人教A文科數(shù)課時(shí)試題及解析（6）合情推理與演繹推理

PAGEPAGE6課時(shí)作業(yè)(六十二)[第62講合情推理與演繹推理][時(shí)間：45分鐘分值：100分]eq\a\vs4\al\co1(基礎(chǔ)熱身)1．設(shè)f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn(x)＝f′n－1(x)，n∈N，則f2009(x)＝()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx2．下面幾種推理過程是演繹推理的是()A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，由此若∠A，∠B是兩條平行直線被第三條直線所截得的同旁內(nèi)角，則∠A＋∠B＝180°B．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人數(shù)超過50人C．由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)D．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1,an－1)))(n≥2)，由此歸納出{an}的通項(xiàng)公式3．我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，利用求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法，可以求出過點(diǎn)A(－3,4)，且法向量為n＝(1，－2)的直線(點(diǎn)法式)方程為：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化簡(jiǎn)得x－2y＋11＝0.類比以上方法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)A(1,2,3)且法向量為n＝(－1，－2,1)的平面(點(diǎn)法式)方程為：________________________________________________________________________.4．觀察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此規(guī)律，第五個(gè)等式應(yīng)為________________________________．eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．下列推理是歸納推理的是()A．A，B為定點(diǎn)，a>0且為常數(shù)，動(dòng)點(diǎn)P滿足||PA|－|PB||＝2a<|AB|，則PB．由a1＝1，an＝3n＋1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C．由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜想出橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面積S＝πabD．三角形ABC一條邊的長(zhǎng)度為4，該邊上的高為1，那么這個(gè)三角形的面積為26．把1,3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)子可以排成一個(gè)正三角形(如圖K62－1)，則第七個(gè)三角形數(shù)是()圖K62－1A．21B．28C．32D．367．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2x＋\r(2))，類比課本推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法計(jì)算f(－4)＋f(－3)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(4)＋f(5)的值為()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(5\r(2),2)C.eq\f(9\r(2),2)D.eq\f(\r(2),2)8．把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如下所示的三角形數(shù)表．設(shè)aij(i，j∈N*)是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù)，如a42＝8.若aij＝2009，則i與j的和為()eq\x(\a\al(1,24,357,681012,911131517,141618202224))A．105B．106C．107D．1089．在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.給出如下四個(gè)結(jié)論：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整數(shù)a，b屬于同一‘類’”的充要條件是“a－b∈[0]”．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D10．半徑為r的圓的面積S(r)＝πr2，周長(zhǎng)C(r)＝2πr，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則(πr2)′＝2πr①，①式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù)．對(duì)于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請(qǐng)你寫出類似于①的式子：②________，②式可以用語言敘述為：________________________________________________________________________.11．如圖K62－2，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖(2)，如此繼續(xù)下去，得圖(3)……圖K62－2試用n表示出第n個(gè)圖形的邊數(shù)an＝________.12．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，________，________，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．13．設(shè)f(x)定義如表，數(shù)列{xn}滿足x1＝5，xn＋1＝f(xn)，則x2011的值為________.x123456f(x)45126314.(10分)觀察①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝eq\f(3,4)；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝eq\f(3,4).由上面兩題的結(jié)構(gòu)規(guī)律，你能否提出一個(gè)猜想？并證明你的猜想．15．(13分)蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖K62－3為一組蜂巢的截面圖．其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)表示第n個(gè)圖的蜂巢總數(shù)．(1)試給出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表達(dá)式(不要求證明)；(2)證明：eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2)＋eq\f(1,f3)＋…＋eq\f(1,fn)<eq\f(4,3).圖K62－3eq\a\vs4\al\co1(難點(diǎn)突破)16．(12分)某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖K62－4(1)、圖(2)、圖(3)、圖(4)為她們刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成的，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式；(3)求eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2－1)＋eq\f(1,f3－1)＋…＋eq\f(1,fn－1)的值．圖K62－4

