數(shù)學培優(yōu)競賽新方法(九年級)-第13講-旋轉(zhuǎn)變換

第13講旋轉(zhuǎn)變換知識縱橫在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一定的角度，這樣的圖形變換稱為旋轉(zhuǎn)，這個定點叫旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)變換不改變圖形的形狀和大小，通過旋轉(zhuǎn)，圖形上的每一點都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向轉(zhuǎn)動同樣大小的角度，旋轉(zhuǎn)變換前后的圖形有以下性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角等于旋轉(zhuǎn)角對應線段相等，對應線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應線段的垂直平分線都經(jīng)過旋轉(zhuǎn)中心。例題求解【例1】如圖，在中，,點D在邊BC上，BD=2CD,把繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)m〔0<m<180〕度后，如果點B恰好落在初始的邊上，那么m=。(2011上海市中考題)思路點撥因B點所落得邊未確定，故需分類討論?！纠?】如圖，P是等邊內(nèi)部一點，的大小之比是5:6:7，那么PB.PA.PC為邊的三角形的三個角的大小〔從小到大〕之比是〔〕A2：3：4B3：4：C4：5：6D不確定(全國初中數(shù)學競賽題)思路點撥由于PA.PB,PC沒有構(gòu)成三角形，所以需要作輔助線構(gòu)造以它們?yōu)檫叺娜切?，不妨實施旋轉(zhuǎn)變換?！纠?】點B,C,E在同一直線上，點A,D在直線CE的同側(cè)，AB=AC,EC=ED,,直線AE,BD交于點F，如圖，假設_____________;如圖，假設__________________如圖，假設___________(用含的式子表示)將圖中的繞點C旋轉(zhuǎn)〔點F不與點A,B重合〕，得圖=4\*GB3④或=5\*GB3⑤，在圖=4\*GB3④中，的數(shù)量關(guān)系是_________;在圖=5\*GB3⑤中，的數(shù)量關(guān)系是__________請你任選其中一個結(jié)論證明。〔武漢市中考題〕思路點撥從特殊到一般，在動態(tài)的旋轉(zhuǎn)過程中，有兩組不變的關(guān)系：~~,這是解此題的關(guān)鍵?！纠?】如圖，在中，AB=AC=2，,將直角三角板EPF的直角頂點P放在線段BC的中點上，以點P為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動三角板并使三角板的兩直角邊PE,PF分別與AC,AB相交于點N,M,鏈接MN,AP,交于點D.求證：PN=PM設線段AM的長為，的面積為，求的函數(shù)關(guān)系式。當三角板旋轉(zhuǎn)到時，求的長。思路點撥對于〔1〕，從探尋與的關(guān)系入手；對于〔2〕，對于〔3〕，可證明【例5】中，AB=AC,在中，AD=DE，鏈接EC,取EC中點M，連接DM和BM.假設點D在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合，如圖。求證：BM=DM且BMDM如圖中的繞點A逆時針轉(zhuǎn)小于的角，那么〔1〕中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立請給予證明?！矎V州市中考題〕分析對于〔2〕，由〔1〕可猜測BM,DM之間關(guān)系，由中點可從以下方面聯(lián)想與探索；〔1〕構(gòu)造中位線，取AC,AE中點F,G，連DG.GM.BF.FM;(2)構(gòu)造中心對稱全等三角形，延長DM至F點，使MF=DM,連接BD,BF.正方形中的費馬點【例6】如圖，正方形ABCD內(nèi)一動點E到A,B,C三點的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長?！矎V東省競賽題〕分析本例是費馬點相關(guān)的問題的變形，解題的關(guān)鍵是確定最小值時E點的位置，通過旋轉(zhuǎn)變換，把EA,EB,EC連接起來。學力訓練根底夯實如圖，正方形ABCD中，點E在邊DC上，DE=2，EC=1，把線段AE繞點A旋轉(zhuǎn)，使點E落在直線BC上的點F處，那么F、C兩點的距離為?！采虾Ｊ兄锌碱}〕如圖，P是正內(nèi)的一點，且PA=6，PB=8，PC=10，假設將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到,那么點P與P’之間的距離為，?！