB=AC=26，BC=20，正方形的頂點(diǎn)D，G分別在邊AB、AC上，且AD=AG，點(diǎn)E、F在△ABC內(nèi)部，那么點(diǎn)E到BC的距離為〔〕A．1 B．2 C． D．二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每題3分，共18分，把答案寫(xiě)在答題卡對(duì)應(yīng)的橫線上．11．〔3分〕因式分解：a2﹣4=．12．〔3分〕如圖，AD∥BE∥CF，，DE=3，那么DF的長(zhǎng)為．13．〔3分〕在一個(gè)紙箱中，裝有紅色、黃色、綠色的塑料球共60個(gè)這些小球除顏色外其他都完全相同，將球充分搖勻后，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下它的顏色后再放回箱中，不斷重復(fù)這一過(guò)程，小明發(fā)現(xiàn)其中摸到紅色球、綠色球的頻率分別穩(wěn)定在15%和45%，那么這個(gè)紙箱中黃色球的個(gè)數(shù)可能有個(gè)．14．〔3分〕如圖都是由同樣大小的黑棋子按一定規(guī)律擺出的圖案，第①個(gè)圖案有4個(gè)黑棋子，第②個(gè)圖案有9個(gè)黑棋子，第③個(gè)圖案有14個(gè)黑棋子，…．依次規(guī)律，第n個(gè)圖案有個(gè)黑棋子．〔用含n的代數(shù)式表示〕15．〔3分〕如圖，正五邊形ABCDE，AF∥CD，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，那么∠DFA=度．16．〔3分〕如圖，直角三角形紙片ABC，按如下方式裁剪后，所得的圖形恰好是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，如果AB=10，那么該正方體的棱長(zhǎng)為．三、解答題：本大題共8個(gè)小題，共72分，解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．〔10分〕〔1〕計(jì)算：|﹣2|+〔2﹣π〕0﹣4×2．〔2〕解方程：x2+4x﹣2=0．18．〔6分〕閱讀與計(jì)算：請(qǐng)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．古希臘的幾何學(xué)家海倫在他的?度量?一書(shū)中給出了利用三角形的三邊求三角形面積的“海倫公式〞：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)p=，那么三角形的面積S=．我國(guó)南宋著名的數(shù)學(xué)家秦九韶，曾提出利用三角形的三邊求面積的“秦九韶公式〞〔三斜求積術(shù)〕：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，那么三角形的面積S=．〔1〕假設(shè)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是5，6，7，那么這個(gè)三角形的面積等于．〔2〕假設(shè)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是，求這個(gè)三角形的面積．19．〔6分〕如圖，點(diǎn)A〔m，3〕在反比例函數(shù)y=〔x＞0〕的圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=的圖象上，AB∥x軸，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，連接OB與AD相交于點(diǎn)C，且AC=2CD．〔1〕求m的值；〔2〕求反比例函數(shù)y=的表達(dá)式．20．〔7分〕據(jù)林業(yè)專(zhuān)家分析，樹(shù)葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的一些懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用．一片銀杏樹(shù)葉一年的平均滯塵量比一片國(guó)槐樹(shù)葉一年的平均滯塵量的2倍少4mg，假設(shè)一年滯塵1000mg所需的銀杏樹(shù)葉的片數(shù)與一年滯塵550mg所需的國(guó)槐樹(shù)葉的片數(shù)相同，求一片國(guó)槐樹(shù)葉一年的平均滯塵量．21．〔8分〕隨著現(xiàn)代通訊工具的開(kāi)展，學(xué)生帶手機(jī)已經(jīng)成為一種普遍現(xiàn)象，手機(jī)對(duì)于學(xué)生的影響越來(lái)越受到社會(huì)的關(guān)注．