河南省開封市5縣聯(lián)考2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題

20222023學(xué)年高一下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試卷一?單選題（本大題共8小題，共40分）1.設(shè)的實(shí)部與虛部相等，其中為實(shí)數(shù)，則A.?3 B.?2 C.2 D.3【答案】A【解析】【詳解】試題分析：，由已知，得，解得，選A.【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)題也是每年高考的必考內(nèi)容,一般以客觀題的形式出現(xiàn),屬得分題.高考中考查頻率較高的內(nèi)容有：復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算.這類問題一般難度不大,但容易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤,特別是中的負(fù)號(hào)易忽略,所以做復(fù)數(shù)題時(shí)要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.2.下列結(jié)論正確的是（）A.底面是正三角形的三棱錐是正三棱錐B.所有幾何體的表面都能展開成平面圖形C.棱錐側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則該棱錐可能是正六棱錐D.一個(gè)直角三角形繞其一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)形成的封閉曲面所圍成的圖形叫做圓錐【答案】D【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)ABC舉出反例或者找出矛盾即可判斷是錯(cuò)誤的，由圓錐定義即可得D正確.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)可知，底面是正三角形，且頂點(diǎn)投影必須在底面正三角形的中心，只是底面是正三角形的三棱錐不一定是正三棱錐，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，球體的表面不能展開成平面圖形，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由正六邊形性質(zhì)可知，其中心到頂點(diǎn)的距離與邊長(zhǎng)相等，因此由勾股定理可知正六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)必然大于其底面邊長(zhǎng)，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)圓錐定義即可判斷D正確.故選：D3.某學(xué)校共有980名學(xué)生，其中高一的學(xué)生有400名，高二的學(xué)生有300名，其余都是高三的學(xué)生，為了解該校學(xué)生的體育鍛煉時(shí)間，按照高一?高二?高三三個(gè)級(jí)段進(jìn)行分層抽樣，如果樣本容量為196，那么應(yīng)在高三的學(xué)生中抽?。ǎ〢.48名 B.52名 C.56名 D.60名【答案】C【解析】【分析】由分層抽樣的抽樣比即可求解.【詳解】由題意可知高三學(xué)生有名，所以由分層抽樣的抽樣比可知應(yīng)在高三學(xué)生中抽取名，故選：C4.《九章算術(shù)》是我國數(shù)學(xué)史上堪與歐幾里得《幾何原本》相媲美的數(shù)學(xué)名著．其第五卷《商功》中有如下問題：“今有圓堡，周四丈八尺，高一丈一尺，問積幾何？”這里所說的圓堡就是圓柱體，其底面周長(zhǎng)是4丈8尺，高1丈1尺，問它的體積是多少?若取3，估算該圓堡的體積為（1丈=10尺）A.1998立方尺 B.2012立方尺C.2112立方尺 D.2324立方尺【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由底面半徑為，則，又，所以，所以該圓堡的體積為立方尺，故選A．考點(diǎn)：1．?dāng)?shù)學(xué)文化；2．旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積．5.m，n為空間中兩條不重合直線，為空間中一平面，則下列說法正確是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間中的線線平行、線面平行、線面垂直的定義以及性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】A．因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，不滿足，故錯(cuò)誤；B．根據(jù)“垂直于同一平面的不同直線互相平行”可知B正確；C．因?yàn)椋?，所以可能是異面直線，故錯(cuò)誤；D．因?yàn)?，，所以時(shí)也滿足，故錯(cuò)誤，故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是通過分析已知的平行垂直關(guān)系，找尋不符合條件描述的反例，由此排除選項(xiàng).6.如圖，在正方體中，M為中點(diǎn)，過且與平行的平面交平面于直線l，則直線l與AB所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依題意建立空間直角坐標(biāo)系，由正方體的性質(zhì)可得平面，延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，連接，則即為直線，再利用空間向量法求出異面直線所成角的余弦值；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，在正方體中，，平面，平面，所以平面，延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，連接，則即為直線，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，，所以，，設(shè)與所成角為，則故選：D7.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.設(shè)為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)向量的基本運(yùn)算得到，再結(jié)合“奔馳定理”即可求解結(jié)論．【詳解】解：為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，，．，故選：D．8.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則的最大值是（）A. B.C. D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題中的邊角關(guān)系式化簡(jiǎn)等式，將轉(zhuǎn)化為某一角的某一三角函數(shù)的形式，再運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)求解其最大值.

【詳解】根據(jù)題意，，

所以，

由正弦定理可得：，即，

所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以．則的最大值是.選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)ABD錯(cuò)誤故選：C.

二?多選題（本大題共4小題，共20分）9.下列情況不適合抽樣調(diào)查的有（）A.調(diào)查一個(gè)縣各村的糧食播種面積B.了解一批炮彈的殺傷直徑C.了解高一（1）班40名學(xué)生在校一周內(nèi)的消費(fèi)D.調(diào)查一批魚苗的生長(zhǎng)情況【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)抽樣調(diào)查、全面調(diào)查的定義判斷即可.【詳解】對(duì)于A：調(diào)查一個(gè)縣各村的糧食播種面積采用全面調(diào)查，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：了解一批炮彈的殺傷直徑采用抽樣調(diào)查，故B正確；對(duì)于C：了解高一（1）班40名學(xué)生在校一周內(nèi)的消費(fèi)采用全面調(diào)查，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：調(diào)查一批魚苗的生長(zhǎng)情況采用抽樣調(diào)查，故D正確；故選：AC10.要考查某種品牌的850顆種子的發(fā)芽率，從中抽取50顆種子進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取種子，先將850顆種子按001，002，…，850進(jìn)行編號(hào)，如果從隨機(jī)數(shù)表第2行第2列的數(shù)開始并向右讀，下列選項(xiàng)中屬于最先檢驗(yàn)的4顆種子中一個(gè)的是________.(下面抽取了隨機(jī)數(shù)表第1行至第3行)（）034743738636964736614698637162332616804560111410959774946774428114572042533237322707360751245179897316766227665650267107329079785313553858598897541410A.774 B.946 C.428 D.572【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)題意結(jié)合隨機(jī)數(shù)表法直接讀數(shù)并滿足號(hào)碼不大于850即可.【詳解】依據(jù)題意可知：向右讀數(shù)依次為：774，946，774，428，114，572，042，533，…所以最先檢驗(yàn)的4顆種子符合條件的為：774，428，114，572故選：ACD【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中的隨機(jī)數(shù)表法，掌握讀數(shù)的方法，屬基礎(chǔ)題.11.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，則下列各組條件中使得有唯一解的是（）A.B.C.D.，，【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)所給條件，結(jié)合正弦定理、余弦定理，求得其余的邊長(zhǎng)或角，判斷三角形是否唯一即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，結(jié)合，唯一確定；對(duì)于B，由正弦定理得，.因?yàn)?，所以，所以此時(shí)B只有一個(gè)解，唯一確定；對(duì)于C，由正弦定理得，.因?yàn)?，所以，且，所以此時(shí)B在中有兩個(gè)解，不唯一；對(duì)于D，由余弦定理知，，代入得，解得或（舍），唯一確定；故選：ABD12.已知正四棱臺(tái)的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，，為內(nèi)部（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.∥平面B.球的表面積為C.的最小值為D.若與平面所成角的正弦值為，則點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，由條件先證線線平行，進(jìn)而證得線面平行；對(duì)于B，先假設(shè)球心的位置，利用勾股定理與半徑相等建立方程組進(jìn)而確定的位置，可求得球的表面積；對(duì)于C，先判斷落在上，再進(jìn)一步判斷與重合時(shí)，取得最小值；對(duì)于D，利用面面垂直的性質(zhì)作出面，故為與平面所成角，再利用得出長(zhǎng)，繼而判斷點(diǎn)軌跡為圓弧.【詳解】對(duì)于A，如圖1，設(shè)底面對(duì)角線交于點(diǎn)由棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征易知與的延長(zhǎng)線必交于一點(diǎn)，故共面，又面面，而面面，面面，故，即；由平面幾何易得，即；所以四邊形是平行四邊形，故，而面，面，所以平面，故A正確；.對(duì)于B，如圖2，設(shè)為的中點(diǎn)，為正四棱臺(tái)外接球的球心，則，等腰梯形中，易得，即，為方便計(jì)算，不妨設(shè)，則由，即，即，又，解得，即與重合，故，故球的表面積為，故B正確；.對(duì)于C，由圖2易得，，，面，故面，不妨設(shè)落在圖3處，過作，則面，故，故中，（直角邊小于斜邊）；同理，，所以，故動(dòng)點(diǎn)只有落在上，才有可能取得最小值；再看圖4，由可知，故，故C錯(cuò)誤；.對(duì)于D，由選項(xiàng)C可知，面，面，故面面，在面內(nèi)過作交于，如圖5，則面，面面，故面，故為與平面所成角，在中，，，，故為正三角形，即，故，在中，，即E點(diǎn)在以F為圓心，為半徑的圓與所交的圓弧，而,故圓弧所對(duì)圓心角為（如圖6所示平面圖），所以軌跡長(zhǎng)為，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于確定的位置，先假設(shè)在外（記為），由勾股邊小于斜邊推得，進(jìn)而得到只有落在上，再利用為定值及基本不等式，推得與重合時(shí)，取得最小值；對(duì)于動(dòng)點(diǎn)，我們一般要考慮特殊位置，可提高我們做題速度.二?填空題（木大題共4小題，共20分.其中第16題第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分）13.已知總體劃分為3層，通過分層抽樣，得到各層的平均數(shù)分別為45，48，50，各層的樣本容量分別為30，50，20,則估計(jì)總體平均數(shù)為__________.【答案】##47.5【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義即可求解.【詳解】總體平均數(shù)為,故答案：47.514.向量，向量與的夾角為，則cos＝________．【答案】【解析】【分析】依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，最后根據(jù)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，即，所以，所以所以故答案為?5.水平放置的的斜二側(cè)直觀圖如圖所示，若，的面積為，則的長(zhǎng)為________.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出BC、的長(zhǎng)，再用余弦定理求出的長(zhǎng)．【詳解】如圖所示，，的面積為，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了斜二測(cè)畫法的應(yīng)用問題和三角形邊長(zhǎng)與面積的計(jì)算問題，屬于中檔題．16.如圖在三棱錐中，，且，分別是和的中點(diǎn)．則異面直線與所成的角的余弦值為______，直線與面所成角大小為_________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求線線角與線面角.【詳解】因?yàn)?，所以以S為坐標(biāo)原點(diǎn)，SA,SB,SC為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則因?yàn)?，所以異面直線與所成的角的余弦值為，面一個(gè)法向量為則由得即直線與面所成角大小為.【點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.在復(fù)平面內(nèi)有一個(gè)矩形，點(diǎn)在第二象限，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，求另外兩個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).【答案】頂點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，頂點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是,則,設(shè)，則，,,則，因此,頂點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是,由于,所以,頂點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是18.平面內(nèi)給定三個(gè)向量.（1）求；（2）求滿足的實(shí)數(shù)m和n；（3）若，求實(shí)數(shù)k.【答案】（1）6；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算得到，再求模長(zhǎng)即可；（2）先寫的坐標(biāo)，再根據(jù)使對(duì)應(yīng)橫縱坐標(biāo)相等列方程組，解方程組即得結(jié)果；（3）利用向量垂直則數(shù)量積為零，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列關(guān)系求出參數(shù)即可.【詳解】解：（1）由，得，；（2），，，，故，解得；（3），，，，，，即，解得.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若，則等價(jià)于；等價(jià)于.19.如圖，是直角三角形斜邊上一點(diǎn)，.（1）若，求角的大?。唬?）若，且，求的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由正弦定理求出，結(jié)合得到，從而得到；（2）求出，進(jìn)而得到角C的余弦值，再使用余弦定理求出的長(zhǎng).【小問1詳解】在中，由正弦定理得，所以，又所以，.【小問2詳解】由，且知：所以，直角三角形中，在中，由余弦定理得所以，.20.如圖，在三棱柱中，，，，．（1）證明：平面⊥平面．（2）若為的中點(diǎn)，求到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）利用余弦定理可求出，利用勾股定理可證，，從而可證結(jié)論；（2）由題知，然后利用等體積法可求.【詳解】（1）證明：如圖，連接，在中，，，，由余弦定理得，所以，所以．同理．又因?yàn)椋云矫妫驗(yàn)槠矫?，所以平面平面．?）解：過作于，連接，．由（1）知平面，所以平面．因?yàn)?，，所，．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，所以．在中，因?yàn)?，，，所以．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，．在中，因?yàn)?，，，所以，所以，于是的面積為．因?yàn)?，所以三棱錐的體積為．設(shè)到平面的距離為．因?yàn)槿忮F的體積與三棱錐的體積相同，所以，解得，即到平面的距離為．21.如圖，在四棱錐中，，，，，為銳角，平面平面.（1）證明：平面；（2）若與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）在平面內(nèi)過作于，得平面，，過分別作于，取中點(diǎn)為，得，所以平面，得，再由線面垂直的判定定理可得答案.（2）二面角的平面角與二面角的平面角互補(bǔ)，由（1）可得為二面角的平面角，在中，為與平面所成的角，由正弦值為，得，，可得答案.【詳解】（1）證明：在平面內(nèi)過作于，因?yàn)槠矫嫫矫?，又?/p>