2023年8月第一屆“魚(yú)塘杯”高考適應(yīng)性練習(xí)數(shù)學(xué)參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

絕密★啟用前

2023年8月第一屆“魚(yú)塘杯”高考適應(yīng)性練習(xí)

數(shù)學(xué)參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

本參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)共8頁(yè)，22小題，滿分120分.

注意事項(xiàng)：

1.本參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第I卷部分提供了答案和解析，第II卷部分提供了標(biāo)準(zhǔn)解答和

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn).

2.第II卷部分每一題只給出了一種解答提供閱卷參考，如果出現(xiàn)新的解答，按照本參考

答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的精神，劃定步驟分評(píng)分.

3.如果考生發(fā)現(xiàn)自己的改卷結(jié)果和本參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)不一致，可在官方QQ群中?

任意一個(gè)管理員進(jìn)行申訴，申訴時(shí)需要提供準(zhǔn)考證號(hào)和自己的解答拍照.

4.本聯(lián)考活動(dòng)最終解釋權(quán)歸魚(yú)塘杯聯(lián)考命題組所有.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

本題主要考察基本知識(shí)和基本方法.

1.設(shè)集合4={刀|①(①一4)(,-5)=0},則集合4的非空真子集的個(gè)數(shù)是

A.5B.6C.7D.8

【答案】B.

【解析】注意到A={0,4,5},因此A的非空真子集個(gè)數(shù)為23-2=6.

2.如果a=(1,2),b=(3,z).若(a+b).a=0.則①的值是

A.2B.-2C.4D,-4

【答案】D.

【解析】注意到a+b=(4,2+0，所以0=(a+b)-a=4+2(2+/),解得z=—4.

3.已知線段則平面上全體滿足\AP\2+\BP\2為定值C>絲E的點(diǎn)P的軌跡是

A.直線B.圓C.橢圓D.拋物線

【答案】B.

【解析】考慮一個(gè)三角形4BC,。河為這個(gè)三角形的中線，那么在兩個(gè)小三角形中，根據(jù)

\CM\2+\MA\2-\AC\2\CM\2+\MB\2-\BC\2

余弦定理，有2\CM\■\MA\+=0'因此|C71|2+|CB|2=

2\CM\■\MB\

2(|CM|2+\MA\2),因此若\PA\2+\PB\2為定值，其一定在AB中點(diǎn)M為圓心，確定半徑

的一個(gè)圓上運(yùn)動(dòng).

Y數(shù)學(xué)試卷(參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn))第1頁(yè)(共8頁(yè))

4.設(shè)ZeC,滿足三一2023eR,其中i為虛數(shù)單位.則在復(fù)平面內(nèi)，2表示的點(diǎn)的軌跡不經(jīng)

Z—1

過(guò)的象限是

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C.

【解析】考慮向量意義意思是說(shuō)2023,i共線，這個(gè)直線過(guò)第一、二、四象

Z—1

限，不過(guò)第三象限.

5.已知二項(xiàng)式(1+2為13的展開(kāi)式中第k項(xiàng)系數(shù)最大，則(2+z戶展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和是

A.210B.310C.29D.39

【答案】A.

【解析】用Tk表示二項(xiàng)式(1+2H尸3中第k項(xiàng)系數(shù)，若二項(xiàng)式(1+2》尸3中第k項(xiàng)系數(shù)最

大，則有鼻-《￡》號(hào)+1,其中，=。髭12-1,解得卜=10,所以(2+x)k展開(kāi)式的二項(xiàng)

式系數(shù)和為210.

43

6.如果sin(a+0)=工，sina=E，那么cos￡所有取值的和是

00

AYB."C.空D.竺

25252525

【答案】C.

【解析】cos。=COS[(Q+G)—a]=cos(a+6)cosa+sin(a+0)sin￡,然而cos(a+。)和

24

cosa都有正負(fù)兩種取值，最終可以得到這些的和為寶.

10

7.函數(shù)f(x)滿足：任意71￡N*,f(n)》5n.且f(x+g)=f(x)+f(y)+Wxy,則￡f(i)

i=l

的最小值是

A.1775B.1850C.1925D.2000

【答案】C.

