北師大版八年級數(shù)學下冊舉一反三 專題6.1 平行四邊形的性質(zhì)-重難點題型（舉一反三）（原卷版+解析）

專題6.1平行四邊形的性質(zhì)-重難點題型【北師大版】【知識點1平行四邊形的性質(zhì)】平行四邊形的性質(zhì)有：對邊平行且相等，對角線互相平分，對角相等，鄰角互補，兩條平行線之間的距離處處相等，夾在兩條平行線間的平行線段相等.【題型1平行四邊形的性質(zhì)（求長度）】【例1】(2023春?天府新區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點E，過點A作AF⊥BE，垂足為點F，若AF＝5，BE＝24，則CD的長為（）A．8 B．13 C．16 D．18【變式1-1】(2023秋?九龍坡區(qū)校級期末）如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O作OE⊥AC，交AD于點E，連接CE，若△CDE的周長為8，則?ABCD的周長為（）A．8 B．10 C．16 D．20【變式1-2】(2023春?淮南月考）在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，△BOC的周長為20cm，BC＝12cm，則AC+BD的長是（）A．8cm B．16cm C．24cm D．32cm【變式1-3】(2023秋?讓胡路區(qū)校級期末）在平行四邊形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于點F，CE平分∠BCD，交AD于點E，AB＝6，EF＝2，則BC的長為．【題型2平行四邊形的性質(zhì)（求角度）】【例2】(2023?河北一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于點E，若∠AED＝80°，則∠EAC的度數(shù)是（）A．10° B．15° C．20° D．25°【變式2-1】(2023春?錦州期末）在探索數(shù)學名題“尺規(guī)三等分角”的過程中，有下面的問題：如圖，點E在?ABCD的對角線AC上，AE＝BE＝BC，∠D＝105°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．35° B．30° C．25° D．20°【變式2-2】(2023春?西安期末）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，DE⊥BC于點E，BF⊥CD于點F，DE、BF相交于點H，若∠A＝60°，則∠EHF的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．120° D．150°【變式2-3】(2023春?西湖區(qū)校級期中）如圖所示，以?ABCD的邊AB為邊向內(nèi)作等邊△ABE，使AD＝AE，且點E在平行四邊形內(nèi)部，連接DE，CE，則∠CED的度數(shù)為（）A．150° B．145° C．135° D．120°【題型3平行四邊形的性質(zhì)（求面積）】【例3】(2023春?西湖區(qū)校級期中）如圖所示，點E為?ABCD內(nèi)一點，連接EA，EB，EC，ED，AC，已知△BCE的面積為2，△CED的面積為10，則陰影部分△ACE的面積為（）A．5 B．6 C．7 D．8【變式3-1】(2023春?婁星區(qū)期末）如圖，E、F分別是?ABCD的邊AB、CD上的點，AF與DE相交于點P，BF與CE相交于點Q．若S△APD＝15，S△BQC＝25，則陰影部分的面積為（）A．40 B．45 C．50 D．55【變式3-2】(2023春?成華區(qū)期末）如圖，?ABCD的面積為S，點P是它內(nèi)部任意一點，△PAD的面積為S1，△PBC的面積為S2，則S，S1，S2之間滿足的關系是（）A．S1+S2C．S1+【變式3-3】(2023秋?海曙區(qū)校級期末）如圖，在?ABCD中，點E在邊AD上，過E作EF∥CD交對角線AC于點F，若要求△FBC的面積，只需知道下列哪個三角形的面積即可（）A．△ECD B．△EBF C．△EBC D．△EFC【題型4平行四邊形的性質(zhì)與坐標】【例4】(2023秋?甘井子區(qū)期末）如圖，平面直角坐標系中，點B，點D的坐標分別為（0，2）和（0，﹣2），以BD為對角線作?ABCD，若點A的坐標為（2，1），則點C的坐標為．【變式4-1】(2023秋?綿陽期末）如圖，在平行四邊形OABC中，對角線相交于點E，OA邊在x軸上，點O為坐標原點，已知點A（4，0），E（3，1），則點C的坐標為（）A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）【變式4-2】(2023秋?張店區(qū)期末）如圖，已知?ABCD三個頂點坐標是A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四個頂點D的坐標是（）A．（3，1） B．（3，2） C．（3，3） D．（3，4）【變式4-3】(2023?商河縣校級模擬）如圖，已知平行四邊形OABC的頂點A，C分別在直線x＝1和x＝4上，點O是坐標原點，則點B的橫坐標為（）A．