2023-2024屆高考物理一輪復(fù)習(xí)講義 33雙星多星模型 衛(wèi)星的變軌及能量問題 拉格朗日點（原卷版）

專題33雙星多星模型衛(wèi)星的變軌及能量問題拉格朗日點

考點一雙星模型

雙星系統(tǒng)：繞公共圓心轉(zhuǎn)動的兩個星體組成的系統(tǒng)，而且兩顆星與該中心點總在同一直線上，如圖,

1.兩個星體各自所需的向心力由彼此間的萬有引力相互提供，即詈=胴。"，等=破。/

2.兩顆星的周期及角速度都相同，即71=?2,Gl=G2

3.兩顆星的半徑與它們之間的距離關(guān)系為：n+r2=L

4.由mGtn=改GinJ得：兩顆星到圓心的距離方、E與星體質(zhì)量成反比，即2='

一∏kΓ?

.2/3

5.雙星的總質(zhì)量公式?I+Λ?=-^-推論：黃=kMa

6.雙星的運動周期7,=2π

1.（多選）我國天文學(xué)家通過“天眼”（FAST,500米口徑球面射電望遠鏡）在武仙座球狀星團此3中發(fā)現(xiàn)一

個脈沖雙星系統(tǒng)，如圖所示，由恒星A與恒星B組成的雙星系統(tǒng)繞其連線上的O點做勻速圓周運動，若恒

星A的質(zhì)量為3m,恒星B的質(zhì)量為5m,恒星A和恒星B之間的距離為￡,引力常量為6。下列說法正確的

是（）

A.恒星A運行的角速度大于恒星B運行的角速度B.恒星A與恒星B的線速度之比為5:3

C.恒星A到。點的距離為ILD.恒星B的運行周期為兀旦

5y∣2Gm

2.（2022?全國?高三課時練習(xí)）（多選）天文學(xué)家通過觀測兩個黑洞并合的事件，間接驗證了引力波的存

在。該事件中甲、乙兩個黑洞的質(zhì)量分別為太陽質(zhì)量的36倍和29倍，假設(shè)這兩個黑洞繞它們連線上的某

點做圓周運動，且兩個黑洞的間距緩慢減小。若該雙星系統(tǒng)在運動過程中，各自質(zhì)量不變且不受其他星系

的影響，則關(guān)于這兩個黑洞的運動，下列說法正確的是（）

A.甲、乙兩個黑洞運行的線速度大小之比為36：29

B.甲、乙兩個黑洞運行的角速度大小始終相等

C.隨著甲、乙兩個黑洞的間距緩慢減小，它們運行的周期也在減小

D.甲、乙兩個黑洞做圓周運動的向心加速度大小始終相等

3.（多選）中國“FAST”球面射電望遠鏡發(fā)現(xiàn)一個脈沖雙星系統(tǒng)?？茖W(xué)家通過對脈沖星計時觀測得知該雙星

系統(tǒng)由一顆脈沖星與一顆白矮星組成，如圖所示。質(zhì)量分布均勻的恒星A、B雙星系統(tǒng)繞。點沿逆時針方向

做勻速圓周運動，運動周期為71，兩者間距為C為B的衛(wèi)星，繞B沿逆時針方向做勻速圓周運動，周期

為72,且4<71。A與B之間的引力遠大于C與B之間的引力。引力常量為G,則（）

A.恒星A、B的質(zhì)量之比等于它們的軌道半徑之比

B.恒星A、B的質(zhì)量之和為甯

C.已知衛(wèi)星C的軌道半徑r和恒星B的半徑7,可求得恒星B的密度為福

D.三星A、B、C相鄰兩次共線的時間間隔為苦

考點二多星模型

所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同.

1.三星模型：

①直線型三星系統(tǒng)：三顆星位于同一直線上，兩顆環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運

行（如圖甲所示）.

②三角形型三星系統(tǒng)：三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上，均繞中心O點做勻速圓

周運動（如圖乙所示）.

2.四星模型：

①正方形四星系統(tǒng)：四顆質(zhì)量相等的星體位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正方形的圓形軌道做

勻速圓周運動（如圖丙所示）.

