2024年高考數(shù)學(xué)命題改革分析與復(fù)習(xí)教學(xué)建議

高考數(shù)學(xué)命題改革分析與復(fù)習(xí)教學(xué)建議（人民教育出版社

課程教材研究所）一、高考改革的大方向?

黨中央、國(guó)務(wù)院《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》要求：“改變相對(duì)固化的試題形式，增強(qiáng)試題開(kāi)放性，減少死記硬背和‘機(jī)械刷題’現(xiàn)象?！?

非常明確的要求，這是必須做的——就像“雙減”要求驅(qū)逐校外

學(xué)科類(lèi)培訓(xùn)一樣，

《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》為死

記硬背、

“機(jī)械刷題”踩下了剎車(chē)令！教育部教育考試院院長(zhǎng)孫海波在2022年9月15日教育部舉

行的“教育這十年”第12場(chǎng)新聞發(fā)布會(huì)上說(shuō)：?

高考內(nèi)容改革是考試招生制度改革的重要內(nèi)容，是新時(shí)代教育評(píng)

價(jià)改革的重要載體，對(duì)高中教育教學(xué)改革和育人方式的轉(zhuǎn)變具有

重要導(dǎo)向作用，直接影響高校人才選拔與培養(yǎng)質(zhì)量。?十年來(lái)，高考命題全面貫徹黨的教育方針，落實(shí)立德樹(shù)人根本任

務(wù)，成為鑄魂育人的有效途徑和引導(dǎo)學(xué)校實(shí)施素質(zhì)教育的風(fēng)向標(biāo)；

從能力立意走向素養(yǎng)導(dǎo)向、從單一評(píng)價(jià)走向多維評(píng)價(jià)，形成了具

有中國(guó)特色的考試評(píng)價(jià)范式；與高中育人方式改革和高考綜合改

革同向同行，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生成長(zhǎng)、國(guó)家選才、社會(huì)公平的有機(jī)統(tǒng)一。?十年來(lái)，高考命題探索形成具有中國(guó)特色的考試評(píng)價(jià)理論和實(shí)踐體系，確立“立德樹(shù)人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能，回答了“為什么考”的問(wèn)題；構(gòu)建引導(dǎo)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展的考試內(nèi)容體系，凸顯學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)要求，回答了“考什么”

的問(wèn)題；研制中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系，回答了“怎么考”的問(wèn)題。十

年來(lái)，高考命題不斷完善考試內(nèi)容，創(chuàng)新考查形式，豐富評(píng)價(jià)手

段，強(qiáng)化保障措施，取得了一系列突破性進(jìn)展，主要體現(xiàn)在以下

三個(gè)方面：1.落實(shí)立德樹(shù)人，實(shí)現(xiàn)高考由考試評(píng)價(jià)工具到全面育人載體的轉(zhuǎn)變?

高考是連接基礎(chǔ)教育和高等教育的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。黨的十八大以來(lái)，

高考系統(tǒng)性地加強(qiáng)考試內(nèi)容的思想教育和價(jià)值引領(lǐng)作用，逐步由

注重智育評(píng)價(jià)的人才選拔，向落實(shí)立德樹(shù)人的育人載體轉(zhuǎn)變，成

為德智體美勞全面培養(yǎng)教育體系的有機(jī)組成部分。?

一是聚焦鑄魂育人，夯實(shí)信仰之基。高考不斷強(qiáng)化考試的育人功

能，以習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想培根鑄魂，考試內(nèi)容

深度融入社會(huì)主義核心價(jià)值觀，弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化、革命文

化、社會(huì)主義先進(jìn)文化，在引導(dǎo)學(xué)生堅(jiān)定理想信念、厚植愛(ài)國(guó)主

義情懷、加強(qiáng)品德修養(yǎng)、培養(yǎng)奮斗精神上下功夫，將顯性考查和

隱性教育相結(jié)合，用精品試題讓學(xué)生接受思想的啟迪、文化的熏

陶。?

二是緊扣時(shí)代脈搏，培養(yǎng)時(shí)代新人。圍繞改革開(kāi)放40周年、中華人民共和國(guó)成立70周年、打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)、決戰(zhàn)脫貧攻堅(jiān)、決勝全面建成小康社會(huì)、中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年、北京冬奧會(huì)

和冬殘奧會(huì)、構(gòu)建人類(lèi)命運(yùn)共同體等重大時(shí)代主題，精心選材和

設(shè)計(jì)試題，采用符合高中學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的呈現(xiàn)方式，在考試內(nèi)容

中巧妙融入新時(shí)代黨和國(guó)家事業(yè)取得的歷史性成就、發(fā)生的歷史

性變革，引導(dǎo)學(xué)生堅(jiān)定“四個(gè)自信”，助力培養(yǎng)擔(dān)當(dāng)民族復(fù)興大

任的時(shí)代新人。?

三是彰顯五育并舉，引導(dǎo)全面發(fā)展。高考命題遵循高中學(xué)生的認(rèn)

知水平和成長(zhǎng)規(guī)律，將對(duì)體美勞教育的引導(dǎo)與考查內(nèi)容、考查要

求、考查載體有機(jī)融合，促進(jìn)學(xué)生在思想道德修養(yǎng)、科學(xué)文化素

養(yǎng)、人文和審美素養(yǎng)、健康和勞動(dòng)素養(yǎng)等方面全面提升，走出了

一條以德引領(lǐng)、以智為基、體美勞強(qiáng)力呼應(yīng)的內(nèi)容改革之路。2.科學(xué)服務(wù)選才，實(shí)現(xiàn)高考由“解題”到“解決問(wèn)題”的轉(zhuǎn)變?“為國(guó)選才”是高考的基本功能。高考命題探索“價(jià)值引領(lǐng)、素

養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”的綜合考查模式，不斷增強(qiáng)試題

的應(yīng)用性、探究性、開(kāi)放性，把考查的重點(diǎn)放在學(xué)生的思維品質(zhì)

和綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力上，不斷完善人才選拔

標(biāo)準(zhǔn)和方式方法，服務(wù)高校招生和人才培養(yǎng)改革。?

一是提升選才效度，考查關(guān)鍵能力。高考注重考查支撐學(xué)生未來(lái)

長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展和適應(yīng)社會(huì)進(jìn)步要求的能力，有效鑒別學(xué)生發(fā)展?jié)撡|(zhì)。

通過(guò)優(yōu)化考查內(nèi)容、豐富呈現(xiàn)方式、創(chuàng)新設(shè)問(wèn)角度等途徑，突出

對(duì)關(guān)鍵能力的考查，讓善于獨(dú)立思考、認(rèn)知能力強(qiáng)的學(xué)生脫穎而

出。?

二是注重學(xué)用結(jié)合，

創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境。高考加強(qiáng)理論聯(lián)系實(shí)際，緊密結(jié)合國(guó)家經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展、科學(xué)技術(shù)進(jìn)步、生產(chǎn)生活實(shí)際等創(chuàng)設(shè)情境，

充分考慮學(xué)生學(xué)習(xí)和生活實(shí)際，

把課本知識(shí)與“具體真實(shí)的世界”聯(lián)系起來(lái)，考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)方法分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，

引導(dǎo)學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中建構(gòu)知識(shí)、培養(yǎng)能力、提升素養(yǎng)。?