3 B．4 C．5 D．10【題型5平行四邊形中的最值問題】【例5】(2023春?舞鋼市期末）如圖，△ABC中，AB＝10，△ABC的面積是25，P是AB邊上的一個動點，連接PC，以PA和PC為一組鄰邊作平行四邊形APCQ，則線段AQ的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式5-1】(2023春?河南期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝15°，點P是射線BA上的一個動點，以AP，PC為鄰邊作平行四邊形APCQ，則邊AQ的最小值為（）A．4 B．2 C．23 D．43【變式5-2】(2023春?費縣期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P為AB邊上一動點，以PA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則對角線PQ的長度的最小值為．【變式5-3】(2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，在?ABCD中，點E是對角線AC上一點，過點E作AC的垂線，交邊AD于點P，交邊BC于點Q，連接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，則PC+AQ的最小值為．【題型6平行四邊形中的折疊問題】【例6】(2023春?黃浦區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，點D在AB邊上，將△ACD沿直線CD翻折后，點A落在點E處，如果四邊形BCDE是平行四邊形，那么∠ADC＝．【變式6-1】(2023?江西）如圖，將?ABCD沿對角線AC翻折，點B落在點E處，CE交AD于點F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，F(xiàn)C＝a，F(xiàn)D＝b，則?ABCD的周長為．【變式6-2】(2023?濱湖區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，D是邊AB上一點，連接CD，將△ACD沿CD翻折得到△ECD，連接BE．若四邊形BCDE是平行四邊形，則BC的長為（）A．3 B．3 C．23 D．32【變式6-3】(2023秋?錦江區(qū)校級期中）如圖，將?ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在點E處，DE交BC于點F，連接CE，則下列結(jié)論：①BE＝CD；②BF＝DF；③S△BEF＝S△DCF；④BD∥CE，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個專題6.1平行四邊形的性質(zhì)-重難點題型【北師大版】【知識點1平行四邊形的性質(zhì)】平行四邊形的性質(zhì)有：對邊平行且相等，對角線互相平分，對角相等，鄰角互補，兩條平行線之間的距離處處相等，夾在兩條平行線間的平行線段相等.【題型1平行四邊形的性質(zhì)（求長度）】【例1】(2023春?天府新區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點E，過點A作AF⊥BE，垂足為點F，若AF＝5，BE＝24，則CD的長為（）A．8 B．13 C．16 D．18分析：首先利用平行四邊形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)得到AB＝AE，然后利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得到BF=12BE，利用勾股定理求得【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵∠ABC的平分線交AD于點E，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∵AF⊥BE，∴BE＝2BF，∴BF＝12，∴AB=B∴CD＝AB＝13，故選：B．【變式1-1】(2023秋?九龍坡區(qū)校級期末）如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O作OE⊥AC，交AD于點E，連接CE，若△CDE的周長為8，則?ABCD的周長為（）A．8 B．10 C．16 D．20分析：由平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，OE⊥AC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AE＝CE，得出AD+CD＝16，繼而可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，∵OE⊥AC，∴AE＝CE，∴△CDE的周長為：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝8．∵平行四邊形ABCD的周長為2（AD+CD），∴?ABCD的周長為16，故選：C．