②三角形型四星系統(tǒng)：三顆星體始終位于正三角形的三個頂點上，另一顆位于中心0,外圍三顆星繞0

做勻速圓周運動（如圖丁所示）.

4.宇宙中，兩顆靠得比較近的恒星，只受到彼此之間的萬有引力作用互相繞轉(zhuǎn)，稱之為雙星系統(tǒng)。設(shè)某雙

星系統(tǒng)A、B繞其連線上的某固定點。點做勻速圓周運動，如圖所示?，F(xiàn)測得兩星球球心之間的距離為

運動周期為7,已知萬有引力常量為&若40>0B,則（）

A.星球A的線速度等于星球B的線速度

B.星球A所受向心力大于星球B所受向心力

C.雙星的質(zhì)量一定，雙星之間的距離減小，其轉(zhuǎn)動周期增大

D.兩星球的總質(zhì)量等于庠

GT2

5.（2022?全國?高三課時練習(xí)）宇宙空間存在一些離其他恒星較遠的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如

圖所示，三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為L忽略其他星體對它們的引力

作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心。做勻速圓周運動，引力常量為G。下列說法正確的是（）

m

??

，/?O?、

*?、、

*?

m??......................?∕τ?

A.每顆星做圓周運動的線速度為是

B.每顆星做圓周運動的加速度與三星的質(zhì)量無關(guān)

C.若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則周期變?yōu)樵瓉淼?倍

I）.若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則線速度變?yōu)樵瓉淼?倍

6.（2022?江西景德鎮(zhèn)?高一期中）太空中存在一些離其他恒星較遠的、由質(zhì)重相等的三顆星組成的三

星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用。己觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一

種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為斤的圓軌道上運行：另一種形式是三顆星位

于邊長為工的等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行。設(shè)這三個星體的質(zhì)量均

為M并設(shè)兩種系統(tǒng)的運動周期相同，引力常量為G,則（）

M

L”iJΛ

,*、%，，、、

甲÷-----→-----i丙l/?l

M?Rm,:M/\

一…一Mi……?-……'^M

A.直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度相同

B.直線三星系統(tǒng)的運動周期為7=4ττRf?

C.三角形三星系統(tǒng)中星體間的距離為L=√3Λ

D.三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為U=L座

7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統(tǒng)，

通常可忽略其他星體對它們的引力作用，如圖所示，設(shè)四星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量均為加，半徑均為此四

顆星穩(wěn)定分布在邊長為/的正方形的四個頂點上、已知引力常量為G,關(guān)于四星系統(tǒng),下列說法正確的是（）

?.四顆星的向心加速度的大小均為空

B.四顆星運行的線速度大小均為工叵亙而

2?L

C.四顆星運行的角速度大小均為三11+2克）Gm

L、L

D.四顆星運行的周期均為2.6黑

8.（2020?湖南?長郡中學(xué)高三階段練習(xí)）（多選）宇宙中存在一些離其他恒星較遠的四顆星組成的系統(tǒng)，

通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用。天眼在觀察中發(fā)現(xiàn)三顆質(zhì)量均為〃的星球人氏O恰構(gòu)成一個邊

長為/的正三角形，在它們的中心。處還有一顆質(zhì)量為3勿的星球，如圖所示。已知引力常量為G,四個星

球的密度相同，每個星球的半徑均遠小于心對于此系統(tǒng)，若忽略星球自轉(zhuǎn)，則下列說法正確的是（）

小

/：X

L/??L

人JO/工、

/3見,\

—、黑

?-----------------?

BLC

A.4、B、C三顆星球的線速度大小均為JC+3?GnI

B.4、B、C三顆星球的加速度大小均為史警處

C.星球4和中心〃處的星球表面的重力加速度之比為1：2

D.若。處的星球被均分到/、B、C三顆星球上，A,B、C三顆星球仍按原軌道運動，則4、B、C三顆星球

運動的周期將變大

考點三衛(wèi)星的變軌

衛(wèi)星軌道的漸變：如果由于開啟或關(guān)閉發(fā)動機或空氣阻力作用使衛(wèi)星速度突然改變時，萬有引力

不再等于向心力，衛(wèi)星將做變軌運行:

1.當(dāng)衛(wèi)星的速度突然增加時，.4即萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心運動，脫離原來