課時(shí)作業(yè)(六十二)【基礎(chǔ)熱身】1．C[解析]f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝cosx＝f1(x)，f6(x)＝(cosx)′＝－sinx＝f2(x)，fn＋4(x)＝…＝…＝fn(x)，故可猜測(cè)fn(x)是以4為周期的函數(shù)，有f4n＋1(x)＝f1(x)＝cosx，f4n＋2(x)＝f2(x)＝－sinx，f4n＋3(x)＝f3(x)＝－cosx，f4n＋4(x)＝f4(x)＝sinx.故f2009(x)＝f1(x)＝cosx，故選C.2．A[解析]A是演繹推理，B、D是歸納推理，C是類比推理．故選A.3．x＋2y－z－2＝0[解析]設(shè)B(x，y，z)為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，由eq\o(AB,\s\up6(→))·n＝0得(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0，即x＋2y－z－2＝0.4．5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81[解析]因?yàn)?＝1第一個(gè)式子左邊1個(gè)數(shù)，右邊1；2＋3＋4＝9第二個(gè)式子左邊3個(gè)數(shù)，從2開始加，加3個(gè)連續(xù)整數(shù)，右邊3的平方；3＋4＋5＋6＋7＝25第三個(gè)式子左邊5個(gè)數(shù)，從3開始加，加5個(gè)連續(xù)整數(shù)，右邊5的平方；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49第四個(gè)式子左邊7個(gè)數(shù)，從4開始加，加7個(gè)連續(xù)整數(shù)，右邊7的平方，故第五個(gè)式子為5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.【能力提升】5．B[解析]從S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，是從特殊到一般的推理，所以B是歸納推理．6．B[解析]觀察這一組數(shù)的特點(diǎn)：a1＝1，an－an－1＝n，∴an＝eq\f(nn＋1,2)，∴a7＝28.7．B[解析]∵f(x)＝eq\f(1,2x＋\r(2))，∴f(－x)＝eq\f(1,2－x＋\r(2))＝eq\f(2x,1＋\r(2)·2x)，f(x＋1)＝eq\f(1,2x＋1＋\r(2))＝eq\f(1,\r(2)1＋\r(2)·2x)，則f(－x)＋f(x＋1)＝eq\f(2x,1＋\r(2)·2x)＋eq\f(1,\r(2)1＋\r(2)·2x)＝eq\f(1＋\r(2)·2x,\r(2)1＋\r(2)·2x)＝eq\f(\r(2),2)，∴f(－4)＋f(5)＝f(－3)＋f(4)＝f(－2)＋f(3)＝f(－1)＋f(2)＝f(0)＋f(1)＝eq\f(\r(2),2)，∴原式的值為eq\f(\r(2),2)×5＝eq\f(5\r(2),2).故選B.8．C[解析]由三角形數(shù)表可以看出其奇數(shù)行為奇數(shù)列，偶數(shù)行為偶數(shù)列，2009＝2×1005－1，所以2009為第1005個(gè)奇數(shù)，又前31個(gè)奇數(shù)行內(nèi)數(shù)的個(gè)數(shù)的和為961，前32個(gè)奇數(shù)行內(nèi)數(shù)的個(gè)數(shù)的和為1024，故2009在第32個(gè)奇數(shù)行內(nèi)，所以i＝63，因?yàn)榈?3行的第一個(gè)數(shù)為2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.9．C[解析]因?yàn)?011＝5×402＋1，則2011∈[1]，結(jié)論①正確；因?yàn)椋?＝5×(－1)＋2，則－3∈[2]，結(jié)論②不正確；因?yàn)樗械恼麛?shù)被5除的余數(shù)為0,1,2,3,4五類，則Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，結(jié)論③正確；若整數(shù)a，b屬于同一“類”[k]，可設(shè)a＝5n1＋k，b＝5n2＋k(n1，n2∈Z)，則a－b＝5(n1－n2)∈[0]；反之，若a－b∈[0]，可設(shè)a＝5n1＋k1，b＝5n2＋k2(n1，n2∈Z)，則a－b＝5(n1－n2)＋(k1－k2)∈[0]；∴k1＝k2，則整數(shù)a，b屬于同一“類”，結(jié)論④正確，故選C.10.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πR3))′＝4πR2球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)11．3×4n－1[解析]a1＝3，a2＝12，a3＝48，可知an＝3×4n－1.12.eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)[解析]通過類比，若等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．此題是一個(gè)數(shù)列與類比推理結(jié)合的問題，既考查了數(shù)列中等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識(shí)，也考查了通過已知條件進(jìn)行類比推理的方法和能力．13．5[解析]由條件知x1＝5，x2＝f(x1)＝f(5)＝6，x3＝f(x2)＝f(6)＝3，x4＝f(x3)＝f(3)＝1，x5＝f(x4)＝f(1)＝4，x6＝f(x5)＝f(4)＝2，x7＝f(x6)＝f(2)＝5＝x1，可知{xn}是周期為6的周期數(shù)列，所以x2011＝x1＝5.14．[解答]觀察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα·cos(30°＋α)＝eq\f(3,4).證明：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα·cos(30°＋α)＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1＋cos60°＋2α,2)＋eq\f(1,2)[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋eq\f(1,2)[cos(60°＋2α)－cos2α]＋eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin30°＋2α－\f(1,2)))＝1＋eq\f(1,2)[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin30°＋2α－\f(1,2)))＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)sin(30°＋2α)＋eq\f(1,2)sin(30°＋2α)＝eq\f(3,4).15．[解答](1)f(4)＝37，f(5)＝61.由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，f(4)－f(3)＝37－19＝3×6，f(5)－f(4)＝61－37＝4×6，…因此，當(dāng)n≥2時(shí)，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1)]＋1＝3n2－3n＋1.又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f(n)＝3n2－3n＋1.(2)證明：當(dāng)k≥2時(shí)，eq\f(1,fk)＝eq\f(1,3k2－3k＋1)<eq\f(1,3k2－3k)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)－\f(1,k))).所以eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2)＋eq\f(1,f3)＋…＋eq\f(1,fn)<1＋eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))))，＝1＋eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))<1＋eq\f(1,3)＝eq\f(4,3).【難點(diǎn)突破】16．[解答](1)f(5)＝41.(2)由題圖可知f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