三是突出思維品質(zhì)，

強(qiáng)調(diào)開(kāi)放靈活。高考持續(xù)優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)，創(chuàng)設(shè)新

的題型，

從材料信息的豐富性、試題要素的靈活性、解題路徑的多樣

性等方面增強(qiáng)試題開(kāi)放性，強(qiáng)調(diào)思維過(guò)程和思維方式，鼓勵(lì)學(xué)生多角

度主動(dòng)思考、深入探究，發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、找到新規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)

和備考中減少死記硬背和機(jī)械刷題。?

中學(xué)反映：

高考命題反套路、反對(duì)背素材，材料來(lái)源于生活，接地氣，

死記硬背、機(jī)械刷題、題海戰(zhàn)術(shù)難以發(fā)揮作用。3.有效引導(dǎo)教學(xué)，實(shí)現(xiàn)高考由“以綱定考”到“考教銜接”的轉(zhuǎn)變?

高考充分發(fā)揮教育評(píng)價(jià)的積極導(dǎo)向作用，與高中教育教學(xué)同向同

行、同頻共振，逐步形成“招-考-教-學(xué)”良性互動(dòng)、有機(jī)結(jié)合的

一體化育人格局，引導(dǎo)教學(xué)回歸課標(biāo)、回歸課堂主渠道。?

一是遵循課程標(biāo)準(zhǔn)，引導(dǎo)中學(xué)依標(biāo)教學(xué)。高考命題嚴(yán)格依據(jù)高中

課程標(biāo)準(zhǔn)，確?！皟?nèi)容不超范圍，深度不超要求”?？疾閮?nèi)容限

定在課程標(biāo)準(zhǔn)范圍之內(nèi)，既注重考查內(nèi)容的全面性，又突出主干

和重點(diǎn)內(nèi)容的考查；考查要求依據(jù)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，深度不超過(guò)其

規(guī)定的層次，引導(dǎo)中學(xué)做到應(yīng)教盡教，開(kāi)齊開(kāi)好國(guó)家規(guī)定課程。?

二是注重以考促教，服務(wù)教學(xué)提質(zhì)增效。高考命題遵循教育規(guī)律，注重考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法的深刻理解，引導(dǎo)學(xué)生要知其然，更知其所以然，學(xué)有所思、思有所疑、疑有所問(wèn)、問(wèn)有所悟，引導(dǎo)教學(xué)把精力放在講透課程重點(diǎn)內(nèi)容上。強(qiáng)調(diào)在深

刻理解基礎(chǔ)上的融會(huì)貫通、靈活運(yùn)用，不考死記硬背、不出偏題

怪題，平和中有新意，靈活中見(jiàn)潛力，實(shí)踐中出真知，引導(dǎo)中學(xué)把教學(xué)重點(diǎn)從總結(jié)解題技巧轉(zhuǎn)向培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)，提升課堂效果和作業(yè)效率。?教師普遍認(rèn)為：考試與教學(xué)的銜接越緊密、越一致，教師、學(xué)生

的負(fù)擔(dān)就越輕；高考注重基礎(chǔ)性，強(qiáng)調(diào)綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，

加強(qiáng)考教銜接，就是對(duì)“雙減”的最好呼應(yīng)和落實(shí)。?

三是堅(jiān)持穩(wěn)中求進(jìn)，助推育人方式改革。近年來(lái)，高考內(nèi)容改革、高考綜合改革、高中新課程改革、高中育人方式改革并行推進(jìn)，面臨新老高考銜接、新舊課標(biāo)交疊。通過(guò)開(kāi)展學(xué)情調(diào)研，分析考

試數(shù)據(jù)，制訂科學(xué)的命題策略，在考試內(nèi)容覆蓋上保持平衡，在

命題素材選擇上保持平實(shí)，在試題設(shè)問(wèn)上保持平和，在試卷結(jié)構(gòu)

設(shè)計(jì)上保持平穩(wěn)，有利于考生正常發(fā)揮，有利于教學(xué)有序開(kāi)展，

為各項(xiàng)改革平穩(wěn)實(shí)施奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。?教師普遍認(rèn)為：高考命題結(jié)構(gòu)科學(xué)合理，穩(wěn)中有新，增強(qiáng)了中學(xué)

把握課標(biāo)理念、用好新編教材、構(gòu)建有效課堂的信心。2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷試題評(píng)析?

2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷依據(jù)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，貫徹中國(guó)

高考評(píng)價(jià)體系理念，創(chuàng)新試題設(shè)計(jì)，加強(qiáng)關(guān)鍵能力考查，突出理

性思維，發(fā)揮數(shù)學(xué)科高考的選拔功能；創(chuàng)設(shè)真實(shí)問(wèn)題情境，考查

考生利用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題的能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法在解

決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中的價(jià)值和作用；落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，

引導(dǎo)

“五育”并舉、全面發(fā)展；積極推進(jìn)內(nèi)容改革，強(qiáng)化基礎(chǔ)性要求，

加強(qiáng)考教銜接，發(fā)揮對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的積極引導(dǎo)作用。1.發(fā)揮基礎(chǔ)學(xué)科作用，助力創(chuàng)新人才選拔?2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷充分發(fā)揮基礎(chǔ)學(xué)科的作用

，突出素養(yǎng)和

能力考查，甄別思維品質(zhì)

、展現(xiàn)思維過(guò)程

，給考生搭就了展示

的舞臺(tái)

、發(fā)揮的空間

，致力于服務(wù)人才自主培養(yǎng)質(zhì)量提升和現(xiàn)

代化建設(shè)人才選拔。?重點(diǎn)考查邏輯推理素養(yǎng)

，深入考查直觀想象素養(yǎng)

，扎實(shí)考查數(shù)

學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，要求考生理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則

，探究運(yùn)

算思路，求得運(yùn)算結(jié)果。2.創(chuàng)設(shè)自然真實(shí)情境，助力應(yīng)用能力考查?

高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷在命制情境化試題過(guò)程中，在剪裁素材時(shí)，控

制文字?jǐn)?shù)量和閱讀理解難度；在抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，設(shè)置合理的思

維強(qiáng)度和抽象程度；在解決問(wèn)題時(shí)，設(shè)置合適的運(yùn)算過(guò)程和運(yùn)算

量，力求使情境化試題達(dá)到試題要求層次和考生認(rèn)知水平的契合

與貼切。?

首先是現(xiàn)實(shí)生活情境，數(shù)學(xué)試題情境取材于學(xué)生生活中的真實(shí)

問(wèn)題，貼近學(xué)生實(shí)際，具有現(xiàn)實(shí)意義，具備研究?jī)r(jià)值。其次是科

學(xué)研究情境，科學(xué)研究情境的設(shè)置不僅僅考查數(shù)學(xué)的必備知識(shí)和

關(guān)鍵能力，而且引導(dǎo)考生樹(shù)立理想信念，熱愛(ài)科學(xué)，為我國(guó)社會(huì)

主義事業(yè)的建設(shè)作出貢獻(xiàn)。最后是勞動(dòng)生產(chǎn)情境。3.落實(shí)“四翼”考查要求，助力“雙減”政策落地?

