6.2平面向量的運算（十二大題型）（講義）

6．2平面向量的運算【題型歸納目錄】【思維導圖】【知識點梳理】知識點一：向量加法的三角形法則與平行四邊形法則1、向量加法的概念及三角形法則已知向量，在平面內(nèi)任取一點A，作，再作向量，則向量叫做與的和，記作，即．如圖本定義給出的向量加法的幾何作圖方法叫做向量加法的三角形法則．2、向量加法的平行四邊形法則已知兩個不共線向量，作，則三點不共線，以為鄰邊作平行四邊形，則對角線．這個法則叫做兩個向量求和的平行四邊形法則．求兩個向量和的運算，叫做向量的加法．對于零向量與任一向量，我們規(guī)定．知識點詮釋：兩個向量的和是一個向量，可用平行四邊形或三角形法則進行運算，但要注意向量的起點與終點．知識點二：向量求和的多邊形法則及加法運算律1、向量求和的多邊形法則的概念已知個向量，依次把這個向量首尾相連，以第一個向量的起點為起點，第個向量的終點為終點的向量叫做這個向量的和向量．這個法則叫做向量求和的多邊形法則．特別地，當與重合，即一個圖形為封閉圖形時，有2、向量加法的運算律（1）交換律：；（2）結(jié)合律：知識點三：向量的三角形不等式由向量的三角形法則，可以得到（1）當不共線時，；（2）當同向且共線時，同向，則；（3）當反向且共線時，若，則同向，；若，則同向，．知識點四：向量的減法1、向量的減法（1）如果，則向量叫做與的差，記作，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法．此定義是向量加法的逆運算給出的．相反向量：與向量方向相反且等長的向量叫做的相反向量．（2）向量加上的相反向量，叫做與的差，即．求兩個向量差的運算，叫做向量的減法，此定義是利用相反向量給出的，其實質(zhì)就是把向量減法化為向量加法．知識點詮釋：（1）兩種方法給出的定義其實質(zhì)是一樣的．（2）對于相反向量有；若，互為相反向量，則．（3）兩個向量的差仍是一個向量．2、向量減法的作圖方法（1）已知向量，，作，則=，即向量等于終點向量（）減去起點向量（）．利用此方法作圖時，把兩個向量的始點放在一起，則這兩個向量的差是以減向量的終點為始點的，被減向量的終點為終點的向量．（2）利用相反向量作圖，通過向量加法的平行四邊形法則作出．作，則，如圖．由圖可知，一個向量減去另一個向量等于加上這個向量的相反向量．知識點五：數(shù)乘向量1、向量數(shù)乘的定義實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作：（1）；（2）①當時，的方向與的方向相同；②當時．的方向與的方向相反；③當時，．2、向量數(shù)乘的幾何意義由實數(shù)與向量積的定義知，實數(shù)與向量的積的幾何意義是：可以由同向或反向伸縮得到．當時，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上伸長為原來的倍得到；當時，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上縮短為原來的倍得到；當時，=；當時，=，與互為相反向量；當時，=．實數(shù)與向量的積得幾何意義也是求作向量的作法．3、向量數(shù)乘的運算律設(shè)為實數(shù)結(jié)合律：；分配律：，知識點六：向量共線的條件1、向量共線的條件（1）當向量時，與任一向量共線．（2）當向量時，對于向量．如果有一個實數(shù)，使，那么由實數(shù)與向量的積的定義知與共線．反之，已知向量與（）共線且向量的長度是向量的長度的倍，即，那么當與同向時，；當與反向時，．2、向量共線的判定定理是一個非零向量，若存在一個實數(shù)，使，則向量與非零向量共線．3、向量共線的性質(zhì)定理若向量與非零向量共線，則存在一個實數(shù)，使．知識點詮釋：（1）兩個向量定理中向量均為非零向量，即兩定理均不包括與共線的情況；（2）是必要條件，否則，時，雖然與共線但不存在使；（3）有且只有一個實數(shù)，使．（4）是判定兩個向量共線的重要依據(jù)，其本質(zhì)是位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的高度統(tǒng)一．知識點七：平面向量的數(shù)量積1、平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量叫與的數(shù)量積，記作，即有．并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0．2、如圖（1），設(shè)是兩個非零向量，，，作如下變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．如圖（2），在平面內(nèi)任取一點O，作．過點作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量．知識點詮釋：1、兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由的符號所決定．（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成；今后要學到兩個向量的外積，而是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分．符號“·”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替．