第十三章 軸對(duì)稱 章節(jié)復(fù)習(xí)（導(dǎo)學(xué)案）-八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步備課系列（人教版）

PAGEPAGE4第十三章軸對(duì)稱導(dǎo)學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.總結(jié)本章所學(xué)的軸對(duì)稱、軸對(duì)稱變換、等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)；2.培養(yǎng)學(xué)生用軸對(duì)稱的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)線段的垂直平分線、角的平分線、等腰三角形等幾何圖形；3.歸納總結(jié)本章學(xué)習(xí)過(guò)程中用到的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)分析問(wèn)題的能力.重點(diǎn)：將所學(xué)知識(shí)有機(jī)地組織起來(lái)，形成科學(xué)合理的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并能綜合運(yùn)用.難點(diǎn)：通過(guò)歸納總結(jié)解題思想和方法，形成分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.二、學(xué)習(xí)過(guò)程：知識(shí)梳理一、軸對(duì)稱相關(guān)定義和性質(zhì)如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠_________，這個(gè)圖形就叫做____________，這條直線就是它的________.這時(shí)，我們也說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱.像這樣，把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能與另一個(gè)圖形_____,那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形_____________________，這條直線叫做________，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做_________.圖形軸對(duì)稱的性質(zhì):如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的_____________.類似地，軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的_____________.如下圖中，l垂直平分AA′，l垂直平分BB′.二、垂直平分線的定義、性質(zhì)、判定垂直平分線的定義經(jīng)過(guò)線段________并且_________這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.幾何語(yǔ)言________________________，則_______________________.線段的垂直平分線的性質(zhì)：___________________________________________________.幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵_(dá)_____________________∴______________________線段的垂直平分線的判定：___________________________________________________.幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵_(dá)_____________________∴______________________三、用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)_____，縱坐標(biāo)___________；關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)___________，縱坐標(biāo)_____.點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(___，___)點(diǎn)(x，y)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(___，___)四、等腰三角形的性質(zhì)及判定性質(zhì)1:________________________________(簡(jiǎn)寫成“________________”)性質(zhì)2:_______________________________________________________(簡(jiǎn)寫成“______________”)幾何符號(hào)語(yǔ)言：幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵_(dá)_____________________∵_(dá)_____________________∴______________________∴______________________等腰三角形判定定理：_____________________________________________________________(簡(jiǎn)寫成“_______________”).幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵_(dá)_____________________∴______________________五、等邊三角形的性質(zhì)及判定等邊三角形的性質(zhì)：1._____________________________________________________________.2._____________________________________________________________.3._____________________________________________________________.4._____________________________________________________________.等邊三角形的判定方法：1._____________________________________________________________.2._____________________________________________________________.3._____________________________________________________________.六、含30°角的直角三角形的性質(zhì)含30°角的直角三角形的性質(zhì)：_____________________________________________________________.幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵_(dá)_____________________∴______________________七、最短路徑問(wèn)題在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱、平移等變化把已知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易解決的問(wèn)題，從而作出最短路徑的選擇.考點(diǎn)解析考點(diǎn)1：軸對(duì)稱及軸對(duì)稱圖形例1.在下列各電視臺(tái)的臺(tái)標(biāo)圖案中(不考慮顏色)，是軸對(duì)稱圖形的是()例2.將一張正方形紙片按如圖①，圖②所示的方向?qū)φ?，然后沿圖③中的虛線剪裁得到圖④，將圖④的紙片展開(kāi)鋪平，再得到的圖案是()例3.如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD（AD//BC）沿EF折疊后，點(diǎn)D，C分別落在點(diǎn)D'，C'的位置上，ED'交BC于點(diǎn)G，若【遷移應(yīng)用】【1-1】“羊”字象征著美好和吉祥，下圖都與“羊”字有關(guān)，其中是軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.4【1-2】如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，將其折疊，使點(diǎn)A落在邊CB上A'處,折痕為CD，則∠A'DB的度數(shù)為_(kāi)_____.【1-3】將長(zhǎng)方形ABCD沿AE折疊，得如圖所示的圖形，已知∠CED'=72°，則A．36° B．54° C．62° D．72°考點(diǎn)2：關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)例4.