四川省德陽五中2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

四川省德陽五中2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.在等差數(shù)列{4}中，%+%=2,則S9等于

A.2B.18

C.4D.9

2.《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解

本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過

《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的

學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為

A.0.5B.0.6

C.0.7D.0.8

3.已知M是拋物線：/=4x上的一點(diǎn)，R是拋物線的焦點(diǎn)，若以為始邊，府為終邊的角=60°，貝！J|引以|

等于（）

A.2B.迪

3

C.273D.4

4.某中學(xué)高一年級有200名學(xué)生，高二年級有260名學(xué)生，高三年級有340名學(xué)生，為了了解該校高中學(xué)生完成作業(yè)

情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個容量為40的樣本，則高二年級抽取的人數(shù)為（）

A.10B.13

C.17D.26

5.已知全集U=AB={0,1,2,3,4,5},A={1,2,4},B=（）

A.{0}B.{3,5}

C.{0,3,5}D.{1,2,4}

6.經(jīng)過點(diǎn)（1,0）且圓心是兩直線x=l與x+y=2的交點(diǎn)的圓的方程為（）

A.(x-l)2+y2=1B.(x-l)2+(y-l)2=l

C.x2+(y-l)2=1D.(x-l)2+(y-l)2=2

7.已知集合4={—2,—l,0,l,2},3={x[(x—l)(x+2)<0},則AB=()

A.{-1,0}B.{0,l}

C.{-1,0,1}D.{0,1,2}

C.16D.32

9.過點(diǎn)A（2,l）且斜率為2的直線方程為（）

A.2x-y+3=0B.2x—y—3=0

C.x-2y+l=0D.x-2y=0

10.等差數(shù)列｛/｝中，已知%〉o,a2+al0<Q,貝！J｛4｝的前〃項和S”的最小值為（）

A.S5B.S6

C.S7D.S8

22

11.設(shè)雙曲線C：A—==l（a〉0/〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為6,B，點(diǎn)P在雙曲線C上，若線段P片的中點(diǎn)在y

ab

軸上，且△尸耳心為等腰三角形，則雙曲線C的離心率為（）

A1+72B,2

C.2+V2D.V2

12.ua<\n是“函數(shù)/(0=X3-3分2+3分+27在R上無極值”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某工廠年前加緊手套生產(chǎn)，設(shè)該工廠連續(xù)5天生產(chǎn)的手套數(shù)依次為耳，巧，無3，5，%（單位：萬只），若這

22

組數(shù)據(jù)X1,巧，無3，％，尤5的方差為4,且葉，V，x3,x4,的平均數(shù)為8,則該工廠這5天平均每天生

產(chǎn)手套萬只

14.已知橢圓C：二+匕=1,A,3是橢圓C上的兩個不同的點(diǎn)，設(shè)P1,彳，若茄=拓，則直線A8的方程為

43I2J

15.已知向量&,b=（-2,2,y）,a-b=。，貝！I2x-_y=.

22

16.已知拋物線>2=2px（p〉0）的焦點(diǎn)尸恰好是橢圓二+==1的右焦點(diǎn)，且兩條曲線交點(diǎn)的連線過點(diǎn)歹，則該橢

ab"

圓的離心率為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）設(shè)函數(shù)/（x）=adnx+b,a彳0

（1）若曲線y=/（x）在點(diǎn)（1"（D）處的切線方程為y=2x+l,求a/；

（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間

18.（12分）已知橢圓C:工+==l（a〉6〉0）,離心率e=@，耳,工分別為左右焦點(diǎn)，橢圓C上一點(diǎn)M滿足

ab2

且△/4月的面積為1.

MFXLMF2,

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)T（l,0）作斜率為k（k>0）的直線/交橢圓C于A3兩點(diǎn).過點(diǎn)0且平行于I的直線交橢圓于點(diǎn)P,Q,證明：

”為定值.