2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷在反套路

、反機(jī)械刷題上下功夫，突出強(qiáng)調(diào)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念的深入理解和靈活掌握

，注重考查學(xué)科知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，落實(shí)中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系中“

四翼

”的考查要求。同時(shí)，合理控制試題難度

，科學(xué)引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)，力圖促進(jìn)高中教學(xué)與義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)的有效銜接

，促進(jìn)考教銜接，引導(dǎo)學(xué)生提高在校學(xué)習(xí)效率，避免機(jī)械、無(wú)效的學(xué)習(xí)。二、教學(xué)中的不適應(yīng)?

有的老師說(shuō)：“反刷題”了，

不刷題，

我們?cè)撛趺唇棠兀?“反套路”了，不搞題型、套路，我們?cè)撛趺锤悖?

有的老師給學(xué)生支招：解析幾何答題策略“穩(wěn)穩(wěn)做對(duì)第一問(wèn)，聯(lián)立方

程第二問(wèn)，

消元先擺判別式，

韋達(dá)定理莫遺漏，

時(shí)間允許繼續(xù)做，

否則舍棄做其他”。?

基礎(chǔ)知識(shí)的深入理解——“二級(jí)結(jié)論”就是“深入”呀！?

基本概念靈活掌握——“秒殺大招”不就是“靈活”的體現(xiàn)嗎？?

生活情境那么多，怎么抓得??？該怎么入手呀？?

運(yùn)算能力很重要，但該怎樣培養(yǎng)呢？??“刷題”刷出來(lái)的后果?

學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)差，數(shù)學(xué)水平低，數(shù)學(xué)情感差，甚至痛恨

數(shù)學(xué)，不知道數(shù)學(xué)是干什么的——“數(shù)學(xué)＝解題”，

……?不審題就直接答題?

閱讀能力差，讀不懂題目，看到應(yīng)用題就害怕，直接放棄?運(yùn)算能力弱，無(wú)論是方法還是速度都差強(qiáng)人意?解題習(xí)慣差，書(shū)寫(xiě)不規(guī)范?稍有變化就不知所措，

“做過(guò)練過(guò)的不一定會(huì)，沒(méi)見(jiàn)過(guò)的一定不

會(huì)”?

……?（2023新高考Ⅱ卷第19題）某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明

顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如圖1所示的患病者和未

患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人判定為

陰性。此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概

率，記為p(c)；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，

記為q(c)

．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率

作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.（1）當(dāng)漏診率p(c)

＝0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率q(c)；（2）設(shè)函數(shù)f(c)＝p(c)+q(c)

．當(dāng)c∈[95

，105]時(shí)，求f(c)的解析式，并求f(c)在區(qū)間[95

，105]的最小值.某省這道題目70%考生得0分，把全省高考數(shù)學(xué)均

分直接拉低10分。圖1.

(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差

異？.

(2)從該地的人群中任選一人，

A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”

．

與

的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R

..

（i）證明：

R

=

.

；.

（i）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P(AlB),

P(Al)的估計(jì)值，并利用（i）的結(jié)果

給出R的估計(jì)值.B-))ll((PP))BBll((PP))ll((PP))AAll((PP.

20.一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類(lèi)）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱(chēng)為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人

（稱(chēng)為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：P0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2

之

k?這些題目的情境真實(shí)，是現(xiàn)實(shí)中、科學(xué)研究中實(shí)際發(fā)生的問(wèn)題，其中的研究方法科學(xué)且有效（利用在生活中可以清楚地觀測(cè)到的現(xiàn)象和數(shù)據(jù)進(jìn)行合理推算，進(jìn)而推斷出某些在實(shí)際中很難或不可能觀測(cè)到的事實(shí)），是對(duì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題

能力的考查。?解答這一類(lèi)題目，不僅要有扎實(shí)的概率與統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)，還要有

較強(qiáng)的閱讀理解能力，再一個(gè)是要有較為廣泛閱歷見(jiàn)識(shí)等等。?

學(xué)生搞不清楚問(wèn)題，閱讀理解水平低，

“數(shù)學(xué)化”能力差，例如：?4．南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一

部分水蓄入某水庫(kù).

已知該水庫(kù)水位為海拔148．5m時(shí)，

相應(yīng)水面

的面積為140．0km2；水位為海拔157．5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積

為180．0km2

，將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148．5m上升到157．5m時(shí)，

增加的水量約

為多少？?這個(gè)題目應(yīng)該是非常簡(jiǎn)單的，但就因?yàn)樘琢艘粋€(gè)現(xiàn)實(shí)背景，許多

學(xué)生就不知所措了。三、如何研究高考題?基本理念：以課程標(biāo)準(zhǔn)、

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》及《中國(guó)高考評(píng)

價(jià)體系說(shuō)明》為依據(jù)，對(duì)高考數(shù)學(xué)試卷命題思想和試題特點(diǎn)的分

析，以及各年（近幾年）高考數(shù)學(xué)試題的比較，探析高考數(shù)學(xué)試

題在必備知識(shí)、關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)等方面考查要求的變與不變，

并以此為依據(jù)給出教學(xué)啟示和備考建議，為高中數(shù)學(xué)教學(xué)和復(fù)習(xí)

備考提供參考。?不恰當(dāng)?shù)睦砟睿韩C奇心理，片面的“一題多解”為刷題找依據(jù)，

深挖洞，曲解命題意圖為搞“二級(jí)結(jié)論”尋找依據(jù)等等。維度分析方法考查

內(nèi)容從必備知識(shí)、關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)等方面進(jìn)行分類(lèi)分析，側(cè)重考查要求分析。

主要從考點(diǎn)、題量、題型、分值、難度等要素展開(kāi)整體分析和專(zhuān)題分析。命題

意圖主要從考查目標(biāo)、試題立意、試題情境和設(shè)問(wèn)方式等方面，結(jié)合典型題例，

對(duì)整體和專(zhuān)題的命題思路進(jìn)行分析。命題

導(dǎo)向主要從評(píng)價(jià)體系要求的“

四層四翼”出發(fā)，針對(duì)命題變化，給出整體和專(zhuān)題

的命題趨勢(shì)分析，要下功夫分析試題與教材的關(guān)聯(lián)，特別是要從教材中找出

試題的“題源”

，引導(dǎo)教學(xué)重視教材、回歸教材。復(fù)習(xí)

教學(xué)根據(jù)考查內(nèi)容、命題特點(diǎn)的整體和專(zhuān)題分析，以教育部考試研究院關(guān)于高考命

題改革指導(dǎo)思想為依據(jù)，從加強(qiáng)數(shù)學(xué)基本概念、基本原理的理解，強(qiáng)調(diào)知識(shí)之

間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生形成學(xué)科知識(shí)系統(tǒng)；注重本原性方法，淡化特殊技巧

強(qiáng)調(diào)對(duì)通性通法的深入理解和綜合運(yùn)用，促進(jìn)學(xué)生將知識(shí)和方法內(nèi)化為自身的

知識(shí)結(jié)構(gòu)等方面，給出有針對(duì)性和可操作性的復(fù)習(xí)教學(xué)建議。命題分析方法維度內(nèi)容試題特

點(diǎn)高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷和地方卷的試題，主要從必備知識(shí)、關(guān)鍵能力和學(xué)科