【變式1-2】(2023春?淮南月考）在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，△BOC的周長為20cm，BC＝12cm，則AC+BD的長是（）A．8cm B．16cm C．24cm D．32cm分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AO＝CO=12AC，BO＝DO=12BD，求得BO+CO=12AC+1【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO=12AC，BO＝DO=∴BO+CO=12AC+12BD=1∵△BOC的周長＝OB+OC+BC＝20cm，BC＝12cm，∴BO+CO＝20﹣12＝8（cm），∴AC+BD＝2×8＝16（cm），故選：B．【變式1-3】(2023秋?讓胡路區(qū)校級期末）在平行四邊形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于點F，CE平分∠BCD，交AD于點E，AB＝6，EF＝2，則BC的長為．分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得CD＝AB＝6，結(jié)合角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)可求解AF＝AB＝6，DE＝DC＝6，由EF＝2即可求得BC的長．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，AB＝6，∴CD＝AB＝6，AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBF，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF＝∠AFB，∴AF＝AB＝6，同理DE＝DC＝6，如圖1，∵EF＝2，∴AE＝AF﹣EF＝6﹣2＝4，∴AD＝BC＝AE+DE＝4+6＝10，如圖2，∵EF＝2，∴AE＝AF+EF＝6+2＝8，∴AD＝BC＝AE+DE＝6+8＝14，綜上所述，BC的長為10或14，故答案為：10或14．【題型2平行四邊形的性質(zhì)（求角度）】【例2】(2023?河北一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于點E，若∠AED＝80°，則∠EAC的度數(shù)是（）A．10° B．15° C．20° D．25°分析：證△ABE是等邊三角形，得AB＝AE，再證△BAC≌△AED中（SAS），得∠BAC＝∠AED＝80°，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∠B＝∠ADC＝60°，AD∥BC，∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE=12∠∴∠B＝∠DAE，△ABE是等邊三角形，∴AB＝AE，在△BAC和△AED中，AB=EA∠B=∠DAE∴△BAC≌△AED（SAS），∴∠BAC＝∠AED＝80°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝80°﹣60°＝20°，故選：C．【變式2-1】(2023春?錦州期末）在探索數(shù)學名題“尺規(guī)三等分角”的過程中，有下面的問題：如圖，點E在?ABCD的對角線AC上，AE＝BE＝BC，∠D＝105°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．35° B．30° C．25° D．20°分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠D＝105°，AD＝BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠D＝105°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，∴∠BAC＝25°，故選：C．【變式2-2】(2023春?西安期末）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，DE⊥BC于點E，BF⊥CD于點F，DE、BF相交于點H，若∠A＝60°，則∠EHF的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．120° D．150°分析：首先利用平行四邊形的對角相等和角A的度數(shù)求得∠C的度數(shù)，然后根據(jù)垂直的定義求得∠CED＝∠CFB＝90°，最后利用四邊形的內(nèi)角和求得答案即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠A＝60°，∴∠C＝∠A＝60°，∵DE⊥BC于點E，BF⊥CD于點F，∴∠CED＝∠CFB＝90°，∴∠EHF＝360°﹣∠C﹣∠CFB﹣∠CED＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，故選：C．