的圓軌道，軌道半徑變大，當(dāng)衛(wèi)星進入新的軌道穩(wěn)定運行時，由片\^可知其運行速度比原軌道時小。

2.當(dāng)衛(wèi)星的速度突然減小時，凈弓即萬有引力大于所需要的向心力，衛(wèi)星將做近心運動，脫離原

來的圓軌道，軌道半徑變小，當(dāng)衛(wèi)星進入新的軌道穩(wěn)定運行時，由可知其運行速度比原軌道時大。

衛(wèi)星的發(fā)射和回收就是利用這一原理。

衛(wèi)星軌道的突變：

1.如圖發(fā)射同步衛(wèi)星時，可以分多過程完成：

D先將衛(wèi)星發(fā)射到近地軌道I；

2）使其繞地球做勻速圓周運動，速率為小變軌時在P點加速，短時間內(nèi)將速率由匕增加到⑵使衛(wèi)

星進入橢圓形的轉(zhuǎn)移軌道H；

3）衛(wèi)星運行到遠地點。時的速率為外,此時進行第二次加速，在短時間內(nèi)將速率由%增加到％使衛(wèi)

星進入預(yù)定軌道IΠ,繞地球做勻速圓周運動。

2.加速度、速度、周期、能量的比較

D由凈=ma,經(jīng)過不同軌道相交的同一點時r相同，所以加速度相等；r越大的位置加速度越小.

2）交點處必須經(jīng)過加速才能由內(nèi)軌道進入外軌道，所以交點處外軌道的速度大于內(nèi)軌道的速度:在橢

圓軌道運動時如果由近地點向遠地點運動，因為萬有引力做負功所以速度減小，如果由遠地點向近地點運

動，因為萬有引力做正功所以速度增大.

3）不同軌道的周期根據(jù)開普勒第三定律比較（對橢圓軌道r是半長軸，對圓軌道r是半徑），

因為外軌道的r大于內(nèi)軌道所以T1<T2<T3.

4）在一個確定的圓（橢圓）軌道上機械能守恒;因為軌道越高，發(fā)射時需要對衛(wèi)星做的功越大，若I、

II、DI軌道的機械能分別為笈、員、&,則氏〈與〈蜃

三.航天飛機與宇宙空間站的“對接”：本質(zhì)仍是衛(wèi)星的變軌運行問題，要成功“對接”，必須讓航

天飛機在較低軌道上加速，通過速度V的增大一做離心運動-軌道半徑r增大一升高軌道的系列變速，從

而完成航天飛機與宇宙空間站的成功對接。

9.（2022?全國?高三課時練習(xí)）中國空間站天和核心艙先后與天舟二號和神舟十二號進行對接，為了實

現(xiàn)神舟飛船與天宮號空間站順利對接，具體操作應(yīng)為（）

A.飛船與空間站在同一軌道上沿相反方向做圓周運動，接觸后對接

B.空間站在前、飛船在后且兩者沿同一方向在同一軌道做圓周運動，在合適的位置飛船加速追上空間站后

對接

C.空間站在高軌道，飛船在低軌道且兩者同向飛行，在合適的位置飛船加速追上空間站后對接

D.飛船在前、空間站在后且兩者沿同一方向在同一軌道做圓周運動，在合適的位置飛船減速與空間站對接

10.（2022?廣東?禪城實驗高中高三階段練習(xí)）北京時間2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回