\OP\-

19.（12分）已知直線（：2x—y+6=0和乙：x-y+l=0的交點(diǎn)為p

（1）若直線/經(jīng)過點(diǎn)P且與直線4：4x-3y-5=0平行，求直線/的方程；

（2）若直線加經(jīng)過點(diǎn)P且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5,求直線冽的方程

20.（12分）某中學(xué)共有3000名學(xué)生，其中高一年級有1200名學(xué)生，為了解學(xué)生的睡眠情況，用分層抽樣的方法,

在三個年級中抽取了200名學(xué)生，依據(jù)每名學(xué)生的睡眠時間（單位：小時），繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求樣本中高一年級學(xué)生的人數(shù)及圖中。的值；

(2)估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)(保留兩位小數(shù))；

(3)估計全校睡眠時間超過7個小時的學(xué)生人數(shù).

21.(12分)已知圓G：+/—4x—6y+12=0與：%?++2x—4y—4=0

(1)過點(diǎn)尸(3,5)作直線/與圓G相切，求/的方程；

(2)若圓G與圓相交于A、B兩點(diǎn),求A3的長

22.(10分)設(shè)A,3為雙曲線C：1—1=1(a>0,b>0)的左、右頂點(diǎn)，直線/過右焦點(diǎn)R且與雙曲線。的

a"b，

右支交于河，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線/垂直于x軸時，△AAW為等腰直角三角形

(1)求雙曲線。的離心率；

(2)若雙曲線左支上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)F點(diǎn)距離的最小值為3,

①求雙曲線方程；

②已知直線A",AN分別交直線x=處于尸，Q兩點(diǎn)，當(dāng)直線/傾斜角變化時，以尸。為直徑的圓是否過x軸上

2

的定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】利用等差數(shù)列性質(zhì)得到%=1，S9=9%,計算得到答案.

詳解】等差數(shù)列{4}中，%+%=2a$=2,%-1

+x9

S,=^^=9a5=9

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的計算，利用性質(zhì)可以簡化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.

2、C

【解析】根據(jù)題先求出閱讀過西游記人數(shù)，進(jìn)而得解.

【詳解】由題意得，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70,則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為70+100=0.7.故選C

【點(diǎn)睛】本題考查容斥原理，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取去重法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題

3、D

【解析】設(shè)點(diǎn)M平,為,取。=(1,0),可得cos<EM,a>=5,求出y；的值，利用拋物線的定義可求得|方河|的

值.

2(2

【詳解】設(shè)點(diǎn)"(知九)，其中/=場則尸(1,0),FM=普—1,為

414

￡

?。?0）則cos<RM,a〉=

取。=（1，0），則\FM\-\a\2>

22

可得?！驗?〉。，可得心4,解得標(biāo)⑵則x0U=3,

因此，[MF]=/+1=4.

故選：D.

4、B

【解析】計算出抽樣比可得答案.

【詳解】該校高中學(xué)生共有200+260+340=800名,

40

所以高二年級抽取的人數(shù)一x260=13名.

800

故選：B.

5、C

【解析】根據(jù)條件可得1,2,4貝!!1,2,4任6,結(jié)合條件即可得答案.

【詳解】因A(e5)={1,2,4},所以1,2,46心3,貝!)1,2,405,

又。=A8={0,1,2,3,4,5},所以0,3,5^5,即6={0,3,5}.

故選：C

6、B

【解析】求出圓心坐標(biāo)和半徑后，直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

X=1x=l

【詳解】由c得

[x+y=2[y=l

即所求圓的圓心坐標(biāo)為(1,1).

由該圓過點(diǎn)(L0),得其半徑為1,

故圓的方程為(x-1)2+(y-l)2=l.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.