于是，某課題小組對(duì)此進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，其中的一個(gè)問(wèn)題有三個(gè)選項(xiàng)：有利，無(wú)影響，有弊，要求每人必選且只選一項(xiàng)．他們隨即調(diào)查了假設(shè)干名學(xué)生和家長(zhǎng)，整理并制作了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，解答以下問(wèn)題：〔1〕求這次調(diào)查的家長(zhǎng)人數(shù)，并補(bǔ)全圖〔1〕；〔2〕求圖〔2〕中表示“有利〞的扇形圓心角的度數(shù)；〔3〕該地區(qū)約有10萬(wàn)名學(xué)生，據(jù)此估計(jì)學(xué)生認(rèn)為帶手機(jī)“有弊〞的人數(shù)．22．〔10分〕如圖是小明同學(xué)畫(huà)出的某同學(xué)放風(fēng)箏的示意圖，從地面A處放飛的風(fēng)箏幾分鐘后飛至C處，此時(shí)，點(diǎn)B與旗桿PQ的頂部點(diǎn)P以及點(diǎn)C恰好在一直線上，PQ⊥AB于點(diǎn)Q．〔1〕旗桿的高為10米，在B處測(cè)得旗桿頂部點(diǎn)P的仰角為30°，在A處測(cè)得點(diǎn)P的仰角為45°，求A、B之間的距離；〔2〕此時(shí)，在A處測(cè)得風(fēng)箏C的仰角為75°，設(shè)繩子AC在空中為一條線段，求AC的長(zhǎng)．〔結(jié)果保存根號(hào)〕23．〔12分〕在學(xué)習(xí)完矩形的內(nèi)容后，某課外學(xué)習(xí)小組對(duì)矩形的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究，如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)O為矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)．操作發(fā)現(xiàn)：如圖〔1〕所示，點(diǎn)E為AD邊上任意一點(diǎn)，連接EO并延長(zhǎng)與BC邊交于點(diǎn)F．〔1〕小組成員甲發(fā)現(xiàn)“AE=CF〞，請(qǐng)你完成證明；〔2〕如圖〔2〕，連接BE、DF，小組成員乙發(fā)現(xiàn)“四邊形BEDF的形狀一定是，當(dāng)AE的長(zhǎng)為時(shí)，四邊形BEDF是菱形〞；探究發(fā)現(xiàn)：受前面兩位組員的啟發(fā)，小組成員丙與丁對(duì)圖形進(jìn)一步操作，將圖〔2〕中的△ABE與△CDF分別沿BE與DF進(jìn)行翻折，點(diǎn)A與點(diǎn)C分別落在矩形ABCD內(nèi)的點(diǎn)A′，C′處．〔3〕如圖〔3〕，連接A′D，BC′，發(fā)現(xiàn)“四邊形BA′DC′是平行四邊形〞，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論；〔4〕如圖〔4〕，連接A′C′，A′C′有最小值嗎？假設(shè)有，請(qǐng)你直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng)；假設(shè)沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．24．〔13分〕如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B〔3，0〕兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C〔0，﹣3〕，點(diǎn)D為頂點(diǎn)，連接BC、BD、CD．〔1〕求拋物線的表達(dá)式；〔2〕試判斷△BCD的形狀，并說(shuō)明理由；〔3〕將該拋物線平移，使它的頂點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于直線BD對(duì)稱(chēng)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)并寫(xiě)出平移的方法．