艙在東風(fēng)著陸場的預(yù)定區(qū)域成功著陸.翟志剛、王亞平、葉光富3名航天員結(jié)束了6個月的“太空出差”，

成為了我國有史以來在軌任務(wù)時間最長的航天員乘組；在返回的時刻，神舟十三號飛船將首次采用快速返

回方案，返回時間相比神舟十二號縮短了三分之二，返回可簡化為以下四個階段：制動減速階段、自由滑

行階段、入大氣層階段、回收著陸階段。下列說法正確的是（）

A.神舟十三號載人飛船與天和核心艙分離后，空間站天和核心艙會離地球越來越遠

B.神舟十三號載人飛船與天和核心艙分離后，助推器點火向后噴氣后才能返回地球

C.神舟十三號載人飛船進入大氣層和回收著陸階段，既有失重過程又有超重過程

D.神舟十三號載人飛船進入大氣層之前的自由滑行過程，動能減小，引力勢能增大，機械能守恒

11.（2022?全國?高三課時練習(xí)）（多選）嫦娥四號探測器到達月球附近，成功實施近月制動，順利完成“太

空剎車”，被月球捕獲并順利進入環(huán)月軌道。整個奔月過程簡化如下：嫦娥四號探測器從地球表面發(fā)射后，

進入地月轉(zhuǎn)移軌道，經(jīng)過"點時變軌進入圓形軌道I,在軌道I上經(jīng)過尸點時再次變軌進入橢圓軌道∏、

下列說法正確的是（）

地月轉(zhuǎn)移軌道一/

A.嫦娥四號沿軌道II運行時，在0點的加速度大于在0點的加速度

B.嫦娥四號沿軌道∏運行的周期大于沿軌道I運行的周期

C.嫦娥四號在軌道1上的運行速度小于月球的第一宇宙速度

D.嫦娥四號在地月轉(zhuǎn)移軌道上M點的速度大于在軌道I上M點的速度

12.（2022?廣東?肇慶市第一中學(xué)高一期中）（多選）2020年7月23日，我國在海南文昌航天發(fā)射中心,

成功將我國首個深空探測器天問一號火星探測器送上太空。探測器接近火星后，探測器需經(jīng)歷如圖所示的

變軌過程，軌道I為圓軌道，已知引力常量為G,則下列說法正確的是（）

A.探測器在軌道I上尸點的速度大于在軌道II上的速度

B.探測器在軌道上運動時，運行的周期7川>/1>71

C.探測器若從軌道∏變軌到軌道I,需要在尸點朝速度反向噴氣

D.若軌道I貼近火星表面，并已知探測器在軌道1上運動的角速度，可以推知火星的密度

13.（2022?山東聊城?高一期中）2020年7月23日，在我國文昌航天發(fā)射場，長征五號遙四運載火箭成

功將“天問一號”火星探測器送入預(yù)定軌道，我國將實現(xiàn)“環(huán)繞、著陸，巡視”三大目標(biāo)。如圖是探測器

飛向火星過程的簡略圖，探測器分別在只0兩點實現(xiàn)變軌，在轉(zhuǎn)移軌道，探測器繞火星做橢圓運動，下列

說法正確的是（）

A.“天問一號”在繞地軌道的環(huán)繞速度大于7?9k∏√s

B.“天問一號”在沿繞火軌道運行時的速度小于火星的第一宇宙速度

C.“天問一號”在繞地軌道上P點的加速度大于在轉(zhuǎn)移軌道上P點的加速度

D.“天問一號”在轉(zhuǎn)移軌道0點的速度小于繞火軌道。點的速度

考點四衛(wèi)星的能量問題

L衛(wèi)星由較高軌道進入較低的軌道，其軌道半徑減小，在衛(wèi)星克服阻力做功的同時萬有引力將對衛(wèi)星

做正功，由于萬有引力做的正功遠大于克服阻力做的功，外力對衛(wèi)星做的總功是正的，因此衛(wèi)星的動能增

加,衛(wèi)星要克服阻力做功因此機械能減小。

2.要使衛(wèi)星由較低的圓軌道進入較高的圓軌道，一定要給衛(wèi)星增加能量，衛(wèi)星總的機械能增大.

14.若規(guī)定無窮遠處物體的重力勢能為零，則質(zhì)量為加的物體對應(yīng)重力勢能的表達式為EP=-G寸，r為

物體離地心的距離，"為地球質(zhì)量，G為萬有引力常量；則一質(zhì)量為以離地面的高度為十（〃為地球半徑）

的人造衛(wèi)星,運行時的總機械能為（將人造衛(wèi)星繞地球的運動看成勻速圓周運動,地表重力加速度為g）（）

A.一竽B.一等C.-mgRD.-2mgR

15.（2022?山東臨沂?三模）2022年4月16日9時56分，神舟十三號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成

功著陸，神舟十三號載人飛行任務(wù)取得圓滿成功，設(shè)距地球無限遠處的引力勢能為零，地球質(zhì)量為M質(zhì)量

為加的物體在距地心r處的引力勢能為E=-G也（G為引力常量）,設(shè)定地球半徑為此地球表面重力加

Pr

速度大小為g，不考慮地球自轉(zhuǎn)和其他天體的影響，神舟十三號載人飛船返回艙質(zhì)量為TH。，從距地面高

九RSVI）軌道返回地面過程中質(zhì)量不變，則返回艙返回地面過程中，引力勢能減少量為（）

m°gRDMogR

A.nmgRBMogRC.