【變式2-3】(2023春?西湖區(qū)校級期中）如圖所示，以?ABCD的邊AB為邊向內(nèi)作等邊△ABE，使AD＝AE，且點E在平行四邊形內(nèi)部，連接DE，CE，則∠CED的度數(shù)為（）A．150° B．145° C．135° D．120°分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可證明AD＝AE＝BE＝BC，得∠ADE＝∠AED，∠BCE＝∠BEC，設∠ADE＝∠AED＝x，∠BCE＝∠BEC＝y(tǒng)，可得∠DAE＝180°﹣2x，∠CBE＝180°﹣2y，由平行四邊形的鄰角互補得出方程，求出x+y＝150°，即可得出結(jié)果．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∠BAD+∠ABC＝180°，∵△ABE是等邊三角形，∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，∵AD＝AE，∴AD＝AE＝BE＝BC，∴∠ADE＝∠AED，∠BCE＝∠BEC，設∠ADE＝∠AED＝x，∠BCE＝∠BEC＝y(tǒng)，∴∠DAE＝180°﹣2x，∠CBE＝180°﹣2y，∴∠BAD＝180°﹣2x+60°＝240°﹣2x，∠ABC＝240°﹣2y，∴∠BAD+∠ABC＝240°﹣2x+240°﹣2y＝180°，∴x+y＝150°，∴∠CED＝360°﹣150°﹣60°＝150°，故選：A．【題型3平行四邊形的性質(zhì)（求面積）】【例3】(2023春?西湖區(qū)校級期中）如圖所示，點E為?ABCD內(nèi)一點，連接EA，EB，EC，ED，AC，已知△BCE的面積為2，△CED的面積為10，則陰影部分△ACE的面積為（）A．5 B．6 C．7 D．8分析：過點B作BF⊥CD于點F，設△ABE和△CDE的AB和CD邊上的高分別為a和b，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得S△ABE+S△CDE=12S平行四邊形ABCD，S△ABE+S△CBE+S陰影=12S平行四邊形ABCD，進而可得S陰影＝S△CDE﹣【解答】解：如圖，過點B作BF⊥CD于點F，設△ABE和△CDE的AB和CD邊上的高分別為a和b，∴S△ABE=12×AB×a，S△CDE=1∵a+b＝BF，AB＝CD，∴S△ABE+S△CDE=12×（AB×a+CD×b）=1∵S平行四邊形ABCD＝CD?BF，∴S△ABE+S△CDE=12S平行四邊形∵S△ABE+S△CBE+S陰影=12S平行四邊形∴S△ABE+S△CDE＝S△ABE+S△CBE+S陰影，∴S陰影＝S△CDE﹣S△CBE＝10﹣2＝8．故選：D．【變式3-1】(2023春?婁星區(qū)期末）如圖，E、F分別是?ABCD的邊AB、CD上的點，AF與DE相交于點P，BF與CE相交于點Q．若S△APD＝15，S△BQC＝25，則陰影部分的面積為（）A．40 B．45 C．50 D．55分析：連接E、F兩點，由三角形的面積公式我們可以推出S△EFC＝S△BCF，S△EFD＝S△ADF，所以S△EFQ＝S△BCQ，S△EFP＝S△ADP，因此可以推出陰影部分的面積就是S△APD+S△BQC．【解答】解：如圖，連接E、F兩點，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴△EFC的FC邊上的高與△BCF的FC邊上的高相等，∴S△EFC＝S△BCF，∴S△EFQ＝S△BCQ，同理：S△EFD＝S△ADF，∴S△EFP＝S△ADP，∵S△APD＝15，S△BQC＝25，∴S四邊形EPFQ＝S△APD+S△BQC＝15+25＝40，故選：A．【變式3-2】(2023春?成華區(qū)期末）如圖，?ABCD的面積為S，點P是它內(nèi)部任意一點，△PAD的面積為S1，△PBC的面積為S2，則S，S1，S2之間滿足的關系是（）A．S1+S2C．S1+分析：根據(jù)題意，過點P作EF⊥AD交AD于點E，交BC的延長線于點F，然后根據(jù)圖形和平行四邊形的面積、三角形的面積，即可得到S和S1、S2之間的關系，本題得以解決．【解答】解：過點P作EF⊥AD交AD于點E，交BC的延長線于點F，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∴S＝BC?EF，S1=AD?PE∵EF＝PE+PF，AD＝BC，∴S1+S2=S故選：C．【變式3-3】(2023秋?海曙區(qū)校級期末）如圖，在?ABCD中，點E在邊AD上，過E作EF∥CD交對角線AC于點F，若要求△FBC的面積，只需知道下列哪個三角形的面積即可（）A．△ECD B．△EBF C．△EBC D．△EFC分析：過B作BM⊥AC于點M，過D作DN⊥AC于N，證明△ADN≌△CBM得DN＝BM，由三角形的面積公式可得△BCF和△CDE的面積都等于△CDF的面積，便可得出答案．【解答】解：過B作BM⊥AC于點M，過D作DN⊥AC于N，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，在△ADN和△CBM中，∠DAN=∠BCM∠AND=∠CMB=90°∴△ADN≌△CBM（AAS），∴DN＝BM，∵S△BCF=12CF?BM，S△CDF=12∴S△BCF＝S△CDF，∵EF∥CD，∴S△CDE＝S△CDF＝S△BCF，故選：A．