2023年山西省太原市中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每題3分，共30分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑．1．〔3分〕〔2023?莆田〕3的相反數(shù)是〔〕A．﹣3 B．﹣ C．3 D．【解答】解：根據(jù)概念，3的相反數(shù)在3的前面加﹣，那么3的相反數(shù)是﹣3．應(yīng)選：A．2．〔3分〕〔2023?無(wú)錫二?！骋韵逻\(yùn)算正確的選項(xiàng)是〔〕A．x2+x3=x6 B．2x+3y=5xy C．〔x3〕2=x6 D．x6÷x3=x2【解答】解：A、原式不能合并，錯(cuò)誤；B、原式不能合并，錯(cuò)誤；C、原式=x6，正確；D、原式=x3，錯(cuò)誤．應(yīng)選C．3．〔3分〕〔2023?太原一?！硰?陜西省頁(yè)巖氣地質(zhì)調(diào)查與評(píng)價(jià)?得悉，我省頁(yè)巖氣資源儲(chǔ)量約為4.44萬(wàn)億立方米，把4.44萬(wàn)億用科學(xué)記數(shù)法表示為〔〕A．4.44×108 B．4.44×1010 C．4.44×1011 D．4.44×1012【解答】解：4.44萬(wàn)億=4440000000000=4.44×1012，應(yīng)選D．4．〔3分〕〔2023?太原一?！承∶鲙椭錾獾母赣H整理倉(cāng)庫(kù)，在倉(cāng)庫(kù)的一角整齊地堆放著假設(shè)干個(gè)相同的正方體貨箱，如圖是小明畫(huà)出的這堆貨箱的三種視圖，這堆正方體貨箱共有〔〕A．11箱 B．10箱 C．9箱 D．8箱【解答】解：由俯視圖可得最底層有6箱，由正視圖和左視圖可得第二層有2箱，第三層有1個(gè)箱，共有6+2+1=9箱．應(yīng)選：C．5．〔3分〕〔2023?太原一?！承∶鲝囊桓睋淇伺浦腥〕?張紅桃、2張黑桃共5張牌與弟弟做游戲，把這5張牌反面朝上洗勻后放在桌子上，小明與弟弟同時(shí)各抽一張，兩人抽到花色相同的概率是〔〕A． B． C． D．【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖為：共有20種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩人抽到花色相同的結(jié)果數(shù)為8，所以兩人抽到花色相同的概率==．應(yīng)選D．6．〔3分〕〔2023?太原一?！橙鐖D，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，假設(shè)∠C=140°，那么∠BOD的度數(shù)為〔〕A．70° B．80° C．90° D．100°【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C=180°，∴∠A=40°，由圓周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，應(yīng)選：B．7．〔3分〕〔2023?太原一?！辰夥质椒匠虝r(shí)，在方程的兩邊同時(shí)乘以〔x﹣1〕〔x+1〕，把原方程化為x+1+2x〔x﹣1〕=2〔x﹣1〕〔x+1〕，這一變形過(guò)程表達(dá)的數(shù)學(xué)思想主要是〔〕A．類(lèi)比思想 B．轉(zhuǎn)化思想 C．方程思想 D．函數(shù)思想【解答】解：解分式方程時(shí)，在方程的兩邊同時(shí)乘以〔x﹣1〕〔x+1〕，把原方程化為x+1+2x〔x﹣1〕=2〔x﹣1〕〔x+1〕，這一變形過(guò)程表達(dá)的數(shù)學(xué)思想主要是轉(zhuǎn)化思想，應(yīng)選B．8．〔3分〕〔2023?太原一?！巢坏仁浇M的解集在數(shù)軸上可表示為〔〕A． B． C． D．【解答】解：，解①得x＞1，解②得x≥2．那么不等式組的解集是x≥2．應(yīng)選A．9．〔3分〕〔2023?太原一模〕如圖，在鈍角△ABC中，AC＜BC，用尺規(guī)在BC上確定一點(diǎn)P，使PA+PC=BC，下面是四個(gè)同學(xué)的作法〔只留下了作圖痕跡，未連接PA〕，其中正確的選項(xiàng)是〔〕A． B． C． D．【解答】解：∵PA+PC=BC，BP+CP=BP，∴BP=AP，∴點(diǎn)P應(yīng)在AB的垂直平分線上，根據(jù)線段垂直平分線的做法可得D正確；應(yīng)選：D．10．〔3分〕〔2023?太原一?！橙鐖D，小明把一個(gè)邊長(zhǎng)為10的正方形DEFG剪紙貼在△ABC紙片上，其中AB=AC=26，BC=20，正方形的頂點(diǎn)D，G分別在邊AB、AC上，且AD=AG，點(diǎn)E、F在△ABC內(nèi)部，那么點(diǎn)E到BC的距離為〔〕A．1 B．2 C． D．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC，交DG于點(diǎn)H，BC于點(diǎn)M，∵AB=AC，BC=20，∴BM=MC=BC=10，∴AH===24，∵正方形的頂點(diǎn)D，G分別在邊AB、AC上，且AD=AG，∴DG⊥AH，DH=HG=DG，∵DG=10，∴DH=5，∵∠BAM=∠MAB，∠ABC=∠ADH，∴△ADH∽△ABM，∴=，∴=，∴AD=13，∴AH=HM=12，∴點(diǎn)E到BC的距離為：12﹣10=2；應(yīng)選B．