素養(yǎng)等方面進(jìn)行分類(lèi)分析，結(jié)合典型題例，側(cè)重解法分析。重點(diǎn)從整

體和專(zhuān)題試題的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性出發(fā)，精選題例分

析這“四性”的主要表現(xiàn)和解題特點(diǎn)。試題分析按照“基本要求、考核目標(biāo)、設(shè)計(jì)特點(diǎn)、實(shí)測(cè)效果和育人功能

”等五

個(gè)要素，以題意理解（條件分析，設(shè)問(wèn)理解）

、思路探求（觀察、聯(lián)

想、轉(zhuǎn)化）

、解答過(guò)程、回顧反思等為基本框架展開(kāi)分析。對(duì)解題過(guò)

程中的難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)、最優(yōu)思路等也要進(jìn)行分析。復(fù)習(xí)備

考建議側(cè)重從學(xué)生備考層面，給出有針對(duì)性和可操作性的復(fù)習(xí)備考建議。解題分析方法維度內(nèi)容主要意圖目標(biāo)解

析主要對(duì)該考題所涉及的知識(shí)點(diǎn)

、思想方法和關(guān)鍵能力的具體表

現(xiàn)進(jìn)行解析，準(zhǔn)確解讀知識(shí)點(diǎn)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法和關(guān)鍵能

力的考查要求。說(shuō)明考什么解法分

析主要從解題角度說(shuō)明破題思路，多角度探究解題途徑，對(duì)通性

通法給出解題步驟，評(píng)析解法優(yōu)劣，詮釋不同方法的解題價(jià)值說(shuō)明。

怎么考題源分

析主要從試題來(lái)源、問(wèn)題情境和命題立意等角度，并結(jié)合設(shè)問(wèn)方

式、源于教材和試題本質(zhì)特征，以及考生常見(jiàn)失誤、錯(cuò)解與防

范等方面加以分析。特別要注意通過(guò)試題與教材的關(guān)聯(lián)性分析，

引導(dǎo)教學(xué)回歸教材。說(shuō)明為何這樣考類(lèi)題賞

析主要從舉一反三的角度，對(duì)近幾年高考數(shù)學(xué)中命題意圖和考查

方式形異質(zhì)同的同類(lèi)型高考試題加以說(shuō)明，供學(xué)生練習(xí)。說(shuō)明還能怎么考考題分析方法四、回歸常識(shí)，

從容進(jìn)行高考復(fù)習(xí)?

高考改革的力度在加大，課程改革的步伐在加快，教學(xué)必須改變！?必須回到數(shù)學(xué)育人的本位上，回歸數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì)，

回歸數(shù)學(xué)

教學(xué)的本來(lái)面目，把數(shù)學(xué)教好，使學(xué)生在落實(shí)“四基”、提升

“四能”的過(guò)程中發(fā)展核心素養(yǎng)，在學(xué)懂、學(xué)通、學(xué)透數(shù)學(xué)的

過(guò)程中提高應(yīng)試水平。如果依然故我地刷題，那么你會(huì)輸?shù)煤?/p>

慘！1.幫助學(xué)生系統(tǒng)掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、

基本方法?不能拋開(kāi)課本搞復(fù)習(xí)！?“系統(tǒng)掌握”是指學(xué)生頭腦中有清晰、穩(wěn)定、可辨別的、遷移能

力強(qiáng)的“數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖”，不僅理解知識(shí)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想

方法，而且懂得知識(shí)間的邏輯關(guān)系、聯(lián)系方式。?復(fù)習(xí)課要在進(jìn)一步明晰概念內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，把新課中逐個(gè)學(xué)過(guò)的

概念、定理、公式等用前后一致邏輯連貫的數(shù)學(xué)思想串聯(lián)起來(lái)。這就必須讓學(xué)生重讀課本、梳理知識(shí)，在此過(guò)程中“順便”就提

高了閱讀理解能力。老師羅列學(xué)生抄寫(xiě)的做法效果有限，應(yīng)避免。?

實(shí)際上，大多數(shù)高考題是教材中題目的變式、綜合，有的就是課本上的題目。?

例（新高考全國(guó)Ⅰ卷.12）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1

（單位：

m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有?

A.直徑為0.99m的球體?

B.所有棱長(zhǎng)均為1.4m的四面體?

C.底面直徑為0.01m

，高為1.8m的圓柱體?

D.底面直徑為1.2m

，高為0.01m的圓柱體?

【考查目標(biāo)】試題考查基本幾何體（正方體、球體、正四面體、

圓柱體）的結(jié)構(gòu)特征，基本元素的度量；突出考查正方體與球、三棱錐、圓柱綜合情境下學(xué)生分析問(wèn)題能力和空間想象能力。?

問(wèn)題：什么叫“結(jié)構(gòu)特征”？以教材為依托構(gòu)建層次遞進(jìn)的復(fù)習(xí)過(guò)程?深化理解：通過(guò)系統(tǒng)閱讀教材，深化理解教材中的核心知識(shí)，深

化認(rèn)知層次，要特別注意引導(dǎo)學(xué)生琢磨每一章的小結(jié)；?建立聯(lián)系：用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待知識(shí)，建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，形成

知識(shí)的多元聯(lián)系表示方式，提升認(rèn)知水平；?優(yōu)化結(jié)構(gòu)：溝通教材中形異質(zhì)同、形同質(zhì)異問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，優(yōu)

化認(rèn)知結(jié)構(gòu)；?拓展延伸：通過(guò)一般化、特殊化、類(lèi)比、聯(lián)系等對(duì)已有知識(shí)進(jìn)行

探源、拓展、延伸，形成創(chuàng)新學(xué)習(xí)能力。?北京朝陽(yáng)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校的經(jīng)驗(yàn)例

等差數(shù)列性質(zhì)的復(fù)習(xí)?

一般觀念：運(yùn)算是代數(shù)學(xué)的根源所在。?

研究的問(wèn)題：主要是“等差數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系”，

應(yīng)該利用等

差數(shù)列的定義。?

研究策略與方法：通過(guò)運(yùn)算、變形，探究不變量、不變性、規(guī)律性。?

等差數(shù)列{an}中，從第二項(xiàng)開(kāi)始任意一項(xiàng)都是相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)；

可以推廣為：am

，

ap

，

an是{an}中的三項(xiàng)，

且2p=m+n，那么2ap

=am

+

an

。特別地，當(dāng)

為整數(shù)時(shí)，

=

；當(dāng)

為整數(shù)時(shí)，

=

2

2

+1

a1

+an2

2an+an。如果ak（k＞1）是等差數(shù)列{an}中的一項(xiàng)，ak可以是{an}中哪些項(xiàng)的等差中項(xiàng)？探究可得：

{an}中與ak

“等距離

”的兩項(xiàng)都以ak

為等差中項(xiàng)。由

此可得許多結(jié)論，特別是：當(dāng)m＋n＝p＋q時(shí)，有am＋an

＝ap＋aq。.Sn

、an

的結(jié)構(gòu)特征的研究。.前n項(xiàng)和Sn

、an之間的相互關(guān)系也是值得研究的問(wèn)題。.

