7.2.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（2知識點(diǎn)5題型強(qiáng)化訓(xùn)練）（原卷版）

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）理解并掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用；（2）會利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡、求值與恒等式證明。（1）通過推導(dǎo)三角函數(shù)的基本關(guān)系，培養(yǎng)邏輯推理等核心素養(yǎng)；（2）通過同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。知識點(diǎn)01同角三角函數(shù)基本關(guān)系式1、平方關(guān)系（1）公式：（2）文字表述：同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于12、商數(shù)關(guān)系（1）公式：（2）文字描述：同一個(gè)角α的正弦、余弦的商等于角α的正切3、對公式的理解（1）“同角”有兩層含義：一是“角相同”；二是對“任意”一個(gè)角(在使函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立，即與角的表達(dá)形式無關(guān)，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．（2）sin2α是(sinα)2的簡寫，讀作“sinα的平方”，不能將sin2α寫成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，兩者是不同的，要弄清它們的區(qū)別，并能正確書寫．（3）注意同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式都是對于使它們有意義的角而言的，sin2α＋cos2α＝1對一切α∈R恒成立，而tanα＝eq\f(sinα,cosα)僅對α≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)成立．【即學(xué)即練1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）解下列各題：（1）已知，且為第一象限角，求和的值．（2）已知，且為第三象限角，求和的值．（3）已知，且為第二象限角，求和的值．知識點(diǎn)02對同角公式的變形1、公式的基礎(chǔ)變形（1）的變形公式有：；（2）的變形公式有：；2、與之間的的轉(zhuǎn)化（1）；（2）；（3）；（4）【即學(xué)即練2】（2023·全國·高一期末）設(shè)，則（）A．B．C．D．【題型一：sina、cosa、tana知一求二】例1．（2023·河南·高一鎮(zhèn)平縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，且為第二象限角，則（）A．B．C．D．變式11．（2023·福建福州·高一校考階段練習(xí)）已知A是三角形內(nèi)角，且，則．變式12．（2023·貴州貴陽·高一貴陽一中?？茧A段練習(xí)）（1）若，求和的值；（2）若，求的值.變式13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列四個(gè)命題中，可能成立的是（）A．，且；B．，且；C．，且；D．，且．【方法技巧與總結(jié)】已知三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值的方法（1）若已知，可以先應(yīng)用公式，求得，再由公式，求得的值；（2）若已知，可以先應(yīng)用公式，求得，再由公式，求得的值；（3）若已知，可以先應(yīng)用公式及，求得，。【題型二：正、余弦齊次式的應(yīng)用】例2．（2023·福建泉州·高一泉州市泉港區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則等于（）A．B．2C．0D．變式21．（2023·山東煙臺·高一?？计谀┮阎?）求的值；（2）的值．變式22．（2023·湖南邵陽·高一邵陽市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)為角終邊上一點(diǎn).（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.變式23．（2023·湖南株洲·高一校考階段練習(xí)）已知，（1）求的值；（2）求的值．【方法技巧與總結(jié)】化切求值的方法技巧：（1）對分式齊次式，因?yàn)椋话憧稍诜肿雍头帜钢型瑫r(shí)除以，使所求代數(shù)式化為關(guān)于的代數(shù)式，從而得解；（2）對整式（一般是指關(guān)于）齊次式，把分母看為“1”，用替換“1”，從而把問題轉(zhuǎn)化為分式齊次式，在分子和分母中同時(shí)除以，即可得到關(guān)于的代數(shù)式，從而得解。【題型三：sina±cosa、sina·cosa關(guān)系應(yīng)用】例3．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）已知，求的值．變式31．（2023·湖南邵陽·高一邵陽市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，則的值為.變式32．（2023·湖北咸寧·高一校考階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程的兩個(gè)根分別為和，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求方程的兩根及的值．變式33．（2023·天津·高一?？茧A段練習(xí)）已知，其中是的一個(gè)內(nèi)角．（1）求的值，并判斷是銳角三角形還是鈍角三角形；（2）求的值．【方法技巧與總結(jié)】，，三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)，可求其他兩個(gè)，即“知一求二”，它們之間的關(guān)系是：。求解過程中需注意三角函數(shù)值的符號?！绢}型四：三角函數(shù)化簡求值問題】例4．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）化簡．（1）;（2）變式41．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）化簡與求值（1）；（2）．變式42．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）求下列各式的值：（1）；（2）．變式43．（2023·全國·高一課堂例題）化簡：（1）；（2）．【方法技巧與總結(jié)】三角函數(shù)式的化簡技巧：①化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化繁為簡的目的．②對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完全平方式，然后去根號達(dá)到化簡的目的．③對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造＋＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡的目的．【題型五：三角恒等式的證明問題】例5．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）求證：（1）；（2）；（3）；（4）．變式51．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）求證：（1）；（2）；（3）．變式52．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）求證：（1）＝；（2）變式53．（2023·上海·高一進(jìn)才中學(xué)?？奸_學(xué)考試）證明：．【方法技巧與總結(jié)】證明三角恒等式的過程，實(shí)質(zhì)上是化異為同的過程，證明恒等式常用以下方法：①證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡．②證明左、右兩邊等于同一個(gè)式子(左、右歸一)．③比較法：即證左邊－右邊＝0或eq\f(左邊,右邊)＝1(右邊≠0)．④證明與已知等式等價(jià)的另一個(gè)式子成立，從而推出原式成立．一、單選題1．（2023·江蘇鹽城·高一伍佑中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，且，則（）A．B．C．D．2．（2023·四川遂寧·高一射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）若，，則的值為（）A．B．C．D．3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知若為第二象限角，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．或D．4．（2023·山東濟(jì)寧·高一?？茧A段練習(xí)）已知，則（）A．3B．C．D．5．（2023·四川成都·高一校考期末）若，且是方程的兩實(shí)根，則的值是（）A．B．C．D．6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是三角形的一個(gè)內(nèi)角，用，那么這個(gè)三角形的形狀為（）A．銳角三角形B．鈍角三角形C．等邊三角形D．等腰三角形7．（2023·重慶銅梁·高一校聯(lián)考期末）計(jì)算的值為（）A．1B．1C．D．8．（2023·陜西西安·高一交大附中?？茧A段練習(xí)）若，則的化簡結(jié)果是（）A．B．C．D．二、多選題9．（2023·云南昆明·高一云南師大附中校考階段練習(xí)）已知，且，則（）A．B．C．D．為第四象限角10．（2023·江蘇·高一期末）已知，，則下列等式正確的是（）A．B．C．D．11．（2023·江西上饒·高一?？计谀┮阎?，，則（）A．B．C．D．12．（2023·江蘇鹽城·高一?？茧A段練習(xí)）下列計(jì)算或化簡，結(jié)果正確的是（）A．B．C．若，則D．若，則三、填空題13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，且為第二象限角，則.14．（2023·廣東梅州·高一大埔縣虎山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則.15．（2023·湖南株洲·高一?？茧A段練習(xí)）已知，則．16．（2023·廣東深圳·高一深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，則．四、解答題17．（2023·寧夏吳忠·高一青銅峽市高級中學(xué)校考階段練習(xí)）（1）已知，且為第二象限角，求的值；（2）已知，求的值.18．（2023·陜西西安·高一校考階段練習(xí)）已知角的終邊上