三角形的外角（分層作業(yè)）（解析版）docx

PAGEPAGE411.2.3三角形的外角夯實(shí)基礎(chǔ)篇一、單選題：1．如圖，在中，，延長(zhǎng)BA到D，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】解：由三角形的外角性質(zhì)得：∠CAD=∠B+∠C=40°+20°=60°；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)；熟記三角形的外角性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．如圖，∠BDC=100°，∠C=35°，∠A=28°，則∠B的度數(shù)是（

）A．43° B．33° C．47° D．37°【答案】D【解析】【分析】延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠BDC=∠A+∠B+∠C，計(jì)算可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，∵∠BDC=∠C+∠BEC，∠BEC=∠A+∠B，∴∠BCD=∠A+∠B+∠C，∵∠BDC=100°，∠A=28°，∠C=35°，∴∠B=100°-28°-35°=37°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，證得∠BDC=∠A+∠B+∠C是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在四邊形ABCD中，，則∠D的度數(shù)為（

）A．160° B．150° C．140° D．130°【答案】C【解析】【分析】連接BD，根據(jù)三角形外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，將∠1、∠3替換為四邊形的內(nèi)和，再利用即可求出∠D．【詳解】連接BD，如圖∴，∵∴∵，，∴∵∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角，熟練運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)將外角轉(zhuǎn)換為內(nèi)角是解題的關(guān)鍵．4．如圖，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可判斷A、C、D；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可判斷B．【詳解】解：∵∠ACD=∠A+∠B，∠FEC=∠ACD+∠D，∴∠FEC=∠A+∠B+∠D，∴∠FEC＞∠B，故A、D不符合題意，C符合題意；∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠B+∠ACB=180°-∠A，故B不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．5．將兩塊三角板按如圖所示位置擺放，若，點(diǎn)在上，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由題意可得，再由平行線的性質(zhì)得，再利用三角形外角的性質(zhì)即可求出．【詳解】解：由題意可知：，，，∴，∵，∴，∵是的外角，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，三角形外角的性質(zhì)．解答的關(guān)鍵是理解和掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．6．如圖，在三角形ABC中，，，D是BC上一點(diǎn)，將三角形ABD沿AD翻折后得到三角形AED，邊AE交射線BC于點(diǎn)F，若，則（

）A．120° B．135° C．110° D．150°【答案】A【解析】【分析】由得到∠FDE＝∠C＝60°，由折疊的性質(zhì)知∠DEF＝∠B＝30°，得到∠DFE＝180°－∠FDE－∠DEF＝90°，由外角的性質(zhì)得∠ADC＋60°＝∠ADE＝∠BDA，∠ADB＋∠ADC＝180°，進(jìn)一步求得∠ADC＝60°，進(jìn)一步求得∠BDA．【詳解】解：∵，∴∠FDE＝∠C＝60°，∵三角形ABD沿AD翻折后得到三角形AED，∴∠DEF＝∠B＝30°，∴∠DFE＝180°－∠FDE－∠DEF＝90°，∵∠ADC＋60°＝∠ADE＝∠BDA，∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＋60°＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝60°，∴∠BDA＝∠ADC＋60°＝120°,故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)，平行線性質(zhì)，外角的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題：7．如圖，E為△ABC的BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上，DE交AC于點(diǎn)F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，則∠D＝______．【答案】34°【解析】【分析】根據(jù)題意先求∠DAC，再依據(jù)△ADF三角形內(nèi)角和180°可得答案．【詳解】解：∵∠B=46°，∠C=30°，∴∠DAC=∠B+∠C=76°，∵∠EFC=70°，∴∠AFD=70°，∴∠D=180°-∠DAC-∠AFD=34°，故答案為：34°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理及三角形一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，解題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和定理．8．如圖，，，垂足為E，，則的度數(shù)是______．【答案】【解析】【分析】利用平行線的性質(zhì)可知，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：54°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于明確角度的數(shù)量關(guān)系．9．如圖所示，將一副學(xué)生用的三角板按如圖所示的方式放置，若，則的度數(shù)是___________．【答案】75°【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角尺可得，進(jìn)而根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：∵∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了三角尺中角度的計(jì)算，三角形的外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握三角尺中角度的計(jì)算以及三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，，分別與，交于點(diǎn)B，F(xiàn)，，，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，然后由三角形外角的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，牢記“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是解題的關(guān)鍵．11．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝___．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，進(jìn)而即可求得答案．【詳解】如圖，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在中，D在AC上，連接BD，且，，則的度數(shù)為_(kāi)______度．【答案】36【解析】【分析】由三角形外角的性質(zhì)可得∠BDC=2∠A，求得∠CBD，再由三角形內(nèi)角和定理列方程求解即可；【詳解】解：由三角形外角的性質(zhì)可得：∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，∵∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A，∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=∠A，由三角形內(nèi)角和定理可得：∠CBD+∠C+∠BDC=180°，∴5∠A=180°，∠A=36°，故答案為：36；【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握相關(guān)性質(zhì)和定理是解題關(guān)鍵．三、解答題：13．如圖，在中，是的角平分線交于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，，，求各內(nèi)角的度數(shù)．【答案】，【解析】【分析】利用三角形外角的性質(zhì)得∠ACD=∠BDC-∠A=80°-60°=20°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】解：是的角平分線，，又是的外角，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握各三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．如圖，是上一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，相交于點(diǎn)，，，，求和的度數(shù)．【答案】，【解析】【分析】在△ACD中，利用三角形的外角性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和計(jì)算即可；在△BFD中，利用三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】解：在中，，，；在中，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵．能力提升篇一、單選題1．如圖，已知△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，BD與CE交于O點(diǎn)，如果設(shè)∠BAC＝n°，那么用含n的代數(shù)式表示∠BOC的度數(shù)是（）A．45°+n° B．90°﹣n° C．90°+n° D．180°﹣n°【答案】D【解析】【分析】由垂直的定義得到∠ADB＝∠BDC＝90，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠ABD＝180﹣∠ADB﹣∠A＝90﹣n，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)有∠BOC＝∠EBD+∠BEO，計(jì)算即可得到∠BOC的度數(shù)．【詳解】解：∵BD、CE分別是邊AC，AB上的高，∴∠ADB＝∠BDC＝90，又∵∠BAC＝n，∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝180﹣90﹣n＝90﹣n，∴∠BOC＝∠EBD+∠BEO＝90°﹣n+90°＝180﹣n．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì),垂直的定義以及三角形內(nèi)角和定理,掌握以上性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵.2．如圖，在△ABC中，∠B=∠C，D為BC邊上的一點(diǎn)，E點(diǎn)在AC邊上，∠ADE=∠AED，若∠BAD=28°，則∠CDE=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+28°，∠AED=∠C+∠EDC，再根據(jù)∠B=∠C，∠ADE=∠AED即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+28°，∵∠AED是△CDE的外角，∴∠AED=∠C+∠EDC，∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∴∠C+∠EDC=∠ADC-∠EDC=∠B+28°-∠EDC，解得∠EDC=14°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與之不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解答此題的關(guān)鍵．3．四邊形ABCD兩組對(duì)邊AD，BC與AB，DC延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠AEB，∠AFD的平分線交于點(diǎn)P，∠A=64°，∠BCD=136°，則下列結(jié)論中正確的是（