二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每題3分，共18分，把答案寫(xiě)在答題卡對(duì)應(yīng)的橫線上．11．〔3分〕〔2023?晉江市模擬〕因式分解：a2﹣4=〔a+2〕〔a﹣2〕．【解答】解：a2﹣4=〔a+2〕〔a﹣2〕．故答案為：〔a+2〕〔a﹣2〕．12．〔3分〕〔2023?太原一?！橙鐖D，AD∥BE∥CF，，DE=3，那么DF的長(zhǎng)為7.5．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴=，即=，解得：EF=4.5，∴DF=DE+EF=3+4.5=7.5．故答案為：7.5．13．〔3分〕〔2023?太原一?！吃谝粋€(gè)紙箱中，裝有紅色、黃色、綠色的塑料球共60個(gè)這些小球除顏色外其他都完全相同，將球充分搖勻后，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下它的顏色后再放回箱中，不斷重復(fù)這一過(guò)程，小明發(fā)現(xiàn)其中摸到紅色球、綠色球的頻率分別穩(wěn)定在15%和45%，那么這個(gè)紙箱中黃色球的個(gè)數(shù)可能有24個(gè)．【解答】解：∵共60個(gè)球，其中摸到紅色球、綠色球的頻率分別穩(wěn)定在15%和45%，∴黃球所占的比例為100%﹣15%﹣45%=40%，設(shè)盒子中共有黃球x個(gè)，那么，解得：x=24．故答案為：24．14．〔3分〕〔2023?太原一?！橙鐖D都是由同樣大小的黑棋子按一定規(guī)律擺出的圖案，第①個(gè)圖案有4個(gè)黑棋子，第②個(gè)圖案有9個(gè)黑棋子，第③個(gè)圖案有14個(gè)黑棋子，…．依次規(guī)律，第n個(gè)圖案有5n﹣1個(gè)黑棋子．〔用含n的代數(shù)式表示〕【解答】解：觀察圖①有5×1﹣1=4個(gè)黑棋子；圖②有5×2﹣1=9個(gè)黑棋子；圖③有5×3﹣1=14個(gè)黑棋子；圖④有5×4﹣1=19個(gè)黑棋子；…圖n有5n﹣1個(gè)黑棋子，故答案為5n﹣1．15．〔3分〕〔2023?江陰市一?！橙鐖D，正五邊形ABCDE，AF∥CD，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，那么∠DFA=36度．【解答】解：∵正五邊形的外角為360°÷5=72°，∴∠C=180°﹣72°=108°，∵CD=CB，∴∠CDB=36°，∵AF∥CD，∴∠DFA=∠CDB=36°，故答案為：36．16．〔3分〕〔2023?太原一?！橙鐖D，直角三角形紙片ABC，按如下方式裁剪后，所得的圖形恰好是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，如果AB=10，那么該正方體的棱長(zhǎng)為3．【解答】解：如圖，設(shè)這個(gè)展開(kāi)圖圍成的正方體的棱長(zhǎng)為x，那么EG=x，ED=3x，F(xiàn)G=3x，BD=x，∵AB=10，∴AH=10﹣3x，∵EG∥AB，∴△EFG∽△AEH，∴，即，解得：x=3．∴正方體的棱長(zhǎng)為3，故答案為：3．三、解答題：本大題共8個(gè)小題，共72分，解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．〔10分〕〔2023?太原一?！场?〕計(jì)算：|﹣2|+〔2﹣π〕0﹣4×2．〔2〕解方程：x2+4x﹣2=0．【解答】解：〔1〕原式=2+1﹣1﹣8=3﹣9=﹣6；〔2〕方程整理得：x2+4x=2，配方得：x2+4x+4=6，即〔x+2〕2=6，開(kāi)方得：x+2=±，解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．18．〔6分〕〔2023?太原一?！抽喿x與計(jì)算：請(qǐng)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．古希臘的幾何學(xué)家海倫在他的?度量?一書(shū)中給出了利用三角形的三邊求三角形面積的“海倫公式〞：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)p=，那么三角形的面積S=．我國(guó)南宋著名的數(shù)學(xué)家秦九韶，曾提出利用三角形的三邊求面積的“秦九韶公式〞〔三斜求積術(shù)〕：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，那么三角形的面積S=．