人教A文科數(shù)課時試題及解析（）數(shù)列的綜合應用A

PAGEPAGE4課時作業(yè)(三十三)A[第33講數(shù)列的綜合應用][時間：45分鐘分值：100分]eq\a\vs4\al\co1(基礎熱身)1．數(shù)列{an}中，a1＝1，對所有的n≥2都有a1·a2·a3·…·an＝n2，則a3＝()A.eq\f(3,2)B.eq\f(9,4)C.eq\f(25,9)D.eq\f(25,16)2．將不等式x2－x<nx(n∈N*)的解集中的整數(shù)的個數(shù)構成的數(shù)列記為{an}，則該數(shù)列的通項公式是an＝()A．nB．2nC．2n－1D．n－13．一條信息，若一人得知后用一小時將信息傳給兩個人，這兩個人又用一小時各傳給未知信息的另外兩個人，如此繼續(xù)下去，要傳遍100萬人口的城市，所需的時間大約為()A．三個月B．一個月C．10天D．20小時4．已知數(shù)列{an}的首項a1＝1，且點An(an，an＋1)在函數(shù)y＝eq\f(x,x＋1)的圖象上．則該數(shù)列{an}的通項公式是an＝________.eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2n2－17n，則當Sn取得最小值時n的值為()A．4或5B．5或6C．4D．56．已知{an}為等差數(shù)列，其公差為－2，且a7是a3與a9的等比中項，Sn為{an}的前n項和，n∈N*，則S10的值為()A．－110B．－90C．90D．1107．設等比數(shù)列的公比為q，前n項和為Sn，若Sn，Sn＋1，Sn＋2成等差數(shù)列，則公比q()A．等于－2B．等于1C．等于1或－2D．不存在8．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比q≠1，a2，eq\f(1,2)a3，a1成等差數(shù)列，則eq\f(a3a4＋a2a6,a2a6＋a4a5)＝()A.eq\f(\r(5)＋1,2)B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(3－\r(5),2)D.eq\f(2＋\r(5),2)9．植樹節(jié)某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，現(xiàn)將樹坑從1到20依次編號，為使各位同學從各自樹坑前來領取樹苗所走的路程總和最小，樹苗可以放置的兩個最佳坑位的編號為()A．①和?B．⑨和⑩C．⑨和?D．⑩和?10．數(shù)列{an}中，a1＝2，點(log3an，an＋1)在函數(shù)y＝2×3x的圖象上，則{an}的通項公式為an＝________.11．已知a，b，c，d成等比數(shù)列，且a，d分別是函數(shù)f(x)＝x3－x在區(qū)間[2,3]上的最大值和最小值，則bc＝________.12．已知等差數(shù)列{an}，對于函數(shù)f(x)＝x5＋x3滿足：f(a2－2)＝6，f(a2010－4)＝－6，Sn是其前n項和，則S2011＝________.13．已知an＝2n－1(n∈N＋)，把數(shù)列{an}的各項排成如圖K33－1所示的三角數(shù)陣．記S(m，n)表示該數(shù)陣中第m行中從左到右的第n個數(shù)，則S(10,6)對應數(shù)陣中的數(shù)是________．135791113151719…圖K33－114．(10分)當p1，p2，…，pn均為正數(shù)時，稱eq\f(n,p1＋p2＋…＋pn)為p1，p2，…，pn的“均倒數(shù)”．已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且其前n項的“均倒數(shù)”為eq\f(1,2n＋1).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設cn＝eq\f(an,2n＋1)(n∈N*)，試比較cn＋1與cn的大?。?5．(13分)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f(an,2an＋1)(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；(2)設：eq\f(2,bn)＝eq\f(1,an)＋1，求數(shù)列{bnbn＋1}的前n項和Tn.eq\a\vs4\al\co1(難點突破)16．(12分)設數(shù)列{bn}滿足：b1＝eq\f(1,2)，bn＋1＝beq\o\al(2,n)＋bn.(1)求證：eq\f(1,bn＋1)＝eq\f(1,bn)－eq\f(1,bn＋1)；(2)若Tn＝eq\f(1,b1＋1)＋eq\f(1,b2＋1)＋…＋eq\f(1,bn＋1)，對任意的正整數(shù)n,3Tn－log2m－5>0恒成立．求m的取值范圍．