已知點(diǎn)A(2a－b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b)．(1)若點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，求a、b的值；(2)若A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，求(4a＋b)2016的值．例5.如圖，在直角坐標(biāo)系中，A(0，5)，B(-2,0)，C(-3，3).(1)在直角坐標(biāo)系中作出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A'B'C',并相應(yīng)寫出△A'B'C'三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo);(2)將△A'B'C'沿x軸方向向右平移3個(gè)單位后得到△A"B"C",并相應(yīng)寫出△A"B"C"三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).【遷移應(yīng)用】【2-1】已知點(diǎn)P(3,-1)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(a+b,1-b)，則ab的值為_(kāi)____.【2-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)△ABC進(jìn)行循環(huán)反復(fù)的軸對(duì)稱變換，若原來(lái)點(diǎn)A坐標(biāo)是(a,b)，則經(jīng)過(guò)第2022次變換后所得的A點(diǎn)坐標(biāo)是__________.【2-3】平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0,4），B（2,4），C（3，－1）.（1）試在平面直角坐標(biāo)系中，標(biāo)出A、B、C三點(diǎn)；（2）若△ABC與△A'B'C'關(guān)于x軸對(duì)稱，畫出△A'B'C'，并寫出A'、B'、C'的坐標(biāo).考點(diǎn)3：線段垂直平分線的性質(zhì)和判定例6.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.例7.如圖，D為△ABC外一點(diǎn)，DG為BC的垂直平分線，分別過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E(1)求證：AD為∠CAB(2)探究AB，AC，AE之間的數(shù)量關(guān)系并給出證明【遷移應(yīng)用】【3-1】如圖，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周長(zhǎng)為30，則BE的長(zhǎng)為（

）A．5 B．10 C．12 D．13【3-2】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．已知∠C＝7∠BAE，則∠C的度數(shù)為（）A．41° B．42° C．43° D．44°【3-3】如圖，∠BAC的角平分線AD與線段BC的垂直平分線DG交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，若AE=10cm，BC=12cmA．32 B．34 C．22 D．16考點(diǎn)4：等腰三角形的性質(zhì)和判定例8.如圖，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE,求∠A的度數(shù).例9.如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E在BC上，延長(zhǎng)BA至F使AF=AB，連接EF；延長(zhǎng)CA至G使AG=AC，連接例10.如圖，點(diǎn)E在△ABC的AC邊的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在AB邊上，DE交BC于點(diǎn)F,DF=EF，BD=CE.求證:△ABC是等腰三角形.【遷移應(yīng)用】【4-1】等腰三角形的一個(gè)角等于20°,則另外兩個(gè)內(nèi)角分別為()A.20°、140°B.20°、140°或80°、80°C.80°、80°D.20°、80°【4-2】如圖(4)，是一鋼架，∠AOB=10°,為使鋼架更加堅(jiān)固，需在內(nèi)部添加一些鋼管EF、FM、MH……添加的鋼管長(zhǎng)度都與OE相等，則最多能添加這樣的鋼管_____根.【4-3】如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分別是E、F.求證:△ABC是等腰三角形.【4-4】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)E為AC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)M(1)若∠FCM=18°，則∠BGC(2)若點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)，判斷CF與DE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．考點(diǎn)5：等邊三角形的性質(zhì)和判定例11.△ABC為正三角形，點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是CA邊上任意一點(diǎn)，且BM＝CN，BN與AM相交于Q點(diǎn)，∠BQM等于多少度？例12.等邊△ABC中，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問(wèn)△APQ是什么形狀的三角形？試證明你的結(jié)論．例13.圖①、圖②中，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM與△CBN都是等邊三角形(1)如圖①，線段AN與線段BM是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如圖②，AN與MC交于點(diǎn)E，BM與CN交于點(diǎn)F，探究△CEF的形狀，并證明你的結(jié)論．【遷移應(yīng)用】【5-1】如圖，等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，把△BDE沿直線DE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，DB′，EB′分別交AC于點(diǎn)F，G，若∠ADF=80°，則∠EGC的度數(shù)為_(kāi)_____.【5-2】如圖，等邊△ABC中，D、E、F分別是各邊上的一點(diǎn)，且AD=BE=CF．求證：△DEF是等邊三角形．【5-3】如圖，△ABC是等邊三角形，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，OM∥AB，ON∥AC.求證:BM=MN=CN.考點(diǎn)6：含30°角的直角三角形的性質(zhì)例14.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．求證:BF=2CF.例15.如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，D為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F.(1)若AD=2，求AF的長(zhǎng);(2)當(dāng)AD取何值時(shí)，DE=EF?例16.已知，如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)E在AC邊上，點(diǎn)D在BC邊上，并且AE＝CD，AD和BE相交于點(diǎn)M，BN⊥AD于N．(1)求證：BE＝AD；(2)求∠BMN的度數(shù)；(3)若MN＝3cm，ME＝1cm，則AD＝cm．遷移應(yīng)用】【6-1】如圖(3)，∠BAC=30°，AM是∠BAC的平分線，過(guò)點(diǎn)M作ME∥BA交AC于點(diǎn)E，作MD⊥BA，垂足為D，ME=10cm，則MD=_____cm.【6-2】將一副三角尺按如圖(4)所示方式疊放在一起,若AB=16cm，則陰影部分的面積是_____cm2.【6-3】如圖，點(diǎn)D在線段BC上，連接AD，BD=CD，CA⊥AD，∠1=30°，AB=4，求AC的長(zhǎng)．【6-4】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°，∠BAC的平分線AM長(zhǎng)為15cm，求BC的長(zhǎng).考點(diǎn)7：最短路徑問(wèn)題例17.如圖，已知點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，AD=5,點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為（）A．7.5B．5C．4D．不能確定例18