〔1〕假設(shè)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是5，6，7，那么這個(gè)三角形的面積等于6．〔2〕假設(shè)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是，求這個(gè)三角形的面積．【解答】解：〔1〕p===9，S===6．答：這個(gè)三角形的面積等于6．〔2〕S=====．答：這個(gè)三角形的面積是．故答案為：6．19．〔6分〕〔2023?太原一模〕如圖，點(diǎn)A〔m，3〕在反比例函數(shù)y=〔x＞0〕的圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=的圖象上，AB∥x軸，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，連接OB與AD相交于點(diǎn)C，且AC=2CD．〔1〕求m的值；〔2〕求反比例函數(shù)y=的表達(dá)式．【解答】解：〔1〕∵點(diǎn)A〔m，3〕在反比例函數(shù)y=〔x＞0〕的圖象上，∴3=，解得m=1，〔2〕過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，延長(zhǎng)線段BA，交y軸于F，∵AB∥x軸，∴AF⊥y軸，∴四邊形AFOD是矩形，四邊形OEBF是矩形，∴AF=OD，BF=OE，∴AB=DE，∵點(diǎn)A在雙曲線y=y=〔x＞0〕上，∴S矩形AFOD=3，同理S矩形OEBF=k，∵AB∥OD，∴==，∴AB=2OD，∴DE=2OD，∴S矩形OEBF=3S矩形AFOD=9，∴k=9，∴反比例函數(shù)y=的表達(dá)式為y=．20．〔7分〕〔2023?太原一模〕據(jù)林業(yè)專(zhuān)家分析，樹(shù)葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的一些懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用．一片銀杏樹(shù)葉一年的平均滯塵量比一片國(guó)槐樹(shù)葉一年的平均滯塵量的2倍少4mg，假設(shè)一年滯塵1000mg所需的銀杏樹(shù)葉的片數(shù)與一年滯塵550mg所需的國(guó)槐樹(shù)葉的片數(shù)相同，求一片國(guó)槐樹(shù)葉一年的平均滯塵量．【解答】解：設(shè)一片國(guó)槐樹(shù)葉一年的平均滯塵量為x毫克，那么一片銀杏樹(shù)葉一年的平均滯塵量為〔2x﹣4〕毫克，由題意得：=，解得：x=22，經(jīng)檢驗(yàn)：x=22是所列方程的解．答：一片國(guó)槐樹(shù)葉一年的平均滯塵量為22毫克．21．〔8分〕〔2023?太原一?！畴S著現(xiàn)代通訊工具的開(kāi)展，學(xué)生帶手機(jī)已經(jīng)成為一種普遍現(xiàn)象，手機(jī)對(duì)于學(xué)生的影響越來(lái)越受到社會(huì)的關(guān)注．于是，某課題小組對(duì)此進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，其中的一個(gè)問(wèn)題有三個(gè)選項(xiàng)：有利，無(wú)影響，有弊，要求每人必選且只選一項(xiàng)．他們隨即調(diào)查了假設(shè)干名學(xué)生和家長(zhǎng)，整理并制作了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，解答以下問(wèn)題：〔1〕求這次調(diào)查的家長(zhǎng)人數(shù)，并補(bǔ)全圖〔1〕；〔2〕求圖〔2〕中表示“有利〞的扇形圓心角的度數(shù)；〔3〕該地區(qū)約有10萬(wàn)名學(xué)生，據(jù)此估計(jì)學(xué)生認(rèn)為帶手機(jī)“有弊〞的人數(shù)．【解答】解：〔1〕這次調(diào)查的家長(zhǎng)人數(shù)為80÷20%=400人，反對(duì)人數(shù)是：400﹣40﹣80=280人，補(bǔ)全圖形如下：〔2〕360°×=36°，答：圖〔2〕中表示“有利〞的扇形圓心角的度數(shù)為36°．〔3〕×10=1.5〔萬(wàn)人〕，答：估計(jì)學(xué)生認(rèn)為帶手機(jī)“有弊〞的人數(shù)約為1.5萬(wàn)人．22．〔10分〕〔2023?太原一?！橙鐖D是小明同學(xué)畫(huà)出的某同學(xué)放風(fēng)箏的示意圖，從地面A處放飛的風(fēng)箏幾分鐘后飛至C處，此時(shí)，點(diǎn)B與旗桿PQ的頂部點(diǎn)P以及點(diǎn)C恰好在一直線上，PQ⊥AB于點(diǎn)Q．