課時作業(yè)(三十三)A【基礎熱身】1．B[解析]a2＝eq\f(22,a1)＝4，a3＝eq\f(32,a1a2)＝eq\f(9,4).故選B.2．A[解析]x2－x<nx(n∈N*)的解集為{x|0<x<n＋1(n∈N*)}，所以數(shù)列{an}前5項為1,2,3,4,5…，所以通項公式為an＝n.故選A.3．D[解析]每小時傳遞人數(shù)構成數(shù)列2,4,8，…，所以n小時共傳遞人數(shù)Sn＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1≈106，所以n≈20小時．4.eq\f(1,n)[解析]因為an＋1＝eq\f(an,an＋1)且a1＝1，所以eq\f(1,an＋1)＝1＋eq\f(1,an)，所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝1.所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.eq\f(1,an)＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝eq\f(1,n).【能力提升】5．C[解析]二次函數(shù)f(x)＝2x2－17x的對稱軸為直線x＝eq\f(17,4)，因為n∈N＋，所以當n＝4時，Sn＝2n2－17n有最小值．故選C.6．D[解析]由aeq\o\al(2,7)＝a3·a9，d＝－2，得(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解之得a1＝20，∴S10＝10×20＋eq\f(10×9,2)(－2)＝110.7．B[解析]依題意有2Sn＋1＝Sn＋Sn＋2，當q≠1時，有2a1(1－qn＋1)＝a1(1－qn)＋a1(1－qn＋2)，解得q＝1，但q≠1，所以方程無解；當q＝1時，滿足條件．8．B[解析]依題意，有a3＝a1＋a2，設公比為q，則有q2－q－1＝0，所以q＝eq\f(1＋\r(5),2)(舍去負值).eq\f(a3a4＋a2a6,a2a6＋a4a5)＝eq\f(a2a4q＋q2,a2a4q2＋q3)＝eq\f(1,q)＝eq\f(2,1＋\r(5))＝eq\f(\r(5)－1,2).故選B.9．D[解析]從實際問題中考慮將樹苗放在最中間的坑旁邊，則每個人所走的路程和最小，一共20個坑，為偶數(shù)，在中間的有兩個坑為10和11號坑，故答案選D.10．2n[解析]由已知得an＋1＝2×3log3an＝2an，顯然{an}的各項不為零，所以eq\f(an＋1,an)＝2，數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，an＝2×2n－1＝2n.11．144[解析]因為f′(x)＝3x2－1且x∈[2,3]，所以f′(x)>0，即f(x)在區(qū)間[2,3]上單調遞增，所以，a＝f(x)max＝f(3)＝24，d＝f(x)min＝f(2)＝6，所以bc＝ad＝144.12．6033[解析]f(x)為奇函數(shù)，所以由f(a2－2)＋f(a2010－4)＝0得f(a2－2)＝f(4－a2010)，所以a2－2＝4－a2010，即a2＋a2010＝6，所以S2011＝eq\f(2011a1＋a2011,2)＝eq\f(2011a2＋a2010,2)＝6033.13．101[解析]觀察知每一行的第1個數(shù)構成數(shù)列：1,3,7,13,21，…，相鄰兩項構成遞推關系：an＋1＝an＋2n，所以a10＝a9＋18＝a8＋16＋18＝a7＋14＋34＝a6＋12＋48＝a5＋10＋60＝a4＋8＋70＝13＋78＝91，即第10行的第1個數(shù)為91，所以第10行第6個數(shù)為101.14．[解答](1)由已知有a1＋a2＋…＋an－1＋an＝n(2n＋1)，則a1＋a2＋…＋an－1＝(n－1)(2n－1)，兩式相減，得an＝4n－1(n≥2)．又eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2×1＋1)，解得a1＝3＝4×1－1，∴an＝4n－1(n∈N*)．(2)∵cn＝eq\f(an,2n＋1)＝eq\f(4n－1,2n＋1)＝2－eq\f(3,2n＋1)，cn＋1＝eq\f(an＋1,2n＋3)＝2－eq\f(3,2n＋3)，∴cn＋1－cn＝eq\f(3,2n＋1)－eq\f(3,2n＋3)＞0，即cn＋1＞cn.15．[解答](1)由an＋1＝eq\f(an,2an＋1)得eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝2且eq\f(1,a1)＝1，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，所以eq\f(1,an)＝1＋2(n－1)＝2n－1，得an＝eq\f(1,2n－1).(2)由eq\f(2,bn)＝eq\f(1,an)＋1得eq\f(2,bn)＝2n－1＋1＝2n，∴bn＝eq\f(1,n)，從而bnbn＋1＝eq\f(1,nn＋1)，則Tn＝b1b2＋b2b3＋…＋bnbn＋1＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,nn＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).【難點突破】16．[解答](1)因為b1＝eq\f(1,2)，bn＋1＝beq\o\al(2,n)＋bn＝bn(bn＋1)，所以對任意的n∈N*，bn>0.所以eq\f(1,bn＋1)＝eq\f(1,bnbn＋1)＝eq\f(1,bn)－eq\f(1,bn＋1)，即eq\f(1,bn＋1)＝eq\f(1,bn)－eq\f(1,bn＋1).(2)Tn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b1)－\f(1,b2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,b3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)－\f(1,bn＋1)))＝eq\f(1,b1)－eq\f(1,bn＋1