從sn

=

中你能發(fā)現(xiàn)什么？.

=

——

是等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)的平均數(shù)！.等差數(shù)列的研究中，善用平均數(shù)是非常重要的。.要重視自然數(shù)數(shù)列的性質(zhì)——任何等差數(shù)列都是自然數(shù)數(shù)列的變

式。?例

記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：

{an}為等差數(shù)列，乙：{}為等差數(shù)列，則?A.

甲是乙的充分條件但不是必要條件?B.

甲是乙的必要條件但不是充分條件?

C.

甲是乙的充要條件?D.

甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件?

問(wèn)題：這個(gè)題目考什么？例

解析幾何的復(fù)習(xí).

點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)——

多元聯(lián)系表示，認(rèn)知結(jié)構(gòu)的升華方法一：定義法；方法二：利用代數(shù)變形

方法三：從特殊到一般——直線平行于坐標(biāo)軸，到一般直線；方法四：等積法；方法五：向量法；方法六：函數(shù)法；???距離、斜率、不變量、運(yùn)算統(tǒng)領(lǐng)的圓錐曲線2.明確解題教學(xué)的目的?樹(shù)立正確的解題教學(xué)目的很關(guān)鍵，教師必須思考清楚“做題目，

為什么”這個(gè)問(wèn)題。?解題教學(xué)的首要目的是鞏固概念，最終目的是學(xué)會(huì)思考，過(guò)程中

要培養(yǎng)良好的解題習(xí)慣、發(fā)展分析和解決問(wèn)題的能力。?解題不是你教會(huì)的，是學(xué)生自己學(xué)會(huì)的，教師的核心任務(wù)是選好

題目。?

怎樣才能選好題目？——教師自己獨(dú)立解答近5年的高考題，把

握方向，然后對(duì)標(biāo)高考題進(jìn)行選題。3.“回歸基礎(chǔ)”很重要?

“回歸”有兩層意思，

一是學(xué)生能熟練運(yùn)用課本知識(shí)解決“基礎(chǔ)題”；二

是養(yǎng)成從基本概念出發(fā)思考和解決問(wèn)題的習(xí)慣。?

2022年乙卷文科16題：若f

x

=lna++b是奇函數(shù)，則a=

，b=。______（1）看函數(shù)解析式的代數(shù)結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)1?I，這一步非常關(guān)鍵；

（2）

由奇函數(shù)的定義得出－1?I，這是從定義出發(fā)思考問(wèn)題；

（3）由

a+≥0

，根

據(jù)對(duì)數(shù)的定義知x=－

1時(shí)必有

a+=0，所以

a=?，

于是f

x=ln++b

，于是0∈I；（4）

由奇函數(shù)的性質(zhì)，有f(0)=0

，易得b

＝ln2，

這是利用性質(zhì)解決問(wèn)題。4.培養(yǎng)良好的解題教學(xué)習(xí)慣?

精選例題。給學(xué)生出一道題，

自己先做十道題?？唇獯鸲蛔?/p>

題，沒(méi)有切身體驗(yàn)，很難使例題典型、精彩，并會(huì)造成“該講的

講不出，不該講的拼命講”的后果。?

要求學(xué)生認(rèn)真讀題、審題。提醒學(xué)生關(guān)注“本題涉及哪些基本

概念？

”“得出結(jié)論需要哪些條件？

”等。當(dāng)前普遍的做法是，

老師替學(xué)生讀題，讀完就問(wèn)“本題屬于什么題型？

”接著就問(wèn)

“某某同學(xué)，你說(shuō)該怎么解？

”這是導(dǎo)致學(xué)生不良解題習(xí)慣的根

源。?

與學(xué)生一起分析題意，交流解題思路，教師在適當(dāng)時(shí)機(jī)給點(diǎn)睛之筆。

當(dāng)前，老師包辦例題解答、學(xué)生重復(fù)模仿解題的做法比比皆是，這是不懂學(xué)生學(xué)習(xí)規(guī)律的表現(xiàn)。?

叫幾位學(xué)生板演，讓其他學(xué)生動(dòng)手解答，教師巡視、觀察?！袄蠋?/p>

板演學(xué)生看”的做法，忘記了“飯要親自吃”的常識(shí)，剝奪了學(xué)生自

主實(shí)踐、獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)，結(jié)果肯定是“講過(guò)練過(guò)的不一定會(huì)，沒(méi)講

沒(méi)練的肯定不會(huì)”。?

評(píng)價(jià)學(xué)生的板演。先讓學(xué)生作自我評(píng)價(jià)、相互評(píng)價(jià)，教師再“畫(huà)龍

點(diǎn)睛”。?

問(wèn)一問(wèn)“還有不同的方法嗎？”追問(wèn)一下“你是怎么想到的？”?

解題后的回顧、反思。問(wèn)一問(wèn)“你認(rèn)為解這類(lèi)題目的一般步驟是什

么？”只有讓學(xué)生時(shí)刻把“舉一反三”、“觸類(lèi)旁通”放在心上，經(jīng)

常實(shí)踐，學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，才能使他們掌握在考場(chǎng)上取勝的法寶。5.加強(qiáng)“變式”?

應(yīng)對(duì)新穎性的策略就是要根據(jù)數(shù)學(xué)題“萬(wàn)變不離其宗”的特點(diǎn)，圍繞

數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法這個(gè)“宗”，在“四基”上下

足功夫。例如關(guān)于數(shù)列的問(wèn)題，要在理解基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，抓住等

差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量a1

，d，q

，an，Sn等及其相互關(guān)系，熟練

掌握基本性質(zhì)（數(shù)列要素之間的關(guān)系）

、常用性質(zhì)（運(yùn)算中的不變性、

規(guī)律性等）

。?

通過(guò)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題與方法，使學(xué)生理解如何進(jìn)行變式，并逐步領(lǐng)悟變式的思想方法，掌握透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的本領(lǐng)，最終形成“以不變應(yīng)萬(wàn)變”

的應(yīng)試能力。?

試題涉及求導(dǎo)運(yùn)算、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、問(wèn)題轉(zhuǎn)化（將求變量變化

范圍轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值）、用函數(shù)性質(zhì)證明不等式，分類(lèi)討論思想、

等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等。6.加強(qiáng)綜合與聯(lián)系?

可以說(shuō)每一道高考題都是通過(guò)綜合與聯(lián)系而命制出來(lái)的。7.加強(qiáng)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與應(yīng)用?

乙卷第19題：某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水

青山。為了估計(jì)林區(qū)某種樹(shù)木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種

樹(shù)木，測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積和材積量，得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)i12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得到

x

=

0.038,

y

=

1.6158,

xi

yi

=

0.2474i2i2i（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系

數(shù)（精確到0.01）；（3）現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積，并得到所

有這種樹(shù)木的根部橫截面積總和為180m2

，已知樹(shù)木的材積量與其

根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹(shù)木的

總材積量的估計(jì)值。?試題的考查完全按照數(shù)學(xué)建模的思路進(jìn)行，只不過(guò)僅考查數(shù)學(xué)

建模環(huán)節(jié)的后半段，特別是求解模型的環(huán)節(jié)。?

