中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)思索，使抽象思維和形象思維相結(jié)合；或是借助形的生動(dòng)和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的；或是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，通過(guò)“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化．利用數(shù)形結(jié)合思想解題主要涉及兩大類：(1)利用幾何圖形直觀表示數(shù)，常借助數(shù)軸、函數(shù)圖象等；(2)運(yùn)用數(shù)量關(guān)系來(lái)研究幾何圖形的問(wèn)題，常需建立方程（組）或建立函數(shù)關(guān)系式等．本文選取幾例，說(shuō)明數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用，供參考．一、在數(shù)與式問(wèn)題中的應(yīng)用例1下列圖案是晉商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗紙上所貼的剪紙，則第n個(gè)圖中所貼剪紙“○”的個(gè)數(shù)為_______．分析第一個(gè)圖案為4個(gè)窗花＋1個(gè)窗花，第二個(gè)圖案為6個(gè)窗花＋2個(gè)窗花，第三個(gè)圖案為9個(gè)窗花＋2個(gè)窗花，…從而可以探究第n個(gè)圖案所貼窗花數(shù)為(2n＋2)＋n＝3n＋2個(gè)．點(diǎn)評(píng)將圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為解題所需的數(shù)據(jù)，以形想數(shù)，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律得出結(jié)果．二、在方程與不等式中的應(yīng)用例2已知關(guān)于x的不等式組只有四個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______．分析解x－a≥a，得x≥2a；①解5－2x>1，得x<2． ②因?yàn)樵摬坏仁浇M有解，由①、②得該不等式組解集為a≤x<2，如圖2．用數(shù)軸表示為由圖2，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是－3<a≤－2．點(diǎn)評(píng)借助數(shù)軸將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形，利用圖形更直觀地觀察出實(shí)數(shù)a的取值范圍．例3在直角坐標(biāo)系中直接畫出函數(shù)y＝的圖象，若一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象分別過(guò)點(diǎn)A（－1，1），B(2，2)．請(qǐng)你依據(jù)這兩個(gè)函數(shù)的圖象寫出方程組的解．分析由圖象可知，方程的解為：或．點(diǎn)評(píng)通過(guò)作一次函數(shù)的圖象，可以直觀地確定出方程組的解．體會(huì)到方程組的解與圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)密切關(guān)系，品味出數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)在的魅力．三、在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用例4某加油站五月份營(yíng)銷一種油品的銷售利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與銷售量x（萬(wàn)升）之間函數(shù)關(guān)系的圖象如圖4中折線所示，該加油站截止到13日調(diào)價(jià)時(shí)的銷售利潤(rùn)為4萬(wàn)元，截止至15日進(jìn)油時(shí)的銷售利潤(rùn)為5.5萬(wàn)元．（銷售利潤(rùn)＝（售價(jià)－成本價(jià)）×銷售量）請(qǐng)你根據(jù)圖象及加油站五月份該油品的所有銷售記錄（如圖5）提供的信息，解答下列問(wèn)題：(1)求銷售量x為多少時(shí)，銷售利潤(rùn)為4萬(wàn)元；(2)分別求出線段AB與BC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(3)我們把銷售每升油所獲得的利潤(rùn)稱為利潤(rùn)率那么，在OA，AB，BC三段所表示的銷售信息中，哪一段的利潤(rùn)率最大？（直接寫出答案）分析(1)根據(jù)題意，當(dāng)銷售利潤(rùn)為4萬(wàn)元，銷售量為4÷(5－4)＝4萬(wàn)升；(2)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，4)，從13日到15日利潤(rùn)為5.5－4＝1.5（萬(wàn)元），所以銷售量為1.5÷(5.5－4)＝1（萬(wàn)升）．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，5.5)，得到線段AB所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝1.5x－2(4≤x≤5)．從15日到31日銷售5萬(wàn)升，利潤(rùn)為1×1.5＋4×(5.5－4.5)＝5.5（萬(wàn)元），所以本月銷售該油品的利潤(rùn)為5.5＋5.5＝11（萬(wàn)元），所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(10，11)．則線段BC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝1.1x(5≤x≤10)．(3)線段AB．點(diǎn)評(píng)在解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意觀察函數(shù)圖象的形狀特征，理解圖表中有用的信息，充分從函數(shù)圖象中挖掘已知條件，確定函數(shù)的解析式，從而利用函數(shù)的圖象性質(zhì)來(lái)解．四、在概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用例5甲口袋中裝有兩個(gè)相同的小球，它們分別寫有1和2；乙口袋中裝有三個(gè)相同的小球，它們分別寫有3，4和5；丙口袋中裝有兩個(gè)相同的小球，它們分別寫有6和7．從這3個(gè)口袋中各隨機(jī)地取出1個(gè)小球．(1)取出的3個(gè)小球上恰好有兩個(gè)偶數(shù)的概率是多少？(2)取出的3個(gè)小球上全是奇數(shù)的概