（3）在實數(shù)中，若，且，則；但是在數(shù)量積中，若，且，不能推出．因為其中有可能為0．2、投影也是一個數(shù)量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0；當=0時投影為；當=180時投影為．3、投影向量是一個向量，當對于任意的，都有．知識點八：平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積表示的長度與在方向上的投影的乘積，這是的幾何意義．圖所示分別是兩向量夾角為銳角、鈍角、直角時向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意義是，向量在向量方向上的投影是向量的數(shù)量，即．事實上，當為銳角時，由于，所以；當為鈍角時，由于，所以；當時，由于，所以，此時與重合；當時，由于，所以；當時，由于，所以．知識點九：向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)與為兩個非零向量，是與同向的單位向量．1、2、3、當與同向時，；當與反向時，．特別的或4、5、知識點十：向量數(shù)量積的運算律1、交換律：2、數(shù)乘結(jié)合律：3、分配律：知識點詮釋：1、已知實數(shù)、、（），則．但是；2、在實數(shù)中，有，但是顯然，這是因為左端是與共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線．【典型例題】題型一：向量加法法則【例1】（2024·高一課前預習）如圖，已知，求作.(1)；(2)【解析】（1）在平面內(nèi)任取一點，如圖所示作則.（2）在平面內(nèi)任取一點，如圖所示作則.【變式11】（2024·高一課時練習）如圖，已知向量(1)求作(2)設(shè)，為單位向量，試探索的最大值．【解析】（1）（1）在平面內(nèi)任取一點O，作，，，，則（2）由向量三角不等式知，當且僅當同向時等號成立故的最大值為3【變式12】（2024·高一課時練習）如圖所示，求：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.【變式13】（2024·山東濟寧·高一嘉祥縣第一中學?？茧A段練習）如圖，按下列要求作答．(1)以A為始點，作出；(2)以B為始點，作出；(3)若圖表中小正方形邊長為1，求、．【解析】（1）將的起點同時平移到A點，利用平行四邊形法則作出，如下圖所示：（2）先將共線向量的起點同時平移到B點,計算出,再平移向量與之首尾相接，利用三角形法則即可作出，如下圖所示：（3）由是單位向量可知，根據(jù)作出的向量利用勾股定理可知，；

由共線向量的加法運算可知.【方法技巧與總結(jié)】向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別聯(lián)系三角形法則（1）首尾相接（2）適用于任何向量求和三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半平行四邊形法則（1）共起點（2）僅適用于不共線的兩個向量求和題型二：向量加法運算律的應用【例2】（2024·高一課時練習）已知下列各式：①；②；③；④.其中結(jié)果為的是.(填序號)【答案】①④/④①【解析】①;②;③;④.故答案為：①④.【變式21】（2024·高一課時練習）如圖，在平行四邊形中，O是和的交點.（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】【解析】（1）由平行四邊形法則，；（2）由向量加法的三角形法則，；（3）由向量加法法則得，；（4）由向量加法法則得，．故答案為：；；；．【變式22】（2024·高一課時練習）.【答案】【解析】原式.故答案為：.【變式23】（2024·高一課時練習）化簡：.【答案】【解析】解:故答案為：【方法技巧與總結(jié)】向量加法運算律的意義和應用原則（1）意義：向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實現(xiàn)恰當利用向量加法法則運算的目的．實際上，由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，故多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行．（2）應用原則：通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序．題型三：向量加法的實際應用【例3】（2024·陜西榆林·高一統(tǒng)考期末）若向量表示“向東航行”，向量表示“向北航行”，則向量表示（