【解析】注意f(x+y)-5(x+y)2=f(x)-5x2+f(y)-5y2,設(shè)g(x)=f(x)-5x2,那

么gO+y)=g(z)+g(v),因此g(")=g("-1)+g⑴=-=ng⑴=n[/(l)-5],因此

101010

/⑺=5n2+[/(l)-5]n》5n,取n=1,得到/(I)》5.所以￡f(i)=5￡i2+[/(l)-5]fi》

i=li=li=l

io

5￡產(chǎn)=1925.設(shè)f(x)=5x2,等號(hào)成立!

1=1

8.已知G(0：，滿足cosQ+g)+coscsinccosy—sinycosgsincW0、則下列關(guān)系式

一定成立的是

7T7T

A.c-g40B.x—y0C.+D.—x+y<TT

【答案】D.

【解析】原不等式左側(cè)=cosxcosy—sinxsiny+(cosx-siny)sinxcosy=sinxcosy

——tany4-cosx—sin7/^=sin優(yōu)cosy[tan—力)+sin(^一力)一tang—sing].因?yàn)?/p>

Y數(shù)學(xué)試卷(參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn))第2頁(yè)(共8頁(yè))

x，y￡（°，萬(wàn)），所以sinxcosy》0.因此原不等式可變?yōu)閠an一c）7T

+sin2~X(tany+

sing.設(shè)/（c）=tan①+sini,i€（。，］），易知/（二）在定義域上單調(diào)遞增，且原不等式即為

（萬(wàn)7T一。\）W"切，故有-7T-x^y,即rc+y）萬(wàn)7T。由取值范圍易知x+y<7T,所以

-7T^x+y<7T.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

本題主要考察基本知識(shí)和基本方法的適當(dāng)擴(kuò)展.

9.給定一組均為整數(shù)的樣本.現(xiàn)在將這個(gè)樣本同時(shí)加上a€Z,則下列說(shuō)法正確的是

A.平均數(shù)增大a

B.方差不變

C.如果a是奇數(shù)，隨機(jī)抽取這組數(shù)據(jù)的一個(gè)，是奇數(shù)的概率不變

D.如果a是偶數(shù)，隨機(jī)抽取這組數(shù)據(jù)的一個(gè)，是奇數(shù)的概率不變

【答案】ABD.

【解析】A和B顯然正確.如果a是奇數(shù)，和這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)相加，奇偶性替換，所以

是奇數(shù)的概率不一定不變；如果a是偶數(shù)，相加后奇偶性不變，所以奇數(shù)的概率不變.

10.已知數(shù)列｛%｝滿足：an+l=al+2an,%=1,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是

A.a4=255B.｛an+1｝是等比數(shù)列

C.｛^｝是遞增數(shù)列D.若令加=a”+1,則bn=22時(shí)2

【答案】BD.

21

【解析】不妨令bn=an+1,則有b九+i=%=2'2\bi=%+1=2,故如=2",an=

8

a?*】一1.計(jì)算可得a4=2-1=256-1=255.

皿岑=22"、不為常數(shù)，所以｛冊(cè)+1｝不是等比數(shù)列.

注意至U攀-1=點(diǎn)?2時(shí)，因?yàn)?"T>1,所以

說(shuō)（"1）（22+1）

2九>2九T+1,所以22rl>22n-1+1=2?22rl一，所以n2n-（n+1）22"-1>22"-1.（n-1）>1,

所以*—l>0;n=l時(shí)空—l=5>0;綜上，駕—l>0,駕>1,空>上,

譚2曲曾n+1n

故｛腎｝單調(diào)遞增.

根據(jù)上述結(jié)論，鼠=22”一.

11.已知四面體ABCD,AC=BD=?AD=BC=V10,AB=CD=713,球。是四面體

A3。。的外接球，P,Q分別是直線上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是

A,?！?=曳國(guó)

130

B.\PQ\的最小值為2

Y數(shù)學(xué)試卷（參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)）第3頁(yè)（共8頁(yè)）

C.球O的表面積為147r

D.若球0,與球。球心相同，半徑為3,則球0'截直線BC的長(zhǎng)為4^2

【答案】BCD.

【解析】作出一個(gè)長(zhǎng)方體，其正面水平邊長(zhǎng)為3,側(cè)面水平邊長(zhǎng)為2,高為1,取其左前上方

頂點(diǎn)為4,右后上方頂點(diǎn)為6，左后下方頂點(diǎn)為。，右前下方頂點(diǎn)為則即為四

面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn).

