高一數(shù)學(xué)寒假（人教B版 第一冊(cè)）第01講 集合與常用邏輯用語(yǔ)（教師卷）

第01講集合與常用邏輯用語(yǔ)【易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)】集合的概念1.集合的概念元素：把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，用小寫拉丁字母a、b、c表示.集合：把一些元素組成的總體叫做集合，或簡(jiǎn)稱集，用大寫字母A、B、C表示.集合中元素的特征：確定性一個(gè)集合中的元素必須是確定的，即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個(gè)特性通常被用來(lái)判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合互異性集合中的元素必須是互異的．對(duì)于一個(gè)給定的集合，它的任何兩個(gè)元素都是不同的．這個(gè)特性通常被用來(lái)判斷集合的表示是否正確，或用來(lái)求集合中的未知元素?zé)o序性集合與其中元素的排列順序無(wú)關(guān)，如a，b，c組成的集合與b，c，a組成的集合是相同的集合．這個(gè)特性通常被用來(lái)判斷兩個(gè)集合的關(guān)系只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個(gè)集合是相等的.注意：集合的判斷從元素的三要素入手，考察確定性的問(wèn)題一般出現(xiàn)在自然語(yǔ)言表示的集合，要注意題目中不明確的詞語(yǔ)，例如：“很大”、“著名”等。考察互異性的問(wèn)題一般是針對(duì)數(shù)字類的題目，注意同一個(gè)數(shù)字不同的表示方法。元素與集合的關(guān)系如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A，記做；如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于集合A，記做.熟記數(shù)學(xué)中一些常用的數(shù)集及其記法符號(hào)名稱含義N非負(fù)數(shù)集或自然數(shù)集全體非負(fù)整數(shù)組成的集合N*或正整數(shù)集所有正整數(shù)組成的集合Z整數(shù)集全體整數(shù)組成的集合Q有理數(shù)集全體有理數(shù)組成的集合R實(shí)數(shù)集全體實(shí)數(shù)組成的集合注意：當(dāng)元素屬于集合時(shí)，應(yīng)該進(jìn)行分類討論求出參數(shù)，參數(shù)代入驗(yàn)證集合中的元素是否滿足元素的三個(gè)特征。集合的分類與表示集合的分類：（1）按元素的數(shù)量分為有限集、無(wú)限集、空集；（2）按元素的屬性分為數(shù)集、點(diǎn)集以及其他集合.表示方法：（1）自然語(yǔ)言描述法.（2）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“｛｝”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法。（3）描述法：設(shè)A是一個(gè)集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為｛x∈A｜P(x)｝，這種表示集合的方法稱為描述法．二、集合間的基本關(guān)系子集和真子集子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集.記作：讀作：“A包含于B”(或“B包含A”)符號(hào)語(yǔ)言：任意Venn圖：在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖.A?B可以用圖表示為：真子集：如果集合A?B,但存在元素x∈B，且xA，就稱集合A是集合B的真子集.記作：（或).空集空集：一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記為?.空集是任何集合的子集，即對(duì)于任意一個(gè)集合A，有??A集合相等：對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們就說(shuō)集合A等于集合B，記作A=B.子集的個(gè)數(shù)若一個(gè)集合含有m個(gè)元素，則其子集有2m個(gè)，真子集有(2m-1)個(gè)，非空真子集有(2m-2)個(gè)；三、集合的基本運(yùn)算并集一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：A∪B讀作：“A并B”，即：A∪B={x|x∈A，或x∈B};Venn圖表示:交集一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作：A∩B，讀作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn圖表示：補(bǔ)集全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作U.補(bǔ)集：對(duì)于全集U的一個(gè)子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集(complementaryset)，簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作：即；補(bǔ)集的Venn圖表示：四、充分條件與必要條件1.充分條件與必要條件命題真假“若p，則q”是真命題“若p，則q”是假命題推出關(guān)系p?qpq條件關(guān)系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件充要條件(1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就記作p?q.此時(shí)，我們說(shuō)，p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件．概括地說(shuō)，如果p?q，那么p與q互為充要條件．(2)若p?q，但qp，則稱p是q的充分不必要條件．(3)若q?p，但pq，則稱p是q的必要不充分條件．(4)若pq，且qp，則稱p是q的既不充分也不必要條件．3.從集合角度看充分、必要條件若A?B，則p是q的充分條件，若AB，則p是q的充分不必要條件若B?A，則p是q的必要條件，若BA，則p是q的必要不充分條件若A=B，則p，q互為充要條件若?或?，但則p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件五、全稱量詞與存在量詞1.全稱量詞與全稱量詞命題(1)短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“?”表示．(2)含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題，通常將含有變量x的語(yǔ)句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，變量x的取值范圍用M表示，那么全稱量詞命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為?x∈M，p(x)．2.存在量詞與存在量詞命題(1)短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“?”表示．(2)含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題，存在量詞命題“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“?x∈M，p(x)”．3.含有一個(gè)量詞的命題的否定﹁一般地，對(duì)于含有一個(gè)量詞的命題的否定，有下面的結(jié)論：全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)；存在量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)．全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：集合的概念1．現(xiàn)有以下說(shuō)法，其中正確的是①接近于0的數(shù)的全體構(gòu)成一個(gè)集合；②正方體的全體構(gòu)成一個(gè)集合；③未來(lái)世界的高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個(gè)集合；④不大于3的所有自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合．A．①② B．②③ C．③④ D．②④【答案】D【詳解】在①中，接近于0的標(biāo)準(zhǔn)不明確，不滿足集合中元素的確定性，不能構(gòu)成一個(gè)集合，故①錯(cuò)誤；在②中，正方體的全體能構(gòu)成一個(gè)集合，故②正確；在③中，未來(lái)世界的高科技產(chǎn)品不能構(gòu)成一個(gè)集合，高科技的標(biāo)準(zhǔn)不明確，不滿足集合中元素的確定性，故③錯(cuò)誤；在④中，不大于3的所有自然數(shù)能構(gòu)成一個(gè)集合，故④正確．故選D．2．下列四個(gè)命題：①{0}是空集；②若a∈N，則－a?N；③集合{x∈R|x2－2x＋1＝0}含有兩個(gè)元素；④集合是有限集．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2C．3 D．0【答案】D【詳解】①{0}是含有一個(gè)元素0的集合，不是空集，所以①不正確；②當(dāng)a＝0時(shí)，0∈N，所以②不正確；③因?yàn)橛蓌2－2x＋1＝0，得x1＝x2＝1，所以{x∈R|x2－2x＋1＝0}＝{1}，所以③不正確；④當(dāng)x為正整數(shù)的倒數(shù)時(shí)，∈N，所以是無(wú)限集，所以④不正確．故選：D考點(diǎn)二：集合的基本關(guān)系3．已知集合，，則下列關(guān)系正確的是（