【題型4平行四邊形的性質(zhì)與坐標】【例4】(2023秋?甘井子區(qū)期末）如圖，平面直角坐標系中，點B，點D的坐標分別為（0，2）和（0，﹣2），以BD為對角線作?ABCD，若點A的坐標為（2，1），則點C的坐標為（﹣2，﹣1）．分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)是中心對稱圖形即可解決問題．【解答】解：∵點B，點D的坐標分別為（0，2）和（0，﹣2），以BD為對角線作?ABCD，∴點O是平行四邊形的性質(zhì)的對稱中心，∵點A的坐標為（2，1），∴點C的坐標為：（﹣2，﹣1）．故答案為：（﹣2，﹣1）．【變式4-1】(2023秋?綿陽期末）如圖，在平行四邊形OABC中，對角線相交于點E，OA邊在x軸上，點O為坐標原點，已知點A（4，0），E（3，1），則點C的坐標為（）A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）分析：分別過E，C兩點作EF⊥x軸，CG⊥x軸，垂足分別為F，G，由平行四邊形的性質(zhì)可得CG＝2EF，AG＝2AF，結(jié)合A，E兩點坐標可求解CG，OG的長，進而求解C點坐標．【解答】解：分別過E，C兩點作EF⊥x軸，CG⊥x軸，垂足分別為F，G，∴EF∥CG，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AE＝CE，∴AG＝2AF，CG＝2EF，∵A（4，0），E（3，1），∴OA＝4，OF＝3，EF＝1，∴AF＝OA﹣OF＝4﹣3＝1，CG＝2，∴AG＝2，∴OG＝OA﹣OG＝4﹣2＝2，∴C（2，2）．故選：D．【變式4-2】(2023秋?張店區(qū)期末）如圖，已知?ABCD三個頂點坐標是A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四個頂點D的坐標是（）A．（3，1） B．（3，2） C．（3，3） D．（3，4）分析：過B作BE⊥x軸于E，過D作DM⊥x軸于M，過C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N，求出△DCN≌△BAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BE＝DN，AE＝CN，根據(jù)A、B、C的作求出OM和DM即可．【解答】解：過B作BE⊥x軸于E，過D作DM⊥x軸于M，過C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N，則四邊形EFNM是矩形，所以EF＝MN，EM＝FN，F(xiàn)N∥EM，∴∠EAB＝∠AQC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，AB∥DC，∴∠AQC＝∠DCN，∴∠DCN＝∠EAB，在△DCN和△BAE中∠N=∠BEA=90°∠DCN=∠EAB∴△DCN≌△BAE（AAS），∴BE＝DN，AE＝CN，∵A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），∴CN＝AE＝2﹣1＝1，DN＝BE＝3，∴DM＝3﹣1＝2，OM＝2+1＝3，∴D的坐標為（3，2），故選：B．【變式4-3】(2023?商河縣校級模擬）如圖，已知平行四邊形OABC的頂點A，C分別在直線x＝1和x＝4上，點O是坐標原點，則點B的橫坐標為（）A．3 B．4 C．5 D．10分析：過點B作BD⊥直線x＝4，交直線x＝4于點D，過點B作BE⊥x軸，交x軸于點E，由四邊形OABC是平行四邊形，得OA＝BC，又由平行四邊形的性質(zhì)可推得∠OAF＝∠BCD，則可由ASA證得△OAF≌△BCD，得出BD＝OF＝1，即可得出結(jié)果．【解答】解：過點B作BD⊥直線x＝4，交直線x＝4于點D，過點B作BE⊥x軸，交x軸于點E，直線x＝1與OC交于點M，與x軸交于點F，直線x＝4與AB交于點N，如圖所示：∵四邊形OABC是平行四邊形，∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，∵直線x＝1與直線x＝4均垂直于x軸，∴AM∥CN，∴四邊形ANCM是平行四邊形，∴∠MAN＝∠NCM，∴∠OAF＝∠BCD，∵∠OFA＝∠BDC＝90°，∴∠FOA＝∠DBC，在△OAF和△BCD中，∠FOA=∠DBCOA=BC∴△OAF≌△BCD（ASA）．∴BD＝OF＝1，∴點B的橫坐標為：OE＝4+BD＝4+1＝5，故選：C．【題型5平行四邊形中的最值問題】【例5】(2023春?舞鋼市期末）如圖，△ABC中，AB＝10，△ABC的面積是25，P是AB邊上的一個動點，連接PC，以PA和PC為一組鄰邊作平行四邊形APCQ，則線段AQ的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AQ＝PC，根據(jù)垂線段最短，當PC⊥AB時值最小解答即可．