AC2+BC2-AB2V2

首先有cosZ.ACB—

2AC-BC10

然后〔PQImin即為直線AD和直線BC之間的距離，即為長(zhǎng)方體前后兩平面距離，即為2.

因?yàn)殚L(zhǎng)方體外接球過(guò)四面體四個(gè)頂點(diǎn)，所以四面體外接球即為長(zhǎng)方體外接球。易知該球半

徑為圖，所以四面體ABCD外接球表面積為147r.

易知。點(diǎn)到BC距離為1,所以0,截直線BC的長(zhǎng)度為2行』=4四.

12.已知△ABC內(nèi)切圓半徑為、現(xiàn)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出其直觀圖的面

/Q

積是祟amc分別為AABC的三邊邊長(zhǎng)，則下列說(shuō)法正確的是

41Q

A.(a+6)-c的最大值是1B.—+-的最小值是￡

a4-6c2

111

不+口+口＜DJ+R+4〉17

C.251—a1—b1—c

【答案】BC.

【解析】由于本題是全卷最難的一題，如果將解析全部放出，會(huì)減少解析的神秘感，所以本

題解析敬請(qǐng)期待講評(píng)現(xiàn)場(chǎng)（講評(píng)人的手稿會(huì)發(fā)送到群文件）.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

本題主要考察基本知識(shí)和基本方法的適當(dāng)擴(kuò)展.

13.現(xiàn)有一組數(shù)：22,17,69,34,29,66,58,40.這組數(shù)的上四分位數(shù)是▲.

【答案】62.

【解析】先排序，得到數(shù)據(jù)為17,22,29,34,40,58,66,69.再求上四分位數(shù)，也就是75%分

位數(shù)，由于8x75%=6,所以其為第6項(xiàng)和第7項(xiàng)的平均數(shù)，為62.

14.設(shè)正實(shí)數(shù)a滿足{a}J磯a是等比數(shù)列，其中悶表示不超過(guò)a的最大整數(shù)，{a}=a-同,

則a的值是▲.

［答案］絢二.

【解析】設(shè)［a］=x,{a}=y,那么x+y=a,所以/=以①+妨=政+/</十］，也

就是/-z—ivo,得到①=0（等比數(shù)列，舍去）或；r=L因此1=?（1+切，最終得到

V5+1

a=x+y=---.

15.小魚(yú)忘記了四位的iPad密碼，他嘗試了5次：6197,5073,0359,3925,2530,每次都有兩

個(gè)數(shù)字是正確的，可是位置都不對(duì).那么他iPad的密碼是▲.

Y數(shù)學(xué)試卷（參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)）第4頁(yè)（共8頁(yè)）

【答案】9702.

【解析】由于3和5在每個(gè)位置都出現(xiàn)過(guò)了，所以密碼一定不含3或5.接下來(lái)通過(guò)每一位

的一一驗(yàn)證可以得到密碼為9702.

16.設(shè)AB是。。的直徑，取圓上在AB不同側(cè)的P,Q兩點(diǎn)，連AP,AQ,BQ.設(shè)AP交BQ

于F,設(shè)NPAB=a/QAB=仇滿足tana+」=+J,這樣的點(diǎn)F的軌跡為

tanptan(a—p)

雙曲線，其離心率是4.

【答案】g

【解析】由正切聯(lián)想到斜率，由于F軌跡是AP.BQ交點(diǎn)，故推測(cè)kAP-kBQ為定值，下給出

證明與計(jì)算：設(shè)/.QBA=7，則)=5一。，且kAP=tana,=tan7,tan7=tan-6)=

春tan(a—f)=tan(a+)—§=%(二+力因?yàn)?一11。+康=gn(二一￡)'所

/、tana+tan7,,c口左、1/

以nrtana+tan7=—tan(a+7)=—-------------,a艮nk-K=tanatan7=2,易知芻

1—tanatan7APRO

7T

a->0時(shí)，7->2-此時(shí)F—B,同理FTA也存在，即4,5在雙曲線上，由%)對(duì)稱性

可知，A,B兩點(diǎn)對(duì)稱，再結(jié)合雙曲線第三定義可知：e2—l=Aup/BQ，所以e=g.即雙曲

線離心率為g

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)

已知一組獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)，每次試驗(yàn)成功的概率為P，失敗的概率為q=l-P，將試驗(yàn)進(jìn)

行到出現(xiàn)r次成功為止，以隨機(jī)變量X表示所需試驗(yàn)次數(shù)，X的概率分布為P{X=fc).