（2023新高考II卷·12

，多選題）在信道內(nèi)傳輸0

，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為“(0<?＜1)

，收到0的概率為1

-“；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為β(0<β＜1)

，收到1的概率為1

-β.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹?/p>

輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)

重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的

信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，

若依次收到1

，0

，1

，則譯碼為1）.?

A

．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1

，0

，1

，則依次收到l

，0

，1的概率

為(1

-“)(1

-β)2?B

．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1

，則依次收到1

，0

，1的概率為β(1

-β)2?C

．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1

，則譯碼為1的概率為β(1

-β)2+(1

-β)3?

D

．當(dāng)0<?＜0.5時(shí)，若發(fā)送0

，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采

用單次傳輸方案譯碼為0的概率?從“解題”到“解決問(wèn)題”?一是提升選才效度，考查關(guān)鍵能力。高考注重考查支撐學(xué)生未來(lái)長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展和適應(yīng)社會(huì)進(jìn)步

要求的能力，有效鑒別學(xué)生發(fā)展?jié)撡|(zhì)。通過(guò)優(yōu)化考查內(nèi)容、豐富呈現(xiàn)方式、創(chuàng)新設(shè)問(wèn)角度

等途徑，突出對(duì)關(guān)鍵能力的考查，讓善于獨(dú)立思考、認(rèn)知能力強(qiáng)的學(xué)生脫穎而出。?二是注重學(xué)用結(jié)合，創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境。高考加強(qiáng)理論聯(lián)系實(shí)際，緊密結(jié)合國(guó)家經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展、

科學(xué)技術(shù)進(jìn)步、生產(chǎn)生活實(shí)際等創(chuàng)設(shè)情境，

充分考慮學(xué)生學(xué)習(xí)和生活實(shí)際，把課本知識(shí)與

“具體真實(shí)的世界”聯(lián)系起來(lái)，考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)方法分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能

力，引導(dǎo)學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中建構(gòu)知識(shí)、培養(yǎng)能力、提升素養(yǎng)。?三是突出思維品質(zhì)，強(qiáng)調(diào)開(kāi)放靈活。高考持續(xù)優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)，創(chuàng)設(shè)新的題型，從材料信息

的豐富性、試題要素的靈活性、解題路徑的多樣性等方面增強(qiáng)試題開(kāi)放性，強(qiáng)調(diào)思維過(guò)程

和思維方式，鼓勵(lì)學(xué)生多角度主動(dòng)思考、深入探究，發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、找到新規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生

在學(xué)習(xí)和備考中減少死記硬背和機(jī)械刷題。五、歸根到底要做好思維的教學(xué)?思維教學(xué)要抓好的幾個(gè)關(guān)鍵關(guān)鍵一：以數(shù)學(xué)整體觀為指導(dǎo)，為學(xué)生搭建研究一個(gè)數(shù)學(xué)

對(duì)象（問(wèn)題）的整體框架，著力培養(yǎng)思維的邏輯性。?課堂教學(xué)要以“事實(shí)（背景）——概念（本質(zhì)）——性質(zhì)（關(guān)系、

規(guī)律）——結(jié)構(gòu)（聯(lián)系）——應(yīng)用”為明線，以“事實(shí)

（背景）

——方法——方法論——數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)觀”為暗線，并要強(qiáng)調(diào)結(jié)合明線布暗線，形成數(shù)學(xué)基本思想、方法的“滲透——明確——應(yīng)用”的有序推進(jìn)，不斷強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，關(guān)注數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)背景，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)概念、原理及法則之間的聯(lián)

系出發(fā)，建立起有意義的知識(shí)結(jié)構(gòu)，使學(xué)生在掌握“四基”、發(fā)

展“四能”的過(guò)程中有效發(fā)展核心素養(yǎng)。?數(shù)學(xué)教學(xué)中注重整體框架特別重要，其原因是培養(yǎng)思維的邏輯性需要以數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程的內(nèi)在邏輯為基礎(chǔ)。?在這個(gè)框架下展開(kāi)教與學(xué)，可以確保結(jié)構(gòu)的合理性、內(nèi)容的可預(yù)

見(jiàn)性、過(guò)程的邏輯性、探索的方向性、思維的主動(dòng)性、方法的有

效性，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)教學(xué)的高質(zhì)量。學(xué)生在這樣的框架下展開(kāi)數(shù)學(xué)活

動(dòng)，可以極大增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自主性、自覺(jué)性，不僅能提高學(xué)習(xí)效率，

促進(jìn)學(xué)生系統(tǒng)掌握學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法，而且能

培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。?

三歧性；?

實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)——為什么要把“三歧性”轉(zhuǎn)化為

“基本事實(shí)”？?

等式性質(zhì)與不等式的性質(zhì)——

自反性、對(duì)稱(chēng)性、傳遞性的地

位作用是什么？性質(zhì)要研究的問(wèn)題是什么？?

重要不等式a2+b2≥2ab——特殊的不等式性質(zhì)；?

基本不等式

≥√廠ab（a

，b＞0）——特殊的重要不等式；?

兩個(gè)基本模型：

p

，q∈R+，p+q=A，pq=P，若A為常數(shù)，

p=q

時(shí)P最大；若P為常數(shù)，

p=q時(shí)A最小——特殊的基本不等式。?

公理化體系，

建構(gòu)起代數(shù)

推理的邏輯

基礎(chǔ)?

從一般到特

殊的知識(shí)發(fā)

展邏輯“不等式”內(nèi)容的整體架構(gòu).從a2

+b2

≥2ab到

ab

≤——代數(shù)變換；.基本不等式的證明——分析法、綜合法等等；.基本不等式的多元聯(lián)系表示——

圖形表示；.通過(guò)運(yùn)算得到基本不等式的變式（以下字母都取正的）

——不僅要讓學(xué)生會(huì)證明，而且要

讓學(xué)生去研究它們是怎么來(lái)的：.

+

≥2，特別地，

x+

≥

2；.

≤

xy

，

≤

xy；.

ab

≤

≤

；??.特例：兩個(gè)基本模型。運(yùn)算觀念統(tǒng)領(lǐng)下研究基本不等式關(guān)鍵二，把“發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題”作為基本任務(wù)?在“如何發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的問(wèn)題”上加強(qiáng)指導(dǎo)，有效培養(yǎng)思

維的創(chuàng)造性。?現(xiàn)實(shí)中，學(xué)生鮮有主動(dòng)提問(wèn)機(jī)會(huì)，都是老師問(wèn)、學(xué)生答，其原因

在教師沒(méi)有將發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題作為教學(xué)基本任務(wù)，更深層次原因

則在教師的教學(xué)觀——教解題考高分是正事，

“我自己都不知道

如何發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，怎么可能教學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題？

”

顯然，這樣的教學(xué)觀肯定會(huì)導(dǎo)致“單純教師講學(xué)生聽(tīng)、教知識(shí)學(xué)

知識(shí)”現(xiàn)象的發(fā)生。?