）A．向東北方向航行B．向北偏東方向航行C．向正北方向航行D．向正東方向航行【答案】B【解析】如圖，易知，所以．故的方向是北偏東．又.故選：B．【變式31】（2024·山西陽泉·高一統(tǒng)考期末）菱形中，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為菱形中，，若，所以為等邊三角形，且，因為，所以.故選：B.【變式32】（2024·云南·高一統(tǒng)考期末）如圖，一個人騎自行車由A地出發(fā)到達B地，然后由B地出發(fā)到達C地，則這個人由A地到C地位移的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意,故這個人由A地到C地位移的結(jié)果為，故選：C【變式33】（2024·河南·高一洛陽市第三中學校聯(lián)考階段練習）如圖，在正六邊形中，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接，，交于點，由正六邊形的性質(zhì)可知，六個小三角形均為全等的正三角形，所以且，，故選：C【方法技巧與總結(jié)】應用向量解決實際問題的基本步驟（1）表示：用向量表示有關(guān)量，將所要解答的問題轉(zhuǎn)化為向量問題．（2）運算：應用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，將有關(guān)向量進行運算，解答向量問題．（3）還原：根據(jù)向量的運算結(jié)果，結(jié)合向量共線、相等等概念回答原問題．題型四：向量的減法運算【例4】（2024·全國·高一專題練習）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長等于1，，，，試作出下列向量并分別求出其長度.(1)；(2)【解析】（1），又，∴延長AC到E，使|,則,且，所以（2）作，連接CF，則，而，所以，且，所以.【變式41】（2024·高一課前預習）已知?，用向量減法作出+.(1)(2)【解析】（1）依題意作上圖，其中；（2）依題意作上圖，其中；【變式42】（2024·高一課時練習）如圖，已知向量，，，求作向量．【解析】由向量減法的三角形法則，令,則,令,所以.如下圖中即為.【變式43】（2024·高一課時練習）如圖，已知向量，，求作向量．【解析】(1)如圖，將向量的起點平移到向量的起點，以向量的終點為起點，向量的終點為終點的向量即為向量；(2)如圖，將向量的起點平移到向量的起點，以向量的終點為起點，向量的終點為終點的向量即為向量；【方法技巧與總結(jié)】求作兩個向量的差向量的兩種思路（1）可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進行，如，可以先作，然后作即可．（2）可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點重合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的向量．題型五：向量減法法則的應用【例5】（2024·高一課時練習）化簡（1）（2）；（3）＋．【解析】（1）方法一(統(tǒng)一成加法)：方法二(利用)：（2）．（3）【變式51】（2024·高一課時練習）化簡下列各式：（1）；（2）.【解析】（1）；（2）.【變式52】（2024·全國·高一假期作業(yè)）化簡(1)；(2)．【解析】（1）.（2）.【變式53】（2024·全國·高一假期作業(yè)）化簡(1)；(2)．【解析】（1）（2）【方法技巧與總結(jié)】（1）向量減法運算的常用方法（2）向量加減法化簡的兩種形式①首尾相連且為和．②起點相同且為差．解題時要注意觀察是否有這兩種形式，同時注意逆向應用．題型六：向量的線性運算【例6】（2024·全國·高一隨堂練習）求下列未知向.(1)；(2)；(3).【解析】（1）由得，所以.（2）由得，所以.（3）由得，所以.【變式61】（2024·全國·高一隨堂練習）求下列未知向量．(1)；(2)．【解析】（1）因為，所以，.（2）因為，所以，.【變式62】（2024·全國·高一課堂例題）計算：(1)；(2)．【解析】（1）原式．（2）原式.【變式63】（2024·全國·高一隨堂練習）化簡：(1)；(2).【解析】（1）.（2）.【方法技巧與總結(jié)】向量線性運算的基本方法（1）類比法：向量的數(shù)乘運算類似于代數(shù)多項式的運算，例如，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項”、“公因式”是指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù)．（2）方程法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數(shù)，利用解方程的方法求解，同時在運算過程中多注意觀察，恰當?shù)倪\用運算律，簡化運算．題型七：用已知向量表示其他向量【例7】（2024·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）在中，為邊上的中線，點為的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵為邊上的中線，∴，又∵點為的中點，∴．故選：B．【變式71】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示的中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】.故選：B【變式72】（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知四邊形為平行四邊形，與相交于，設(shè)，則等于（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】,故選：B.【變式73】（2024·遼寧錦州·高一校聯(lián)考期末）如圖，在等腰梯形中，，，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在等腰梯形中，，由，得，所以，所以，所以為直角三角形，所以，則.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】用已知向量表示其他向量的兩種方法（1）直接法（2）方程法當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．題型八：向量共線的判定及應用【例8】（2024·福建泉州·高一福建省永春第一中學校考階段練習）已知是不共線的向量，且，則（