(1)若p=0.5,r=2,求P(X=4);

(2)如果不要求第r次成功時(shí)停止這組試驗(yàn)，記前卜次成功的次數(shù)為隨機(jī)變量丫，證明：

</丫=『)

<k.

、P(X=k)

本題主要考察對(duì)排列組合與概率的結(jié)合、二項(xiàng)分布概率公式的運(yùn)用.

【解析和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】

Q

(1)P(x=4)=C；x(0.5)1x(1-0.5)3-1x0.5=—.........................(3分)

(2)先求P(X=給,即前七一1次試驗(yàn)中有r-1次成功，且第k次試驗(yàn)成功.

所以P(X=k)=最二;,p=pTq-r.........................(5分)

然后求P(Y=r),易知y滿足上次，p為成功概率的二項(xiàng)分布...................(6分)

故P(y=r)=C初V-r=-------prqk-r........................................(7分)

r'.(k—r)\

--------nrak~r

P(y=r)r!(fc—r)!fc!(k—r)!(r—1)!k

P(X=k)=(fc-1)!不=r!(fc-r)!(A:-1)1-=7.........

(fc-r)!(r-1)!P9

Y數(shù)學(xué)試卷(參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn))第5頁(yè)(共8頁(yè))

又因?yàn)橥遰分別為試驗(yàn)次數(shù)和成功次數(shù)，所以且......................（9分）

所以即.......................................（1。分）

18.（12分）

設(shè)函數(shù)/（re）=x2—6x+2Inx.

（1）討論/（口的單調(diào)區(qū)間；

（2）若/（勺）+/（g）=5,證明：a：!+x2>7.

本題主要考察導(dǎo)數(shù)的求法和運(yùn)用、切線不等式、二次不等式和整體思想.

【解析和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】

2272-6T-4-2

（1）/⑶的定義域是（0,+8）,/'（H）=2z-6+-=-----:................（1分）

XX

令［3）=0解得在定義域內(nèi)，%=上=亙........................（2分）

當(dāng)0<Z<二^時(shí)，f⑺>0,f⑺單調(diào)遞增；當(dāng)<X<\守時(shí)，產(chǎn)（工）<0,

f⑸單調(diào)遞減；當(dāng)Z>q吏時(shí)，13）>o,f（x）單調(diào)遞增....................（3分）

因此/（x）的增區(qū)間為（o,號(hào)'），（彎2+°°），減區(qū)間為（三"，加衿）.分）

（2）根據(jù)題意，有21x12122+若+譴一6%—672=5.......................（5分）

11—t

設(shè)以力）=Int—1+1,定義域（0,+oo）,^（t）=--1=—j—....................（7分）

當(dāng)0（力<1時(shí)，（t）>0,以。單調(diào)遞增；當(dāng)1>1時(shí)，，⑴<0.3（t）單調(diào)遞減，因此9（%）

的最大值是M1）=0.所以Int《七一1對(duì)任意t>0恒成立......................（10分）

令￡=勺+g，有5=2Inxrx2+若+W—6%—6ar242ar1a;2—2+說(shuō)+若一6%—6x2=

Qi+%）2—6（叼+g）—2.................................................（11分）

因此產(chǎn)一6t—720,也就是（力+1）（力-7）》0,解得必+/227...............（12分）

19.（12分）

設(shè)數(shù)列｛%J滿足：a?是區(qū)間［0,1）內(nèi)小數(shù)部分不含偶數(shù)數(shù)字的n位小數(shù)的個(gè)數(shù).

（1）設(shè)數(shù)列｛&｝滿足bn=tan（log5（an））-tan（log5（an+1））,且數(shù)列｛Tn｝為數(shù)列｛bn｝前n

項(xiàng)之和組成的數(shù)列，求數(shù)列｛空.｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛S”｝滿足：S”是區(qū)間［0,1）內(nèi)小數(shù)部分所有不含偶數(shù)數(shù)字的n位小數(shù)的和，證

明：—<1-

an9

為了防止歧義，特別說(shuō)明：本題中n位小數(shù)指的是［0,1）內(nèi)有幾位有效數(shù)字的小數(shù).

本題主要考察計(jì)數(shù)原理、數(shù)列和數(shù)列求和尤其是等比數(shù)列求和的基本方法、數(shù)列不等式的

基本證明.