〔1〕旗桿的高為10米，在B處測(cè)得旗桿頂部點(diǎn)P的仰角為30°，在A處測(cè)得點(diǎn)P的仰角為45°，求A、B之間的距離；〔2〕此時(shí)，在A處測(cè)得風(fēng)箏C的仰角為75°，設(shè)繩子AC在空中為一條線段，求AC的長(zhǎng)．〔結(jié)果保存根號(hào)〕【解答】解：〔1〕∵PQ⊥AB，∴∠BQP=∠AQP=90°，在RT△BPQ中，∵PQ=10，∠BQP=90°，∠B=30°，∵tanB=，∴=，∴BQ=10，在RT△APQ中，，∠PAB=45°，∴APQ=90°﹣∠PAB=45°，AQ=PQ=10，∴AB=BQ+AQ=10+10．答：A、B之間的距離為〔10+10〕米．〔2〕如圖作AE⊥BC于E．在RT△ABE中，∵∠AEB=90°，∠B=30°，AB=10+10，∴AE=AB=5+5，∵∠CAD=75°，∠B=30°，∴∠C=45°，在RT△CAE中，sinC=，∴=，∴AC=〔5+5〕=5+5，答：AC的長(zhǎng)為〔5+5〕米．23．〔12分〕〔2023?太原一模〕在學(xué)習(xí)完矩形的內(nèi)容后，某課外學(xué)習(xí)小組對(duì)矩形的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究，如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)O為矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)．操作發(fā)現(xiàn)：如圖〔1〕所示，點(diǎn)E為AD邊上任意一點(diǎn)，連接EO并延長(zhǎng)與BC邊交于點(diǎn)F．〔1〕小組成員甲發(fā)現(xiàn)“AE=CF〞，請(qǐng)你完成證明；〔2〕如圖〔2〕，連接BE、DF，小組成員乙發(fā)現(xiàn)“四邊形BEDF的形狀一定是平行四邊形，當(dāng)AE的長(zhǎng)為時(shí)，四邊形BEDF是菱形〞；探究發(fā)現(xiàn)：受前面兩位組員的啟發(fā)，小組成員丙與丁對(duì)圖形進(jìn)一步操作，將圖〔2〕中的△ABE與△CDF分別沿BE與DF進(jìn)行翻折，點(diǎn)A與點(diǎn)C分別落在矩形ABCD內(nèi)的點(diǎn)A′，C′處．〔3〕如圖〔3〕，連接A′D，BC′，發(fā)現(xiàn)“四邊形BA′DC′是平行四邊形〞，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論；〔4〕如圖〔4〕，連接A′C′，A′C′有最小值嗎？假設(shè)有，請(qǐng)你直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng)；假設(shè)沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】〔1〕證明：如圖1，連接AC，∴點(diǎn)O在線段AC上，AD∥BC，OA=OC，∴∠AOE=∠COF，∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF；〔2〕解：如圖2，連接BD，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，由〔1〕有AE=CF，∴DE=BFRt△ABE≌Rt△CDF，∴BE=DF，∵EF=EF，∴四邊形BEDF是平行四邊形．設(shè)AE=x，那么DE=6﹣x，∵四邊形BEDF是菱形，∴BE=BD=6﹣x，在Rt△ABE中，AB=4，根據(jù)勾股定理，得AB2+AE2=BE2，∴16+x2=〔6﹣x〕2，∴x=．故答案為平行四邊形，．〔3〕解：如圖3，連接BD，由〔1〕有，AE=CF，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，∴Rt△ABE≌Rt△CDF，∴∠ABE=CDF，∵沿BE翻折，點(diǎn)A落在A′處，∴Rt△ABE≌Rt△A′BE，∴A′B=AB，∠ABE=∠A′BE=∠ABA′同理可得，C′D=CD，∠CDF=∠C′DF=∠C′DC，∴∠ABA′=∠C′DC，A′B=C′D，∠ABO﹣∠ABA′=∠CDO﹣∠CDC′，∴∠OBA′=∠ODC′，∴A′B∥C′D，∴四邊形BA′DC′是平行四邊形；〔4〕解：如圖4，由于A'C'始終過(guò)平行四邊形A'BC'D的對(duì)角線的交點(diǎn)，∴要使A′C′最小，只有點(diǎn)A′，C′落在矩形對(duì)角線BD上，設(shè)AE=x，∴EA′=x，DE=6﹣x，矩形的對(duì)角線BD==2，由對(duì)折有BA′=BA=4∴DA′=BD﹣BA′=2﹣4，在Rt△DEA′中，有DE2=EA′2+DA′2，∴〔6﹣x〕2=x2+〔2﹣4〕2∴x=，即：AE