睬鄭u市中考題〕如圖，直角梯形ABCD中，,將CD以點D為中心逆時針旋轉(zhuǎn)至ED，連接AE,那么的面積是___________(泰州市中考題)如圖，將繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)角度到的位置，設BC與DE交于M點，連接AM，以下結(jié)論：=1\*GB3①BC=DE;=2\*GB3②,=3\*GB3③，=4\*GB3④MA平分.其中正確的結(jié)論只有()A.①②B.①③C.=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④D.①③④如圖，將繞點旋轉(zhuǎn)得到,設點的坐標為，那么點A的坐標為〔〕〔河南省中考題〕6.如圖，直線與軸、軸分別交于A,B兩點，把繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后得到,那么點的坐標是〔〕(麗水市中考題)ABCD：如圖=1\*GB3①，O為正方形ABCD的中心，分別延長OA到點F,OD到點E，使OF=2OA,OE=2OD,連接EF，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)角得到(如圖=2\*GB3②)探究的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；當為直角三角形〔2011年南通市中考題〕在正方形的邊AB上任取一點,作交于點,取得中點,連接EG,CG,如圖=1\*GB3①，易證.將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖=2\*GB3②，那么線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請直接寫出你的猜測。將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖=3\*GB3③，那么線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請直接寫出你的猜測。并加以證明。〔2011年黑龍江省中考題〕9.在和中，AB=AC,DE=DF,,點分別是的中點。〔1〕假設點A與點D重合，點〔如圖=1\*GB3①〕，那么的數(shù)量關(guān)系式,的數(shù)量關(guān)系是。將圖=1\*GB3①中的旋轉(zhuǎn)〔如圖=2\*GB3②〕，問〔1〕的兩個結(jié)論是否仍成立？假設成立，請證明；假設不成立，請說明理由。能力拓展如圖，設正的邊長為，將繞它的中心旋轉(zhuǎn)得到對應的,那么兩點間的距離等于。(浙江省競賽題)如圖，四邊形ABCD中，繞頂點旋轉(zhuǎn)所得，頂點恰好轉(zhuǎn)到上一點的位置，那么度?！驳?8屆江蘇省競賽題〕如圖，在中，,以斜邊上距離點6的點為中心，把這個三角形按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至,那么旋轉(zhuǎn)前后兩個三角形重疊局部的面積是(黃岡市競賽題)如圖，在線段同側(cè)作兩個等邊,分別是線段的中點，那么是〔〕鈍角三角形直角三角形等邊三角形非等腰三角形〔海南省競賽題〕如圖，邊長為2的正方形的對角線交于點,把邊分別繞點同時逆時針旋轉(zhuǎn)，得四邊形,以下結(jié)論：=1\*GB3①四邊形為菱形；=2\*GB3②;=3\*GB3③線段的長為。其中正確的結(jié)論有〔〕如圖，在等腰的斜邊上取兩點,使,記那么以線段為邊長的三角形的形狀是〔〕銳角三角形直角三角形鈍角三角形隨的變化而變化〔安徽省競賽題〕如圖，在等邊中，點是邊的中點，點事線段上的動點〔點與點不重合〕，連接.將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)角〔〕，得到,連接分別交射線,射線于點如圖1，當0°＜α＜60°時，在α角變化過程中，△BEF與△AEP始終存在________關(guān)系〔填“相似”或“全等”〕，并說明理由；

〔2〕如圖2，設∠ABP=β．當60°＜α＜180°時，在α角變化過程中，是否存在△BEF與△AEP全等？假設存在，求出α與β之間的數(shù)量關(guān)系；假設不存在，請說明理由；

〔3〕如圖3，當α=60°時，點E、F與點B重合．AB=4，設DP=x，△A1BB1的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．〔2011年義烏市中考題〕

如圖，凸五邊形中，,,求證：.(北京市競賽題)綜合創(chuàng)