）A．M＝N B．MNC．N?M D．NM【答案】B【詳解】由集合，，可知M是N的真子集，故A、C錯(cuò)誤，B正確；集合、之間不是元素與集合的關(guān)系，故D錯(cuò)誤.故選：B.4．給出以下5組集合：①M(fèi)＝{(－5，3)}，N＝{－5，3}；②M＝{1，－3}，N＝{3，－1}；③M＝，N＝{0}；④M＝{}，N＝{3.1415}；⑤M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}.其中是相等集合的有（

）A．1組 B．2組C．3組 D．4組【答案】A【詳解】對(duì)于①，M＝{(－5，3)}中只有一個(gè)元素(－5，3)，N＝{－5，3}中有兩個(gè)元素－5，3，故M，N不是相等集合；對(duì)于②，M＝{1，－3}，N＝{3，－1}，集合M和集合N中的元素不同，故M，N不是相等集合；對(duì)于③，M＝，N＝{0}，M是空集，N中有一個(gè)元素0，故M，N不是相等集合；對(duì)于④，M＝{}，N＝{3.1415}，M和N中各有一個(gè)元素，但元素不相同，故M，N不是相等集合；對(duì)于⑤，M和N都只有兩個(gè)元素1，2，所以M和N是相等集合.故選：A.考點(diǎn)三：集合的基本運(yùn)算5．設(shè)全集，集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：D．6．已知集合，集合，則下列關(guān)系式正確的是（

）A． B．C．或 D．【答案】D【詳解】解：，，，故A不正確；，故B不正確；或，或或，故C不正確；或，故D正確．正確的是D．故選：D．考點(diǎn)四：充分條件與必要條件7．若為實(shí)數(shù)，則是的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】由題意，若，則或，故充分性不成立；若，則，故必要性成立.因此，是的必要不充分條件.故選：B8．“x=3”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不必要也不充分【答案】A【詳解】由可得，即或則“x=3”是“”的充分不必要條件故選：A考點(diǎn)五：全稱量詞與存在量詞9．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【詳解】命題“，”的否定是“，”故選：B.10．已知命題，若為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】命題為真命題，則，解得或故選：B【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】一、單選題1．一次函數(shù)與的圖像交點(diǎn)組成的集合是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】聯(lián)立方程組，解得，所以兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)組成的集合是.故選：C.2．已知集合，則（

）A． B．C． D．R【答案】D【詳解】由題意可得，，則.故選：D.3．《三字經(jīng)》中有一句“玉不琢，不成器”，其中“打磨玉石”是“成為器物”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】“打磨玉石”不一定“成為器物”，故充分性不成立，但“成為器物”一定要“打磨玉石”，故必要性成立，所以“打磨玉石”是“成為器物”的必要不充分條件.故選:B.4．若命題p：“，”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題可知，，則有，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以，故選:C.5．已知集合，，則子集的個(gè)數(shù)為（