）A．A、B、D三點共線 B．A、B、C三點共線C．B、C、D三點共線 D．A、C、D三點共線【答案】D【解析】因為，所以，若A、B、D三點共線，則，而無解，故A錯誤；因為，所以，若A、B、C三點共線，則，而無解，故B錯誤；因為，所以，若B、C、D三點共線，則，而無解，故C錯誤；因為，所以，即，所以A、C、D三點共線，故D正確.故選：D【變式81】（2024·高一課時練習）已知（不共線），則下列說法中正確的是（

）A．三點共線 B．三點共線C．三點共線 D．三點共線【答案】D【解析】對于A項，若三點共線，則有，即，所以，顯然不存在滿足要求，故A錯誤；對于B項，若三點共線，則有，即，所以，顯然不存在滿足要求，故B錯誤；對于C項，若三點共線，則有，即，所以，顯然不存在滿足要求，故C錯誤；對于D項，，所以和共線，又和有公共點，即三點共線，故D正確；故選：D．【變式82】（2024·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）已知，是平面內(nèi)的一組基底，，，，若A，B，C三點共線，則實數(shù)k的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】因為，，，所以，，又因為A，B，C三點共線，所以，即，所以，解得，故選：A【變式83】（2024·全國·高一隨堂練習）判斷三點是否共線.(1)已知兩個非零向量和不共線，，，.求證：A，B，D三點共線.(2)已知任意兩個非零向量，，求作，，.試判斷A，B，C三點之間的位置關(guān)系，并說明理由.【解析】（1），所以，又因為有公共起點，故A，B，D三點共線.（2），所以，又因為有公共起點，故A，B，C三點共線.【方法技巧與總結(jié)】（1）證明或判斷三點共線的方法一般來說，要判定A，B，C三點是否共線，只需看是否存在實數(shù)，使得（或等）即可．（2）利用向量共線求參數(shù)的方法已知向量共線求，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應向量系數(shù)相等求解．題型九：三點共線的常用結(jié)論【例9】（2024·遼寧大連·高一大連二十四中校考期末）如圖所示，已知點是的重心，過點作直線分別與邊、交于、兩點（點、與點、不重合），設(shè)，．(1)求的值；(2)求的最小值，并求此時，的值．【解析】（1）如圖所示，因為G為重心，所以，所以，因為M，G，N三點共線，所以，即．（2）由題意可知，且，所以當且僅當，即時取等號，又∵，∴，時，取得最小值為．【變式91】（2024·全國·高一課堂例題）如圖，中，AB邊的中點為P，重心為G．在外任取一點O，作向量，，，，．(1)試用，表示．(2)試用，，表示．【解析】（1）．（2）．【變式92】（2024·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期末）如圖，已知，若，則，.【答案】【解析】如圖，,故答案為:,.【方法技巧與總結(jié)】應用判斷三點共線的一個常用結(jié)論：若A，B，C三點共線，為直線外一點存在實數(shù)x，y，使，且．題型十：求兩向量的數(shù)量積【例10】（2024·四川眉山·高一?？计谀┤鐖D，在邊長為4的正三角形中，為的中點，為中點，，令，.(1)試用表示向量；(2)求的值.(3)延長線段交于，設(shè)，求實數(shù)的值.【解析】（1）.（2）因為，所以.（3）設(shè)，，由于與共線，則，即，即，解得，即.【變式101】（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知向量與的夾角為，且，求：(1)；(2)．【解析】（1）由已知得（2）．【變式102】（2024·廣東東莞·高一?？茧A段練習）在△中，已知，，在線段上，且，設(shè)，．(1)用向量，表示；(2)若，求和．【解析】（1）由題得；（2）由（1）得：，故，.【變式103】（2024·河南省直轄縣級單位·高一?？茧A段練習）在邊長為2的等邊中，的值是（

）A．4 B． C．2 D．【答案】D【解析】∵，向量與的夾角為120°，∴.故選：D【方法技巧與總結(jié)】求平面向量數(shù)量積的方法計算數(shù)量積的關(guān)鍵是正確確定兩個向量的夾角，條件是兩向量的始點必須重合，否則，要通過平移使兩向量符合以上條件．題型十一：向量的模和夾角的計算問題【例11】（2024·河南鶴壁·高一統(tǒng)考期末）已知，，.(1)求；(2)求向量與的夾角的余弦值.【解析】（1）已知，，，，；（2）設(shè)向量與的夾角的夾角為，則，向量與的夾角的余弦值為.【變式111】（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，已知，，，、邊上的兩條中線、相交于點.(1)求、的長；(2)求的余弦值.【解析】（1）因為的中點，則，所以，，所以，，所以，，因為為的中點，所以，