兩個(gè)教學(xué)策略的應(yīng)用：?

一是加強(qiáng)一般觀念的統(tǒng)領(lǐng)性，為學(xué)生提供學(xué)習(xí)的先行組織者。數(shù)學(xué)研究的基本方式是先通過(guò)概念明確界定研究對(duì)象，再基于概

念進(jìn)行邏輯推理（包括歸納、類(lèi)比、演繹）

，得出性質(zhì)、公式、

法則等等，進(jìn)而建構(gòu)起數(shù)學(xué)知識(shí)大廈。其中，如何抽象數(shù)學(xué)對(duì)象

（問(wèn)題）并通過(guò)概念予以明確，數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)指什么，從當(dāng)前

內(nèi)容出發(fā)通過(guò)類(lèi)比、推廣、特殊化獲得新結(jié)論等等，都是有基本

思路可循的，要讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)研究的這種特點(diǎn)，從而指引學(xué)生

自主抽象數(shù)學(xué)概念、探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)性質(zhì)。轉(zhuǎn)變教學(xué)觀要從改變教學(xué)行為做起?

二是在具體思考過(guò)程中，給學(xué)生一個(gè)基本的邏輯思考架構(gòu)?

特殊化類(lèi)比

─

當(dāng)前內(nèi)容

—

聯(lián)系一般化數(shù)學(xué)對(duì)象就是一個(gè)系統(tǒng)，數(shù)學(xué)對(duì)象的組成元素就是這個(gè)系統(tǒng)的要

素，要素之間的基本關(guān)系決定了對(duì)象的一般特性，而要素的某些

特殊形式、特殊關(guān)系往往反映了對(duì)象的重要特性。這樣，在抽象

數(shù)學(xué)對(duì)象要素及其基本關(guān)系的基礎(chǔ)上，依著一般與特殊及其相互

轉(zhuǎn)化的思路探索數(shù)學(xué)對(duì)象的各種性質(zhì)，乃是數(shù)學(xué)研究的基本之道。?

關(guān)鍵三、根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程的內(nèi)在邏輯，創(chuàng)設(shè)系列化情境，提出高質(zhì)量問(wèn)題串，為學(xué)生創(chuàng)造學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性、深刻性、批判性等。?在教學(xué)方式的變革中，

“大力實(shí)施基于情境、問(wèn)題導(dǎo)向的互動(dòng)式、

啟發(fā)式、探究式、體驗(yàn)式等課堂教學(xué)”是關(guān)鍵，只有這樣才能切

實(shí)地為學(xué)生創(chuàng)造獨(dú)立思考、自主探究、合作交流的空間，使各種

思維品質(zhì)得到全面培養(yǎng)。具體而言，就是要在前面兩點(diǎn)的指導(dǎo)下，

根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，提出具有內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)性的系列

化問(wèn)題，并在問(wèn)題引導(dǎo)下放手讓學(xué)生展開(kāi)自主學(xué)習(xí)。?

關(guān)鍵四，給學(xué)生更多自主、有效的學(xué)習(xí)時(shí)間，從而為學(xué)生創(chuàng)造更多的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)。?

學(xué)生在課堂中獲得的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)對(duì)提高教學(xué)質(zhì)量有決定性影響。?“學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)”的內(nèi)涵：最初是以學(xué)生在教學(xué)過(guò)程中獲得的時(shí)間作為衡量標(biāo)

準(zhǔn)的，后來(lái)得到持續(xù)研究，

有學(xué)者建構(gòu)了“學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)”的四維框架，包括

內(nèi)容范圍、內(nèi)容深度、內(nèi)容重點(diǎn)和教學(xué)過(guò)程質(zhì)量。

PISA測(cè)試也將“學(xué)習(xí)機(jī)

會(huì)”作為影響學(xué)生學(xué)業(yè)表現(xiàn)的重要因素，并在研究中將相應(yīng)的內(nèi)涵拓展到

與學(xué)習(xí)環(huán)境相關(guān)的各要素上，其中包含教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過(guò)程和教學(xué)質(zhì)量等。?

在課堂教學(xué)中為學(xué)生創(chuàng)造充分的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，還是要從“教什么”、“怎么

教”、“用多少時(shí)間”、“采取怎樣的教學(xué)策略”等課堂教學(xué)基本要素出

發(fā)進(jìn)行思考。為學(xué)生創(chuàng)造學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)的幾個(gè)方面（1）教學(xué)目標(biāo)的層次，根據(jù)內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)生認(rèn)知水平確定相應(yīng)的教學(xué)目標(biāo)層

級(jí)。

我國(guó)課程標(biāo)準(zhǔn)采用了解、理解、掌握、運(yùn)用（經(jīng)歷、體驗(yàn)、感悟、探索）；

布魯姆目標(biāo)分類(lèi)學(xué)中給出了6個(gè)層級(jí)：記憶、理解、應(yīng)用、分析、綜合、

評(píng)價(jià)；SOLO學(xué)習(xí)結(jié)果五層級(jí)理論：未結(jié)構(gòu)化、單一結(jié)構(gòu)層、多重結(jié)構(gòu)層、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層、擴(kuò)展結(jié)構(gòu)層；等等。這些理論對(duì)于評(píng)價(jià)學(xué)生的認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)

成果非常有用，也有助于我們理解學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的思考方式和理解程度。同時(shí)，還要注重多維度目標(biāo)設(shè)置，在確定數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)時(shí)，要將“四基”、

“四能”和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)綜合考慮進(jìn)去。?

當(dāng)前教學(xué)中存在的問(wèn)題是以知識(shí)記憶、技能熟練為主要目標(biāo)，不僅單一而

且層次較低。（2）教學(xué)內(nèi)容的廣度、深度，這里要與教學(xué)目標(biāo)相匹配。廣度上，要確保學(xué)生完整學(xué)習(xí)必備知識(shí)的機(jī)會(huì)；深度上，要為學(xué)生創(chuàng)造強(qiáng)化理解所學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，促使學(xué)生通過(guò)建立數(shù)學(xué)概念

、原理

及法則之間的聯(lián)系，形成對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知

識(shí)體系，把用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問(wèn)題，從而形成科

學(xué)的思維習(xí)慣作為重要的教學(xué)內(nèi)容；等等。?當(dāng)前教學(xué)中存在“高考不考就不教”的現(xiàn)狀，這是剝奪學(xué)生學(xué)

習(xí)機(jī)會(huì)的做法。（3）教學(xué)過(guò)程的質(zhì)量，主要體現(xiàn)在圍繞核心概念、重點(diǎn)知識(shí)，為學(xué)生創(chuàng)造解決具有挑戰(zhàn)性問(wèn)題的機(jī)會(huì)；充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)主體的作用，

通過(guò)恰時(shí)恰點(diǎn)的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生采用認(rèn)真聽(tīng)講、獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主

探索、合作交流等多樣化學(xué)習(xí)方式，在獲得“四基”、提高“四能”的

過(guò)程中，逐步形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生積極思

考，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問(wèn)難，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成積極的情感、

態(tài)度和價(jià)值觀。?