【解答】解：∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴AQ＝PC，由垂線段最短可得，當PC⊥AB時，AQ值最小，∵AB＝10，△ABC的面積是25，∴PC＝5，∴AQ＝5，故選：C．【變式5-1】(2023春?河南期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝15°，點P是射線BA上的一個動點，以AP，PC為鄰邊作平行四邊形APCQ，則邊AQ的最小值為（）A．4 B．2 C．23 D．43分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AQ＝PC，根據(jù)垂線段最短，當PC⊥AB時值最小解答即可．【解答】解：∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴AQ＝PC，由垂線段最短可得，當PC⊥AB時，AQ值最小，∵AB＝AC＝4，∠B＝15°，∴∠PAC＝2∠B＝30°，在Rt△APC中，AC＝4，∠PAC＝30°，∴PC＝2，∴AQ＝2，故選：B．【變式5-2】(2023春?費縣期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P為AB邊上一動點，以PA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則對角線PQ的長度的最小值為．分析：由平行四邊形的性質(zhì)可知O是PQ中點，PQ最短也就是PO最短，由點O是AC的中點，過O作AB的垂線OE，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求出PQ的最小值．【解答】解：如圖所示：∵四邊形PAQC是平行四邊形，∴AO＝CO，OP＝OQ，∵PQ最短也就是PO最短，過點O作OE⊥AB，當點P與E重合時，OP最短，OE即為所求，∵∠BAC＝30°，∴OE=12∵AB＝AC＝12，∵AO=12AC∴OE＝3，∴PQ的最小值＝2OE＝6，故答案為：6．【變式5-3】(2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，在?ABCD中，點E是對角線AC上一點，過點E作AC的垂線，交邊AD于點P，交邊BC于點Q，連接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，則PC+AQ的最小值為．分析：利用平行四邊形知識，將PC+AQ的最小值轉(zhuǎn)化為MP+CP的最小值，再用勾股定理求出MC的長度，即可求解．【解答】解：過點A作AM∥PQ且AM＝PQ，連接MP，∵AM∥PQ且AM＝PQ，∴四邊形AQPM是平行四邊形，∴AQ＝MP，PC+AQ的最小值轉(zhuǎn)化為MP+CP的最小值，當M、P、C三點共線時，MP+CP的最小，∵AM∥PQ，AC⊥PQ，∴AM⊥AC，在Rt△MAC中，MC=AM2故答案為：213．【題型6平行四邊形中的折疊問題】【例6】(2023春?黃浦區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，點D在AB邊上，將△ACD沿直線CD翻折后，點A落在點E處，如果四邊形BCDE是平行四邊形，那么∠ADC＝．分析：延長CD到點F，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出BC∥DE，結(jié)合∠ABC＝90°，即可得出∠ADE＝90°，再根據(jù)翻折的性質(zhì)即可得出∠ADF＝∠EDF＝45°，從而得出∠BDC＝45°，由∠ADC、∠BDC互補即可得出結(jié)論．【解答】解：延長CD到點F，如圖所示．∵四邊形BCDE是平行四邊形，∴BC∥DE，∵∠ABC＝90°，∴∠BDE＝90°，∴∠ADE＝90°．∵將△ACD沿直線CD翻折后，點A落在點E處，∴∠ADF＝∠EDF=12∠∴∠BDC＝∠ADF＝45°，∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝135°．故答案為：135°．【變式6-1】(2023?江西）如圖，將?ABCD沿對角線AC翻折，點B落在點E處，CE交AD于點F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，F(xiàn)C＝a，F(xiàn)D＝b，則?ABCD的周長為．分析：由∠B＝80°，四邊形ABCD為平行四邊形，折疊的性質(zhì)可證明△AFC為等腰三角形．所以AF＝FC＝a．設∠ECD＝x，則∠ACE＝2x，在△ADC中，由三角形內(nèi)角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，解得x＝20°，由外角定理可證明△DFC為等腰三角形．所以DC＝FC＝a．故平行四邊形ABCD的周長為2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝2＝4a+2b．【解答】解：∵∠B＝80°，四邊形ABCD為平行四邊形．∴∠D＝80°．由折疊可知∠ACB＝∠ACE，又AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠ACE