數(shù)列通項(xiàng)公式常見求法(有答案)

數(shù)列通項(xiàng)公式的常見求法一.公式法1、等差數(shù)列公式例1、〔2011遼寧理〕等差數(shù)列{an}滿足a2=0，a6+a8=-10〔I〕求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解：〔I〕設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由條件可得解得故數(shù)列的通項(xiàng)公式為2、等比數(shù)列公式例2.〔2011重慶理〕設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，?！并瘛城蟮耐?xiàng)公式解：I〕設(shè)q為等比數(shù)列的公比，那么由，即，解得〔舍去〕，因此所以的通項(xiàng)為3、通用公式假設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和的表達(dá)式，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式求解。(a1=S1)例3、數(shù)列的前n項(xiàng)和，求的通項(xiàng)公式。解：，當(dāng)時(shí)由于不適合于此等式。∴二.當(dāng)題中告訴了數(shù)列任何前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的遞推關(guān)系,和an-1的關(guān)系時(shí)我們可以根據(jù)具體情況采用以下方法1、累加法對于型如類的通項(xiàng)公式，且的和比擬好求，我們可以采用此方法來求。即：；例4、〔2011四川理8〕數(shù)列的首項(xiàng)為，為等差數(shù)列且．假設(shè)那么，，那么 A．0 B．3 C．8 D．11解：由知由累加法例5、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：〔1〕由題知：2、累乘法對于形如“a1，且=f〔n〕〔f〔n〕為可求積的數(shù)列〕”的形式可通過累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。即：；例6、在數(shù)列｛｝中，=1,(n+1)·=n·，求的表達(dá)式。解：由(n+1)·=n·得，=··…=所以3、構(gòu)造法當(dāng)數(shù)列前一項(xiàng)和后一項(xiàng)即和an-1的遞推關(guān)系較為復(fù)雜時(shí)，我們往往對原數(shù)列的遞推關(guān)系進(jìn)行變形，重新構(gòu)造數(shù)列，使其變?yōu)槲覀儗W(xué)過的熟悉的數(shù)列〔等比數(shù)列或等差數(shù)列〕。具體有以下幾種常見方法?！?〕、待定系數(shù)法①、一般地對于an=kan-1+m(k、m為常數(shù)〕型，可化為的形式an+λ=k(an-1+λ).重新構(gòu)造出一個(gè)以k為公比的等比數(shù)列，然后通過化簡用待定系數(shù)法求λ，然后再求。例7、〔2011廣東理〕設(shè)b>0,數(shù)列滿足a1=b，.〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：，得，設(shè)，那么，〔ⅰ〕當(dāng)時(shí)，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即，∴〔ⅱ〕當(dāng)時(shí)，設(shè)，那么，令，得，，知是等比數(shù)列，，又，，．②、對于這種形式,一般我們討論兩種情況：=1\*romani、當(dāng)f(n)為一次多項(xiàng)式時(shí)，即數(shù)列遞推關(guān)系為型，可化為的形式來求通項(xiàng)。例8.設(shè)數(shù)列中，，求的通項(xiàng)公式。解：設(shè)與原式比擬系數(shù)得：即令=2\*romanii、當(dāng)f(n)為指數(shù)冪時(shí)，即數(shù)列遞推關(guān)系為〔A、B、C為常數(shù)，〕型，可化為=〕的形式.構(gòu)造出一個(gè)新的等比數(shù)列，然后再求例9.〔2003年全國高考題〕設(shè)為常數(shù)，且〔〕，證明：對任意n≥1，解：證明：設(shè)用代入可得∴是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，∴〔〕，即：當(dāng)然對于這種形式遞推關(guān)系求時(shí)，當(dāng)A=C時(shí)，我們往往也會(huì)采取另一種方法，即左右兩邊同除以Cn+1,重新構(gòu)造數(shù)列，來求。例10、〔2007天津理〕在數(shù)列中，，其中．〔Ⅰ〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：由，，可得，所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為0，故，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．〔2〕、倒數(shù)法形如、等形式的遞推數(shù)列可以用倒數(shù)法變形為我們熟悉的形式來求通項(xiàng)公式。例11.數(shù)列滿足：，求的通項(xiàng)公式。解：原式兩邊取倒數(shù)得：即例12、在數(shù)列{}中，，并且對任意都有成立，令． 〔Ⅰ〕求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；解：〔1〕當(dāng)n=1時(shí)，,當(dāng)時(shí)，由，等式兩邊取倒數(shù)得：所以所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為三、當(dāng)題中給出的是Sn和的關(guān)系時(shí)，我們一般通過作差法結(jié)合an=Sn－Sn－1這個(gè)通用公式對原等式進(jìn)行變形，消掉Sn得到和an+1的遞推關(guān)系，或消掉得到Sn和Sn－1的遞推關(guān)系，然后重新構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)公式。例20、〔2007湖北理19〕數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：，N*，．〔Ⅰ〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：〔I〕由可得，兩式相減可得即又所以r=0時(shí)，數(shù)列為：a，0，…，0，…；當(dāng)時(shí)，由〔〕，于是由可得，成等比數(shù)列，，綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為例21：〔2007重慶理〕各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{}的前n項(xiàng)和滿足，且〔1〕求{}的通項(xiàng)公式；解：由，解得a1＝1或a1＝2，由假設(shè)a1＝S1＞1，因此a1＝2。又由an+1＝Sn+1-Sn＝，得an+1-an-3＝0或an+1＝-an因an＞0，故an+1＝-an不成立，舍去。因此an+1-an-3＝0。從而｛an｝是公差為3，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，故｛an｝的通項(xiàng)為an＝3n-2。例22.〔2009全國卷Ⅱ理〕設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為〔I〕設(shè)，證明數(shù)列是