7、A

【解析】由已知得3={幻―2<%<1},

因為A={—2,—1,0,1,2},

所以Ac5={—1,0},故選A

8、C

【解析】根據(jù)程序框圖的循環(huán)邏輯寫出執(zhí)行步驟，即可確定輸出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)流程圖的執(zhí)行邏輯，其執(zhí)行步驟如下：

1、S=0W15成立，則S=2°=l;

2、S=1W15成立，則S=21=2;

3、S=2415成立，則S=2?=4;

4、S=4415成立，則S=24=16;

5、S=16<15不成立，輸出S=16；

故選：C

9、B

【解析】利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.

【詳解】由題意可知所求直線的方程為y—1=2(x—2),即2x-y-3=0.

故選：B.

10、B

【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)將出+。10<。轉(zhuǎn)化為。6<°，而%〉°，可知數(shù)列是遞增數(shù)，從而可求得結(jié)果

【詳解】?.?等差數(shù)列｛4｝中,d2?,

/.a2+々I。=2a6<0，即〃6<0.又%>°，

｛an｝的前〃項和S,的最小值為S6

故選：B

11,A

【解析】根據(jù)片鳥是等腰直角三角形，再表示出P耳,0心的長，利用三角形的幾何性質(zhì)即可求得答案.

【詳解】線段「耳的中點(diǎn)在y軸上，設(shè)2K的中點(diǎn)為

因為。為耳B的中點(diǎn)，所以O(shè)MPF],

而與耳，則P耳，耳工，

為等腰三角形，故|PKI=IEKI=2c,

由|PKHPKI=2a,得|PKI=2a+2c,

又月心為等腰直角三角形，故|。耳|=拒*巴|,

BP2a+2c=42x2c，解得工=應(yīng)+1，即6=a+1，

a

故選：A.

12、B

【解析】根據(jù)極值的概念，可知函數(shù)/(X)在R上無極值，則方程/4X)=0的△<(),再根據(jù)充分、必要條件判斷,

即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意，可得/'(x)=3f-6依+3。，

若函數(shù)/(x)=x3_3ar2+3方+27在R上無極值，

所以對于方程/'(%)=3%2-6以+3。=0,A=36/-36a<0,

解得0<(2<l.

所以“aWl”是“函數(shù)/(力=為3—3加+3狽+27在R上無極值”的必要不充分條件.

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2

【解析】結(jié)合方差、平均數(shù)的公式列方程，化簡求得正確答案.

155

【詳解】依題意三*￡七2=8=>>2=40

5；=ii=i

設(shè)7=0+/+尤3+%4+%5>Q,

1(5_2、__

則=4,40-5xx22=20,%2=4,x=2-

?Ii=l7

故答案為：2

14、3x+2y—4=0

【解析】由已知可得夕為AB的中點(diǎn)，再由點(diǎn)差法求A3所在直線的斜率，即可求得直線的方程

122

【詳解】由罰=拓，可得尸為AB的中點(diǎn)，且P(l,‘)在橢圓C:3+g=l內(nèi),

設(shè)4（再，%）,B（X2,%），

22

貝!I工+里=1,=1，

4343

.（石一%）（石+%）_（%—%）（%+%）

"4~3

則之二&=_3(占+尤2)一言二一3即A3所在直線的斜率為一|

司-%4(%+%)

13

二直線A3的方程為>一；=一］?-1),即3x+2y—4=0

故答案為：3尤+2k4=0

15、2

【解析】由空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.

【詳解】因為a=(x,1,1),b=(—2,2,y),。力=o，

所以一2x+2+y=0,2x-y=2.

故答案為：2.

16、72-1

【解析】設(shè)兩條曲線交點(diǎn)為43根據(jù)橢圓和拋物線對稱性知AB±x軸，不妨點(diǎn)A在第一象限，由A在拋物線上得

A(￡,p),A在橢圓上得A(c,生)

2a

2

______nA

c-1a2+,2.則由條件得：一=c且〃=—.2ac=b1lac=c1—a1

2a

e2—2e—1=0.解得e=l+0,e=l—應(yīng)(舍去)

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)a—2,b—3

(2)答案見解析

【解析】(1)求出尸(%),廣⑴=2"⑴=3,建立方程關(guān)系，即可求出結(jié)論；

(2)對。分類討論，求出的單調(diào)區(qū)間.