【解析和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】

（1）由于冗位小數(shù)的每一位都有5種選法，所以%=5八（2分）

所以鼠=tan（n）tan（n+1）=嗡*雪"）一】?……（4分）

Y數(shù)學(xué)試卷（參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)）第6頁(yè)（共8頁(yè)）

所以二電

4%+++=（6分）

tan1

(2)由于5n是區(qū)間［0,1)內(nèi)所有小數(shù)部分不含偶數(shù)數(shù)字的n位小數(shù)的和，注意到在小數(shù)的

第，位上出現(xiàn)1,3,5,7,9的數(shù)各有571T個(gè)...........................................................................（8分）

所以邑=（1+3+5+7+9）x51x（*.?.++）=5"+】................（10分）

\JLUJLU/i//X±V

nn

Sn5x（10-1）,5x105

屋-—9x10”-<9x10"-9.............................................................................（12分）

20.（12分）

7T11

設(shè)四面體ABCD滿足ABAC=cosACAD=cosADAB=AB=2,AC=

JJ4

3,AD=2.

（1）設(shè)G是△BCD的重心，求\AG\-,

（2）求四面體ABCD在底面BCD上的高h(yuǎn)A_BCD.

本題主要考察重心的定義、空間向量的基本運(yùn)算、點(diǎn)到平面的距離公式和解決立體幾何問(wèn)

題的基底法.

【解析和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】

211

（1）取CD中點(diǎn)M.注意到AG=AB+BG=AB+-BM=AB+-BC+BD=

33r3

AB++^AD-IAB=+]-AC+]-AD...........................................................（1分）

JJJJJJ

2222

因此|70|2=+'AC+AD）=|（|AB|+|AC|+\AD\+2\AB\\AC\cosZBAC+

i29

2\AC\\AD\cosACAD+2\AD\\AB\cosAB）=-x（4+9+4+6+4+2）=§????（3分）

所以|AG|=|而|=孥.........................................................................................................（4分）

o

（2）設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量是n=小同+g冠+zLW.那么有0=n?或=%（而一

AB）=（xAB+yAC+zAD）?（AC-AB）...........................................................................（6分）

所以有0=3a:+9y+2z—4ar-3y—z=—a:+6y+z,同理有2a:+7y—2z=0,令z=l,得

x—l,y—0..............................................................................................................................（8分）

因此n=AB+AD,由于|n|=y/\AB\2+\AD\2+2\AB\\AD\cosABAD=x/10....（10分）

而且AB?■n=4+l=5.........................................................................................................⑴分）

,,甌旬5VW

scr（分）

所以hA_BCD==-^==—.............................................................................12

21.(12分)

設(shè)△ABC中，A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.且有3=2c.

(1)若a=2,證明b-c<1;

(2)若&2>c2+4c,比較a+2c和的大小關(guān)系，說(shuō)明理由.

本題主要考察解三角形的基本定理和基本方法和不等式的證明.

【解析和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】

(1)因?yàn)閟in?B—sirF。=g(cos2C—cos2B).............................................................(1分)

Y數(shù)學(xué)試卷(參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn))第7頁(yè)(共8頁(yè))

又因?yàn)閏os2C_cos2B=2sin(5+C)cos(5-C),且B+C=開(kāi)一4,5=2C,所以sii?B-

sin2C=sinA?sinC..............................................................(2分)

又由于正弦定理，皿4=￥=圾￡,所以廣一。2=加......................(4分)

abc

所以戶—C2=2C,(C+1)2=62+1>62,所以b—c<l..........................(6分)

(2)由于J/2=+QC>°2+4c,所以a>4..................................(7分)

@2/Q\2

又因?yàn)樯?了=(c+5)>62+4...............................................(9分)

又因?yàn)?+4》4b,所以jc+])2>4b..........................................(11分)

所以a+2c>4班.........................................................(12分)

22.（12分）

在平面直角坐標(biāo)系力。沙中，4（—1,0）.P在J軸上運(yùn)動(dòng)，以P為圓心，P。為半徑的圓與

直線AP交于設(shè)的軌跡為r.

M,,M2

（1）求T的方程；

（2）考慮拋物線。：/=一4,—4上任意一點(diǎn)B,B不在立軸上，過(guò)B作。的切線（.與

r交點(diǎn)的集合為證明：一定存在點(diǎn)xe