）①∠EPF=100°；②∠ADC+∠ABC=160°；③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°；④∠PEA+∠PFA=36°A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【解析】【分析】根據(jù)四邊形內(nèi)角和證明結(jié)論②正確，再根據(jù)和結(jié)合結(jié)論②證明結(jié)論④正確，連接AP并延長(zhǎng)至點(diǎn)G，根據(jù)外角和定理證明結(jié)論①正確，結(jié)論③也可以通過(guò)前面的證明得到．【詳解】解：∵，，∴，故②正確，∵，，∴，∵EP平分，F(xiàn)P平分，∴，，∴，故④正確，同理：，如圖，連接AP并延長(zhǎng)至點(diǎn)G，，故①正確，∴，故③正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查角度關(guān)系求解，解題的關(guān)鍵是掌握角度和差關(guān)系的計(jì)算．4．如圖，是△ABC的外角，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，…，的平分線與的平分線交于點(diǎn)．設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，整理得到∠A1=∠A，同理可得∠A2=∠A1，從而判斷出后一個(gè)角是前一個(gè)角的，然后表示出∠An即可得答案．【詳解】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠A1CD是△A1BC的外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∵∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，∴∠A1=∠A，∵∠A=，∴∠A1=∠A，同理可得∠A2=∠A1=∠A，∠A3=∠A2，∠A4=∠A3，……∴∠An．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)及角平分線的定義，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖，求出后一個(gè)角是前一個(gè)角的是解題的關(guān)鍵．二、填空題：5．如圖，△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，連接EF，將△AEF沿著EF折疊，得到△A’EF，當(dāng)邊A’F∥BC時(shí)，∠AEF的度數(shù)為_(kāi)_____【答案】120°##120度【解析】【分析】由三角形內(nèi)角和定理推出∠C＝60°，結(jié)合平行線的性質(zhì)可得：∠B＝90°，利用折疊及各角之間的數(shù)量關(guān)系及外角的定義求解即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵∠B＝90°，∠A＝30°，∴∠C＝60°，∵A′F∥BC，∠B＝90°，∴∠FHA＝∠B＝90°，∠HFA＝∠C＝60°，由折疊可知，∠HFE＝∠AFE＝∠HFA＝30°，∴AEF＝∠EHF+∠HFE＝90°+30°＝120°，故答案為：120°．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，平行線的性質(zhì)．利用外角性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．6．如圖，，分別是的邊，上的點(diǎn)，連接，將沿DE折疊得到，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，已知，，那么______°．【答案】50【解析】【分析】由折疊可得，由可知，由為的外角，得出，故，得出，，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，且∴∵為的外角∴由折疊可得∴∴解得：，故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的折疊，平行線的性質(zhì)，三角形的外角，解題的關(guān)鍵是找出題中的等量關(guān)系，利用方程思想來(lái)解決問(wèn)題．7．如圖，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分別在DB、DC、BC的延長(zhǎng)線上，BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，則∠F=________．【答案】15°##15度【解析】【分析】先由BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，在△ABC中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=60°，則根據(jù)平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，兩式相加得到∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠E=30°；再由BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代換得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再進(jìn)行等量代換可得到∠F=∠E．【詳解】解：如圖：∵BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=×（180°-60°）=60°，∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°，∵BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，∴∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，∴∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°，∵BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，∴2∠F=∠E，∴∠F=∠E=×30°=15°．故答案為：15°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線、三角形外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和是180°．8．如圖，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，則∠AEC＝_____．【答案】67°．