）．A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【詳解】解：集合，，則集合中含有3個(gè)元素，故集合的子集個(gè)數(shù)為．故選：D．6．設(shè)，，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B.7．某小學(xué)對(duì)小學(xué)生的課外活動(dòng)進(jìn)行了調(diào)查．調(diào)查結(jié)果顯示：參加舞蹈課外活動(dòng)的有63人，參加唱歌課外活動(dòng)的有89人，參加體育課外活動(dòng)的有47人，三種課外活動(dòng)都參加的有24人，只選擇兩種課外活動(dòng)參加的有22人，不參加其中任何一種課外活動(dòng)的有15人，則接受調(diào)查的小學(xué)生共有多少人？（

）A．120 B．144 C．177 D．192【答案】B【詳解】如圖所示，用韋恩圖表示題設(shè)中的集合關(guān)系，不妨將參加舞蹈、唱歌、體育課外活動(dòng)的小學(xué)生分別用集合表示，則，，不妨設(shè)總?cè)藬?shù)為，韋恩圖中三塊區(qū)域的人數(shù)分別為，即，，由容斥原理：，解得：，故選：B.8．已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值構(gòu)成的集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】.因?yàn)?，所以，?當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程無(wú)解，所以；當(dāng)時(shí)，是關(guān)于x的方程的根，所以；當(dāng)時(shí)，是關(guān)于x的方程的根，所以.故實(shí)數(shù)的取值構(gòu)成的集合為.故選：D二、多選題9．已知全集，集合、滿足?，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】因?yàn)?，所以，，因此選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)?，所以存在，因此有，所以，因此選項(xiàng)C不正確；因?yàn)?，所以都有，而，所以，因此選項(xiàng)D正確，故選：BD10．下列說(shuō)法正確的是（

）A．命題“，”的否定是“，”B．存在，使得是真命題；C．若命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)n的取值范圍是D．已知集合，則滿足條件的集合B的個(gè)數(shù)為15【答案】AC【詳解】對(duì)于A：命題“，”的否定是“，”，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋捶匠虩o(wú)實(shí)數(shù)解，也無(wú)有理數(shù)解，即存在，使得是假命題，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若命題“，”為假命題，則若命題“，”為真命題，即無(wú)實(shí)數(shù)解，則，解得，即選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋?，又因?yàn)椋詽M足條件的集合有無(wú)數(shù)個(gè)，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題11．已知全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為__________．【答案】【詳解】由題意得，，全集，所以，所以圖中陰影部分表示的集合為.故答案為：12．已知命題p：，.若命題為真命題，則實(shí)數(shù)a的最大值是______.【答案】－4【詳解】因?yàn)槊}p：，，所以命題：，，因?yàn)槊}為真命題，所以在上恒成立，令，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以實(shí)數(shù)a的最大值為，故答案為：.四、解答題13．已知集合，集合．(1)求；(2)設(shè)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，或，(2)【詳解】（1）由題得，集合，集合所以或，所以.（2）由（1）得或由題得，，因?yàn)椋?，解得．所以?shí)數(shù)的取值范圍是．14．命題：“，”，命題：“，”，若，都為真命題時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】【詳解】由，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)單調(diào)遞增，所以有，因?yàn)闉檎婷}，所以有；因?yàn)闉檎婷}，所以方程有實(shí)數(shù)根，因此有，或，因此要想，都為真命題，只有，或，解得，或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.15．已知全集，集合，集合.條件①；②是的充分條件：③，使得.(1)若，求；(2)若集合A，B滿足條件___________.（三個(gè)條件任選一個(gè)作答），求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）若，則，（2）（2）若選①因?yàn)樗?，則，所以所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.若選②是的充分條件，則，則，所以所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.若選③，使得，則，則，所以所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【能力提升】一、單選題1．已知集合，，，則（

）A． B． C．或 D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，，所以或，所以或．故選：C．2．若命題“，”為假命題，則的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【詳解】命題“，”的否定為“，”，該命題為真命題，即，解得.故選：A3．已知x、y都是實(shí)數(shù)，那么“”的充分必要條件是（

）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】對(duì)于A，，故“”是“”的充分不必要條件，不符合題意；對(duì)于B，，即“”是“”的充要條件，符合題意；對(duì)于C，由得，或，，不能推出，由也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，不符合題意；對(duì)于D，由，不能推出，由也不能推出，故“”是“”的既不充分也不必要條件，不符合題意；故選：B.4．若不等式成立的充分條件為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：不等式成立的充分條件是，設(shè)不等式的解集為A，則，當(dāng)時(shí)，，不滿足要求；當(dāng)時(shí)，，若，則，解得.故選：A.5．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】對(duì)于集合，有解得