【小問1詳解】

由于切點(diǎn)在切線上，所以y=2xl+l=3,函數(shù)通過點(diǎn)(1,3)

⑴=0+匕=3/=3

又f(x)=a(lnx+l),根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，/”)=a(lnl+l)=a=2

a=2,。=3；

【小問2詳解】

由可知/'(%)=a(lnx+l)x>0

當(dāng)a>0時，/'(%)=a(lnx+l)>。貝！<0,0<x<-

ee

當(dāng)a<0時，/'(x)=a(lnx+l)>0則0<x<,；f(x)<Q,x>-

..?當(dāng)a〉0時，的單調(diào)遞減區(qū)間為[()，!],單調(diào)遞增區(qū)間為

當(dāng)“<0時，〃x)單調(diào)遞增區(qū)間為[o,g],單調(diào)遞減區(qū)間為

2

18、(1)—+/=1

4'

(2)證明見解析

【解析】(1)方法一：根據(jù)離心率以及a2=》2+c2,可得出a：〃：c=2:l:，L將條件引，Mg轉(zhuǎn)化為點(diǎn)"在

以耳心為直徑的圓上，即為圓與橢圓的交點(diǎn)，將瑪?shù)拿娣e用;閨6||加|表示，求出匕=1，進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)

準(zhǔn)方程；方法二：根據(jù)橢圓的定義|5|+W里|=2a,但月|=2c,再根據(jù)勾股定理和直角三角形的面積公式，即可

解得廿=1,又由離心率求出。，則可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)出直線A3的方程，代入橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示出|力4|.|毒』七士),再將直線PQ的方程代入橢

1+4左

圓方程，求出|。尸『=業(yè)，，則端票3

=:為定值.

1+4左2|。尸|4

【小問1詳解】

方法一：由離心率6=走,。2=尸+°2,得：

a;b:c=?:\:6,

2

所以。=2b,c=6b

橢圓C上一點(diǎn)“，滿足嗎片，

22

所以點(diǎn)/為圓：/+/=,2=3/與橢圓。：一的交點(diǎn)，

聯(lián)立方程組解得|y|=3

所以S晚巴=：|耳心卜血|=：

=Z?2=1,

解得：b=l,a=2,

y2

所以橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+/=1.

4

方法二：由橢圓定義；MF1+MF2=2a,

因為班所以5峭a=；|町卜|崢|=1,

21

MF\+MF^=4c=（MFi+MF2）-2MFl-MF2

得到：4c2=4a2—4?即從=i,

5Le-,a2=Z?2+c2>得a=2,c=6

2

尤2

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+/=1；

4'

【小問2詳解】

設(shè)直線A3的方程為：y=k(x—1)

y=k（x-1）

x2i

—+y2=1

14'

得（1+4左2）%2—8左2工+4左2—4=0

8k24k2-4

X,+%2=------------.%2=-----------------------7

121+4F121+4〃

：.\TA\-\TB\=J1+左2|石-1|,Jl+42k2-1|

=（1+左2玉馬—（玉+W）+1]

=（"）-1=u

\,1+4左21+4/1+4公

設(shè)過點(diǎn)。且平行于/的直線PQ方程：y=kx

y=kx

4

尤2,爐+止/=4,xj=

—+y2=11+4左2

14.

4（1+r）

|00|2=（a+葉4

1+4公1+止

3（1+/）

.如陽不心=3

,|OP|24（1+產(chǎn)）4

1+442

19、(1)4x-3y+8=0

(2)2x—5y—10=0或8x—5y+20=0

【解析】(1)由已知可得交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)直線間的位置關(guān)系可得直線方程；

(2)設(shè)直線方程，根據(jù)直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，列出方程組，解方程.