【解析】【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝134°，則利用鄰補(bǔ)角定義計(jì)算出∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝226°，再根據(jù)角平分線定義得到∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，所以∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，然后再利用三角形內(nèi)角和計(jì)算∠AEC的度數(shù)．【詳解】解：∵∠B＝46°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣46°＝134°，∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣134°＝226°，∵AE和CE分別平分∠DAC和∠FCA，∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，∴∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣113°＝67°．故答案為：67°．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的有關(guān)計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)．在本題解題過(guò)程中，有些角單獨(dú)計(jì)算不出來(lái)，所以把兩個(gè)角的和看作一個(gè)整體計(jì)算（如：∠BAC+∠BCA，∠DAC+∠FCA），故掌握整體思想是解決此題的關(guān)鍵．三、解答題：9．如圖，在△ABC中，D為AB邊上一點(diǎn)，E為BC邊上一點(diǎn)，∠BCD＝∠BDC(1)若∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，則∠B＝度（直接寫(xiě)出答案）；(2)請(qǐng)說(shuō)明：∠EAB+∠AEB＝2∠BDC的理由．【答案】(1)70(2)見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用三角形的外角性質(zhì)可求出∠BDC的度數(shù)，結(jié)合∠BCD＝∠BDC可得出∠BCD的度數(shù)，再在△BCD中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠B的度數(shù)；（2）在△ABE中，利用三角形內(nèi)角和定理可得出∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B，在△BCD中，利用三角形內(nèi)角和定理及∠BCD＝∠BDC可得出2∠BDC＝180°﹣∠B，進(jìn)而可得出∠EAB+∠AEB＝2∠BDC．(1)解：∵∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，∴∠BDC＝∠ACD+∠CAD＝55°，∴∠BCD＝∠BDC＝55°．在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∴∠B＝180°﹣55°﹣55°＝70°．故答案為：70；(2)解：在△ABE中，∠EAB+∠AEB+∠B＝180°，∴∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B．在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∠BCD＝∠BDC，∴2∠BDC＝180°﹣∠B，∴∠EAB+∠AEB＝2∠BDC．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用三角形的外角性質(zhì)，求出∠BDC的度數(shù)；（2）利用三角形內(nèi)角和定理，找出∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B及2∠BDC＝180°﹣∠B．10．在圖a中，應(yīng)用三角形外角的性質(zhì)不難得到下列結(jié)論：∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD．我們可以應(yīng)用這個(gè)結(jié)論解決同類(lèi)圖形的角度問(wèn)題．(1)在圖a中，若∠1=20°，∠2=30°，∠BEC=100°，則∠BDC=；(2)在圖a中，若BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，BE與CE交于E點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出∠BDC，∠BEC和∠BAC之間的關(guān)系；并說(shuō)明理由．(3)如圖b，若，試探索∠BDC，∠BEC和∠BAC之間的關(guān)系．（直接寫(xiě)出）【答案】(1)150°(2)∠BDC+∠BAC=2∠BEC(3)2∠BDC+∠BAC=3∠BEC【解析】【分析】（1）根據(jù)題目給出的條件可得：；（2）根據(jù)題意得出∠BDC=∠BEC+∠1+∠2，∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE，再根據(jù)BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，得出∠ABE=∠1，∠ACE=∠2，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論；（3）先根據(jù)題意得出∠BDC=∠BEC+∠1+∠2，∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE，再根據(jù)，，得出∠BEC=∠BAC+2∠1+2∠2，整理化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論．(1)解：∵∠1=20°，∠2=30°，∠BEC=100°，∴．故答案為：150°．(2)由題意可知，∠BDC=∠BEC+∠1+∠2，①∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE，②∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，∴∠ABE=∠1，∠ACE=∠2，①-②得∠BDC-∠BEC=∠BEC-∠BAC，即∠BDC+∠BAC=2∠BEC．(3)由題意可知，∠BDC=∠BEC+∠1+∠2，③∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE，④∵∠1=∠ABD，∠2=∠ACD，∴∠ABE=2∠1，∠ACE=2∠2．由④得∠BEC=∠BAC+2∠1+2∠2，⑤③×2-⑤得2∠BDC-∠BEC=2∠BEC-∠BAC，即2∠BDC+∠BAC=3∠BEC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，理解題意，充分利用數(shù)形結(jié)合的思想，是解題的關(guān)鍵．思維拓展篇（1）探究一：如圖（a），BD平分∠ABC