當(dāng)前的課堂教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生鮮有機(jī)會(huì)獨(dú)立面對(duì)挑戰(zhàn)性問(wèn)題，被動(dòng)聽(tīng)

講、機(jī)械模仿、重復(fù)刷題等現(xiàn)象非常普遍，學(xué)生普遍缺乏學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)。（4）學(xué)習(xí)時(shí)間的充分性，給學(xué)生足夠的自主學(xué)習(xí)時(shí)間，使學(xué)生能從容地想問(wèn)題、悟本質(zhì)、參思想。大家都會(huì)說(shuō)“教育是慢的事業(yè)”，課堂教學(xué)要懂得“快慢辯證法”，但實(shí)際教學(xué)中趕進(jìn)度已經(jīng)成為常態(tài)，三年課程兩年甚至一年半完成，基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)采用

“告訴式”，提出問(wèn)題后就急于提示，甚至不給思考時(shí)間就讓學(xué)

生立即回答……可以說(shuō)，不給學(xué)生充分的思考時(shí)間是我國(guó)學(xué)生在

課堂中缺少學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)的一個(gè)主要原因，也是基礎(chǔ)教育極端功利化

的主要表現(xiàn)。?關(guān)鍵五，以研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象（問(wèn)題）的一般套路為指引，以數(shù)學(xué)思維過(guò)程的基本框架為線索設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，通過(guò)邏輯連貫的問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思維方式。?思維過(guò)程的基本框架是：

（1）觀察與實(shí)驗(yàn)，（2）歸納與演繹，（3）比較與分類(lèi)，（4）分析與綜合，（5）抽象與概括。?強(qiáng)調(diào)以這一基本框架為線索進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，目的是使學(xué)習(xí)過(guò)程完整化，

讓學(xué)生有機(jī)會(huì)完整經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，促使學(xué)生運(yùn)用觀察、實(shí)驗(yàn)、

猜想、運(yùn)算、推理、驗(yàn)證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析

問(wèn)題和解決問(wèn)題。?當(dāng)前的課堂教學(xué)，思維過(guò)程不完整是比較普遍的，就是所謂的“掐頭去

尾燒中段”，其實(shí)質(zhì)是思維教學(xué)不完整，必然導(dǎo)致學(xué)生的思維缺陷。例如，

學(xué)生普遍害怕應(yīng)用題，本質(zhì)上是學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、數(shù)據(jù)分析、直觀想象

等方面沒(méi)有得到應(yīng)有的訓(xùn)練。?按照思維過(guò)程的基本框架展開(kāi)思維教學(xué)，應(yīng)該在“如何觀察”、“如何歸納”、“如何比較”、“如何抽象”等方面加強(qiáng)引導(dǎo)。?

關(guān)鍵六，注重?cái)?shù)學(xué)語(yǔ)言的訓(xùn)練。?數(shù)學(xué)是一種獨(dú)特的語(yǔ)言：1.精確性：數(shù)學(xué)語(yǔ)言是一種非常精確的語(yǔ)言，每一個(gè)數(shù)學(xué)概念都被明確定義并使用符號(hào)，這使得數(shù)學(xué)可以清晰地傳達(dá)和交流，避免了歧義和誤解。2.抽象性：數(shù)學(xué)語(yǔ)言經(jīng)常使用抽象概念來(lái)描述和表達(dá)問(wèn)題。通過(guò)抽象，數(shù)學(xué)家可以處理通用的問(wèn)題，并推導(dǎo)出普遍有效的結(jié)論。

這種抽象性使得數(shù)學(xué)具有廣泛的適用性。3.

符號(hào)系統(tǒng)：數(shù)學(xué)語(yǔ)言使用符號(hào)和符號(hào)系統(tǒng)來(lái)表示概念和關(guān)系。這些符號(hào)可以表示數(shù)值、運(yùn)算、方程、函數(shù)和其他數(shù)學(xué)對(duì)象。符號(hào)系統(tǒng)使得數(shù)學(xué)語(yǔ)言更加緊湊、簡(jiǎn)潔，并且可以進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算。4.

邏輯性：數(shù)學(xué)知識(shí)的表達(dá)基于嚴(yán)密的邏輯推理和證明。例如幾何體系的基本框架是這樣建構(gòu)的：通過(guò)定義確定論證的對(duì)象，通

過(guò)公理確定論證的起點(diǎn)，通過(guò)證明確定論證的邏輯，通過(guò)命題確

定論證的結(jié)果。這樣建構(gòu)起來(lái)的知識(shí)體系，使得數(shù)學(xué)成為一門(mén)具

有邏輯性、準(zhǔn)確性的學(xué)科。5.

符號(hào)化思維：數(shù)學(xué)思維是一種符號(hào)化思維。用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題往往要先使用數(shù)學(xué)概念和符號(hào)將問(wèn)題數(shù)學(xué)化，然后再通過(guò)符號(hào)推理

得出結(jié)果。在數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)習(xí)中可能遇到的困難1.

數(shù)學(xué)詞匯理解困難：學(xué)生可能會(huì)面臨理解和記憶數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)的挑戰(zhàn)。數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)通常與日常語(yǔ)言中的詞匯不同，學(xué)生需要花時(shí)間理

解其特定的數(shù)學(xué)含義和用法。?例

日常語(yǔ)言：我有一副三角板；我只有一副三角板。?數(shù)學(xué)語(yǔ)言：我有且只有一副三角板。2.符號(hào)和符號(hào)系統(tǒng)的困惑：數(shù)學(xué)使用各種符號(hào)和符號(hào)系統(tǒng)來(lái)表示概念和關(guān)系，學(xué)生可能會(huì)不知道如何解讀和使用這些符號(hào)。例

分?jǐn)?shù)、小數(shù)、字母表示數(shù)、a0（a≠0），

廠a

，logaN(a>0且a≠1，N>0)，y

＝sinx(-∞<x<+∞

,

|y|≤1)

，σan

，C

，

f()x，x

+

a

n

=σ

=0

C

?1x

kan?k

，??f(x)表示以x為自變量，對(duì)應(yīng)關(guān)系為f的函數(shù)．f(a)表示在f(x)的定義

域中取一個(gè)確定的值a時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.nkknxlnm1nii?大家還記得下面的公式表示什么嗎？3.

不同語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換：一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象一般都可以用多種數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示，這些語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換對(duì)學(xué)生而言比較困難。例如，學(xué)生的作圖能力有待提高，常常因?yàn)槲淖终Z(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換有困難而影響問(wèn)題的解決4.

閱讀數(shù)學(xué)文本的困難：數(shù)學(xué)文本包含豐富的信息和符號(hào)，學(xué)生可能會(huì)面臨理解和解讀數(shù)學(xué)問(wèn)題陳述、圖表、公式和證明等方面的困難。5.

解題思維和表述能力不足：學(xué)生可能會(huì)不知道如何將數(shù)學(xué)思想和解題過(guò)程用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)。他們可能會(huì)在表述和解

釋解題步驟中遇到障礙，從而影響到他們的數(shù)學(xué)表達(dá)能力。6.

數(shù)學(xué)應(yīng)用和實(shí)際情境的轉(zhuǎn)化困難：

在將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化的過(guò)程中，使用符號(hào)是