【小問1詳解】

2x-y+6=0fx=-5

解：聯(lián)立4的方程“，八，解得,，即尸(-5,T)

x-y+l=01y=—4

設(shè)直線/的方程為：4x-3y+c=0,將尸(―5,T)帶入可得c=8

所以/的方程為：4x-3y+8=0；

【小問2詳解】

解：法①：易知直線機(jī)在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為0,設(shè)直線方程為：-+-=1,

ab

f-5-41

——+—=1

ab

則直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)為A(〃,0),6(0))，由題意得<

；岫=5

r<5

解得：1,?；颉?

,=一2』

x2_i

所以直線冽的方程為：三+==1或下+a

5—2——

即：2x—5y—10=0或8%—5y+20=0.

法②：設(shè)直線加的斜率為左(左。0),則加的方程為丁+4=左(％+5),

當(dāng)無=0時，y=5k-4

4

當(dāng)y=0時，^=--5

k

1498

所以力5左_4匕一5=5,解得：k=±或k-

2Q

所以m的方程為y+4=,(x+5)或y+4=g(x+5)

即：2x—5y—10=0或8%—5y+20=0.

20、(1)樣本中高一年級學(xué)生的人數(shù)為80,a=0.66；

(2)7.42；

(3)2340

【解析】(1)利用分層抽樣可求得樣本中高一年級學(xué)生的人數(shù)，利用頻率直方圖中所有矩形的面積之和為1可求得。的

值；

(2)利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為0.5可求得中位數(shù)的值；

(3)利用頻率分布直方圖可計算出全校睡眠時間超過7個小時的學(xué)生人數(shù).

【小問1詳解】

解：樣本中高一年級學(xué)生的人數(shù)為期x1200=80.

3000

(0.74+a+0.34+0.12+0.10+0.04)x0.5=1,解得a=0.66.

【小問2詳解】

解：設(shè)中位數(shù)為x,前兩個矩形的面積之和為605+0.17=0.22<0.5,

前三個矩形的面積之和為0.22+0.33=0.55>0.5,所以7<x<7.5,

則0.10x0.5+0.34x0.5+0.66(%-7)=0.5,得龍士7.42,

故樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為7.42.

【小問3詳解】

解：由圖可知，樣本數(shù)據(jù)落在［7,9］的頻率為(0.74+0.66+0.12+0.04)x0.5=0.78,

故全校睡眠時間超過7個小時的學(xué)生人數(shù)約為3000x0.78=2340.

21、(1)%=3或3x—4y+ll=0

⑵①

5

【解析】(1)根據(jù)已知可得圓心與半徑，再利用幾何法可得切線方程；

(2)聯(lián)立兩圓方程可得公共弦方程，進(jìn)而可得弦長.

【小問1詳解】

解：圓G的方程可化為：(x—2)2+(y—3)2=1,即：圓G的圓心為(2,3),半徑為1

若直線/的斜率不存在，方程為：1=3,與圓G相切，滿足條件

若直線/的斜率存在，設(shè)斜率為左，方程為：y-5=k(x-3),即：kx-y+5-3k^0

|2左一3+5—3左|.3

由/與圓G相切可得：——rv=—=1，解得：k=-

3

所以/的方程為：y—5==(x—3),BP：3x—4y+ll=0

綜上可得/的方程為：1=3或3x—4y+ll=0

【小問2詳解】

%2+y2-4.v-6y+12=0

聯(lián)立兩圓方程得：

爐+J+2x-4y-4=0

消去二次項得AB所在直線的方程：3光+y-8=0,

圓G的圓心到AB的距離d=13干+3―8|

V32+12

3M

所以A3=2

5

22、（1）e=2；

2

⑵①山―q=i；②定點(diǎn)有兩個（2,0）,（-1,0）

【解析】（1）由雙曲線方程