0'l+nn*1-n

16.如果以無窮遠處為零勢能面，質(zhì)量為勿的人造地球衛(wèi)星與地心的距離為r時.，引力勢能可表示為EP=

其中G為引力常量，M為地球質(zhì)量。該衛(wèi)星原來在半徑為此的軌道上繞地球做勻速圓周運動，由于

r

受到極稀薄空氣的摩擦作用，飛行一段時間后其圓周運動的半徑變?yōu)榇?，此過程中因摩擦而產(chǎn)生的熱量為

()

A-GMmKV）B-GMZΠ（?^?）c?￡T1（?~?）d?等（?一切

17.（2022?全國?模擬預(yù)測）《春秋左傳?魯文公十四年》中的“秋七月，有星學(xué)入于北斗”是一次關(guān)

于哈雷彗星的確切記錄。若哈雷彗星繞太陽做橢圓運動，其運動軌道遠日點距離太陽35.1AU,近日點距離

太陽0.586AU；地球繞太陽做圓周運動，軌道半徑為1AU,公轉(zhuǎn)速度約為29.8km/s。已知引力勢能的表

達式為Ep=-等，其中。為引力常量，M為中心天體質(zhì)量，而為環(huán)繞天體質(zhì)量，r為兩天體的中心距離。

則根據(jù)以上信息，可知哈雷彗星的最小環(huán)繞速率約為（)

A.O.50knι∕sB.O.80km/sC.O.91km∕sD.3.8km∕s

18.（2021浙江卷）空間站在地球外層的稀薄大氣中繞行，因氣體阻力的影響，軌道高度會發(fā)生變化?？?/p>

間站安裝有發(fā)動機，可對軌道進行修正。圖中給出了國際空間站在2020.02-2020.08期間離地高度隨時間

變化的曲線，則空間站（）

A.繞地運行速度約為2.（）km∕s

B.繞地運行速度約為8.0km∕s

C在4月份繞行的任意兩小時內(nèi)機械能可視為守恒

D.在5月份繞行的任意兩小時內(nèi)機械能可視為守恒

考點五拉格朗日點

兩個靠的很近的天體繞著它們連線上的一點（質(zhì)心）做圓周運動，構(gòu)成穩(wěn)定的雙星系統(tǒng)，雙星系統(tǒng)運

動時，其軌道平面存在著一些特殊的點，在這些點處，質(zhì)量極小的物體（例如人造衛(wèi)星）可以與兩星體保

持相對靜止，這樣的點被稱為“拉格朗日點”。一般一個雙星系統(tǒng)有五個拉格朗日點。

19.（2022?重慶?模擬預(yù)測）我國嫦娥五號軌道器與返回器分離后，于2021年3月15日13時29分首

次成功進入日地間/點附近的探測軌道。如圖所示，A為太陽、B為地球、￡為日地拉格朗日點，處在/點

的人造天體，將與太陽和地球保持相對靜止。不考慮其他天體的影響，地球的軌道近似處理為圓軌道，根

據(jù)上面信息，下列說法正確的是（）

A.處在/點的人造天體繞太陽的周期小于一年

B.處在/點的人造天體受到太陽和地球的引力平衡

C./點位于太陽與地球連線的中點

D.A、B連線上B的右側(cè)也存在一個位置，衛(wèi)星在該位置上與太陽、地球保持相對靜止

20.（2022?山西?太原五中高三階段練習(xí)）（多選）為簡單計，把地-月系統(tǒng)看成地球靜止不動而月球繞地

球做勻速圓周運動，如圖所示，虛線為月球軌道。在地月連線上存在一些所謂“拉格朗日點”的特殊點。

在這些點，質(zhì)量極小的物體（如人造衛(wèi)星）僅在地球和月球引力共同作用下可以始終和地球、月球在同一

條線上。圖